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1、1,第八章 渐近法,2,渐近法：通过逐步修正的方法，不解联立方程，按照一定的步骤循环计算，循环次数越多越精确，越接近精确解，所以说渐近法是一种精确解法。,本章介绍两种属于位移法类型的渐近解法力矩分配法和无剪力分配法。 力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架；无剪力分配法适用于刚架中除两端无相对位移的杆件外，其余杆件都是剪力静定杆件的情况，它是力矩分配法的一种特殊形式。对于一般有结点线位移的刚架，可用力矩分配法和位移法联合求解。,3,本章主要内容： 1、位移法的渐近解法(1) 力矩分配法；(2) 无剪力分配法；(3) 力矩分配法与位移法联合应用。,2、超静定力的影响线。 3、连续梁的最不利荷
2、载分布及内力包络图。,本章要求： 1、主要掌握力矩分配法求解连续梁和超静定刚架；2、了解利用挠度图作超静定力的影响线；3、了解连续梁的最不利荷载分布及内力包络图。,4,8-1 力矩分配法基本概念,力矩分配法源自位移法，但不必求解方程组，只需按表格进行计算，计算方便、快捷。,力矩分配法是逐步逼近（对多结点力矩分配而言）精确解的计算方法，是渐近法，不是近似法。,适用范围：连续梁和无结点线位移的刚架。,符号规定：杆端弯矩的符号正负规定与位移法相同。,5,一、名词解释（几个基本概念）,下面讨论等截面直杆的转动刚度。,转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力，在数值上等于使杆端产生单位转角（无线位移）时所需施加
3、的力矩。用符号S表示，见下面各图。,施力端称为近端 ，另一端称为远端。,1、转动刚度,6,当A端产生单位转角时，A端无线位移。转动刚度SAB只取决于远端支承条件及杆件的线刚度。,7,2、分配系数,杆端弯矩表达式：,平衡方程为：,8,回代求杆端弯矩：,9,对某结点，各杆分配系数之代数和为1，即：,注意： 只能作为校核条件，不能作为计算条件。,由上式可以看出，结点力偶M0按系数 确定的比例分配给各杆端。系数 称为分配系数，某杆的分配系数 等于该杆的转动刚度S与交于同一结点的各杆转动刚度之和 的比值。即：,10,3、传递系数,当近端有转角时（无线位移），远端弯矩与近端弯矩的比值称为传递系数，用C表示
4、。,在上面的讨论中可知，远端弯矩等于近端弯矩乘传递系数，即 。,11,二、单结点力矩分配,用位移法解图a)所示结构时，首先在结点B加上附加转动约束，锁住B使之不能转动，于是可求得各杆固端弯距。附加约束产生的反力矩MB等于各杆端固端弯矩的代数和，见图 b)。,示例：作图a）所示连续梁的M图。,12,其次放松结点B，即在结点B加 MB，这时结构受结点力矩作用的情况，可以用力矩分配法进行计算，见图 c）。,解： 1）求分配系数,令,13,2）求固端弯矩（查表获得）,结点B约束力矩为：,结点B分配力矩为：,14,3）运算格式,4）作弯矩图,分配系数,固端弯矩,0.571,0.429,-150,150,
5、-90,15,解： 1）求分配系数,例题8-1-1 作图示刚架 M 图。,令,16,2) 求固端弯矩,结点B约束力矩为：,分配力矩为：,17,3) 运算格式,分配系数写在结点B上面的方框内。 分配力矩下面划一横线，表示结点已放松，达到平衡。 传递力矩以箭头表示力矩传递的方向。 最后的杆端弯矩，以下面划双横线表示。,分配系数,固端弯矩,分配传递,杆端弯矩,18,4) 作弯矩图,5) 讨论,若结点力矩为逆时针方向，则：,结点B约束力矩为：,分配力矩为：,19,处理方式有两种： 第一种，是在计算不平衡力矩(附加刚臂上的约束力矩)时，就将结点集中力偶矩考虑进去一并计算，然后反号分配。 第二种，是将集中
6、力偶矩直接分配，按分配系数“同号分配”，(集中力偶以顺时针为正，反时针为负)；而后与约束力矩的分配力矩一并进行传递。 前面是按第一种方法计算的。,6) 结点力偶矩的处理方式,20,例8-1-2 讨论悬臂端的处理。（见示例）,解：切除图a)所示梁的CD段，则BC杆的C端有顺时针方向的力矩60kN.m，该力矩在BC杆B端产生固端弯矩30kN.m，见图 b）。,21,结点B约束力矩为：,分配力矩为：,22,另外处理方式：将BC梁看作是B端固定C端铰支梁，把MCD看作外力偶矩，求解B点的固端弯矩（如下图）。,23,8-2 多结点力矩分配,一、多结点力矩分配,1）锁住结点B、C，各杆产生固端弯矩。,结点
7、约束力矩：,24,2）放松结点B，即在结点B施加力矩-MB ，结点C仍锁住。这相当于做一个单结点力矩分配。,结点C约束力矩变为：,注意：此时结点C约束力矩=原结点C的约束力矩+B点分配时的传递力矩,25,3）重新锁住结点B，同时放松结点C，即在C施加力矩 ，这又相当于做一个单结点力矩分配。,结点B新的约束力矩为,结点B新的约束力矩=结点C分配时的传递力矩,26,4）重新锁住结点C，同时放松结点B，即在B施加力矩 ，这又相当于做一个单结点力矩分配。,结点C约束力矩变为,如此循环，可见连续梁的变形曲线越来越接近实际的变形曲线，即越来越趋近于精确解。,所谓多结点力矩分配，本质上是单结点力矩分配。通常
8、各结点做两轮至三轮分配运算，就可以达到满意的精度。,27,结点B,例8-2-1 作图示刚架M 图。,结点C,解：1) 求分配系数,28,2) 求固端弯矩,注意：各杆（梁）的计算条件。,29,3) 运算格式,30,4) 作弯矩图,小结：,1）分配运算通常从约束力矩较大的结点开始，这样收敛较快。,2）若停止分配运算，就不应再向中间结点的杆端传递弯矩。,31,例8-2-2 结构力学教程（）第456页例9-4的说明（2000年7月第1版）。,32,说明：,1）在计算B结点各杆的分配系数时，C结点不锁住， 即C结点处看作铰支座。,2）结点C处的分配系数是为了解决固端弯矩的求解问题。,3）上面计算过程等同
9、于下图所示的处理方法。,33,例8-2-3 作图a)所示刚架的弯矩图。,解：1) 求分配系数转动刚度取相对值，设EI=1,34,2) 锁住结点B、C，求各杆的固端弯矩,35,结点B、C的不平衡力矩为：,3) 力矩分配与传递(直接在图b上进行) 4) 计算杆端弯矩(直接在图b上进行) 5) 作M图(见图c)。,36,37,6) 关于悬臂段上荷载对结点产生力偶矩的处理,悬臂段CD上的荷载，对D点产生顺时针作用的结点力偶矩(25kNm)。除按上述方法处理外，也可将此力偶矩直接同号分配；然后将C点的固端弯矩反号分配；两次分配结果叠加后再传递，最终结果相同。,38,二、几个问题的讨论,1、对称结构的计算
10、,对称结构在对称荷载作用下，结构无侧移，可以利用力矩分配法计算。根据位移法中的讨论，取半边结构以简化计算。注意：横梁的线刚度为原结构的2倍，因其长度缩短一半。,39,2、多结点时的分配,下图示结构，锁住结点C， 放松结点B、D，即结点B、D同时分配并向结点C传递。然后锁住结点B、D，放松结点C，即结点C进行分配并向B、D传递，依此类推。可缩短计算时间，加快收敛。,40,下图示刚架，打的结点为一组，其余为另一组。两组结点依次锁住或放松，可大大加快计算速度。,自学书中例题,41,前述已知：力矩分配法不能应用于有结点线位移(侧移)的刚架。因为若刚架的内部结点有侧移，则力矩分配法中的分配关系和传递关系
11、均不能成立。, 8-3 无剪力分配法,无侧移刚架力矩分配法,有侧移刚架,某些特殊刚架无剪力分配法 (类似于力矩分配法)。,一般有侧移刚架力矩分配法与位移法的联合应用。,刚架,42,什么是特殊的有侧移刚架？这就是无剪力分配法的应用条件。,有一类刚架，其内部结点虽然有线位移，但可以不取作位移法的基本未知量，对这类刚架也可以求得类似于力矩分配法中的分配关系和传递关系，于是可以按照力矩分配法的格式进行计算，此即为无剪力分配法。,一、适用无剪力分配法的条件,若结构中只存在下列两类杆件，则适用于无剪力分配法。,43,1）刚架除两端无相对侧移的杆件外；2）其余杆件为剪力静定杆（即剪力只取决于外荷载）。,44
12、,用位移法解上题，基本未知量取B ，BH 不必作为未知量。AB杆剪力静定，BC杆无相对侧移。,二、无剪力分配法的概念,原结构,45,杆端弯矩表达式（AB杆为一端固定一端滑动梁）,位移法方程,弯矩图,46,由上面的讨论可得出如下结论：,1）剪力静定杆AB在B端的转动刚度为SBA=iBA,传递系数为CBA= -1。2）剪力静定杆AB的固端弯矩按下端固定、上端滑动的单跨梁查表求得。,下面用无剪力分配法解上题。,1）求转动刚度及分配系数,47,3）运算格式,弯矩图见前页。,2）求固端弯矩,48,如右图示，放松结点B，AB杆剪力等于零。,小结：,1）在放松结点B，即约束力矩MB反号分配的始终，剪力静定杆
13、AB的剪力始终等于零，所以称为无剪力分配法。,2）若刚架横梁的两端无相对侧移，柱的剪力静定，则该刚架可用无剪力分配法计算。,3）对于剪力静定杆：,转动刚度S= i；,传递系数C= -1；,按下端固定，上端滑动的单跨梁求固端弯矩。,49,三、双层半刚架,横梁AB、CD两端无相对侧移，柱AC、CE为剪力静定杆。,求固端弯矩,锁住结点A、C产生固端弯矩。,50,51,由上述讨论可以得到和单层半刚架中的剪力静定杆相同的结论：,1）剪力静定杆的固端弯矩仍按下端固定，上端滑动的单跨梁求解。上层柱所受的水平荷载会在下层柱中产生固端弯矩，下层柱应首先求出柱上端的剪力，此剪力要作为集中荷载加在滑动端求固端弯矩。
14、,2）剪力静定杆的转动刚度及传递系数仍旧为：,转动刚度 S=i ， 传递系数 C= -1。,52,结点A,结点C,例8-3-1 用无剪力分配法作半刚架的M图。,解： 1）求分配系数,53,AC柱,CE柱,2) 求固端弯矩,54,3) 运算格式,图中蓝色数字为固端弯矩,55,4) 作弯矩图,56,结点B,结点C,例8-3-2 用无剪力分配法图示刚架的M图。,解： 1）求分配系数,分析知：AB杆是剪力静定杆，BC、CD杆是两端无相对线位移的杆件。,57,2) 求固端弯矩,58,3) 运算格式,59,4) 作弯矩图,60,例8-3-3 剪力静定杆固端弯矩的求解。,1),61,2),62,3),63,
15、4),说明：对称刚架在反对称荷载作用下，可取以上半刚架，按无剪力分配法计算,64,分析图示的几种刚架能否应用无剪力分配法计算。,不能，斜柱剪力不能静定求出,不能，横梁两端有相对位移,能,能,能,能,65,书中习题8-14a、b,=,+,66,67,8-4 力矩分配法与位移法的联合应用,力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架；无剪力分配法适用于具有侧移的单跨多层刚架的特殊情况。对于一般有结点线位移的刚架均不能单独应用上述两种方法，这时可考虑力矩分配法和位移法的联合应用。 即力矩分配法和位移法的联合应用适用于具有侧移的一般刚架。 该方法的特点是：(1) 用力矩分配法考虑结点角位移的影响；(2)
16、 用位移法考虑结点线位移的影响。,68,下面以图a所示刚架为例说明计算的原理。,首先用位移法求解，只将结点线位移作为基本未知量，而结点角位移不算作基本未知量。基本体系的两个分解状态如图b、c所示。,第一个状态控制结点线位移1=0，即为基本体系在荷载单独作下的情况，可用力矩分配法求解，并作出相应的MP图，求出附加反力F1P。,69,两种状态叠加，相应的位移法方程为：,按式(a)可求得： 按式(b)可求得M图。 可以看出：关键的问题是求出k11和F1P。,第二个状态控制结点发生线位移1(结构实际的线位移)，所需施加的力为k11 1。为计算方便，给定1=1可获得 图，同时可求得此时的附加支反力k11。,弯矩可表示为：,70,书中例题：求图示刚架的内力。,解：(1) 在D点加水平链杆，然后求作荷载作用下的弯矩图MP。见书中MP图。,
