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1、一质量为m、半径为r的圆柱体置于坡角为的斜面上；柱轴用轻绳过坡顶的光滑滑轮与一质量为m的重物相连结，如图重物自静止开始下落，求重物的加速度和下落h距离后的速度,分析：,利用哈密顿正则方程求解,需先求得力学系的动能和势能,从而求得拉氏函数，最终获得,哈密顿函数。圆柱体作平动,和定轴转动，需两个坐标；重物作一维运动需一个坐标,力系受轻绳约束，故只需一个坐标，不妨取重物坐标y,典型例题1,解：,设绳长为l，柱体轴心离坡顶距离为s,柱体滚动的角度,大小为，下垂的重物到坡顶的距离为y，约束关系为：,力学系的动能为（圆柱中心轴的转动惯量 ）：,力学系的势能为（取坡顶为零势能）：,那么与y对应的广义动量为：
2、,即,注意到动能是广义速度的二次齐次函数，故：,代入哈密顿正则方程得：,求得：,分离变量积分：,化简得：,所以重物的加速度为：,重物下落h后的速度为：,（可由能量积分得到）,一质量为m的小球用长为l的轻绳悬挂于一质量为m的小环上小环穿在一根光滑的水平钢丝上，如图所示。初始时整个系统处于静止状态，尔后小球在钢丝所在的铅直面内摆动，并带动小环在钢丝上滑动。试由正则方程求出小球摆动的角度所满足的微分方程,分 析 ：,利用哈密顿正则方程求解,m相对m 作圆周运动，故,力系仅需两个坐标（x,）描述,典型例题2,解：,如图有，小球的坐标为：,力系的动能为：,力系的势能为：,相应的广义动量为：,由以上两式可
3、解得：,注意到动能是广义速度的二次齐次函数，故：,显然，哈密顿函数中不显含x，故为循环坐标：,（x方向动量守恒）,即,由关于的正则方程，并注意到,可得：,又,求导并代入上式化简可得关于的微分方程：,经验告诉我们，用一枝铅笔的笔尖与水平桌面接触，使之竖直地稳定转动是很困难的，一长为10cm、直径为0.8cm的铅笔，即使以角速度0=100rot/s高速转动，也不能稳定地竖直转动，试用分析力学方法解释,分析：,铅笔是否能稳定地竖直转动,关键是看在竖直方向(=0)时，,铅笔的势能是否处于极小值。,典型例题3,解：,象对称陀螺一样取坐标系。那么，为广义坐标,初始时刻，铅笔直立,任意时刻，有：,显然，坐标轴皆为惯量主轴,任意时刻，铅笔角速度为：,若把铅笔视为圆柱，则有：,铅笔定点转动时的拉格朗日函数为：,从拉格朗日函数的表达式知： ，为循环坐标，故：,代入初始条件,求得,即,对广义坐标，拉格朗日方程为：,化简有：,，,对拉格朗日方程化简有：,积分有：,类似质点在势场做一维运动时机械能守恒，引入有效势能,只需看其是否在=0时有极小值，对U()求导进行判断,
