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1、1,6-2 留数在定积分计算中的应用,一、形如 的积分 二、形如 的积分 三、形如 的积分,2,应用留数定理于数学分析中的广义积分, 可以积出许多原来无法积出的积分. 其关 键是将原来的积分区间置于复平面中某个 区域的边界上.书上的例题是很典型的, 应 注意如何巧妙地把定积分化为复积分.,3,思想方法 :,沿某条封闭路线的积分。,两个重要工作:,1) 积分区域的转化；,2) 被积函数的转化。,把定积分转化为一个复变函数,4,一 、形如 的积分,定理1 若函数 在圆周 |z|=1上解析，在|z|1， 使当 且 时，f(z)解析并且满足，则积分I2存在且有,. z2,. z3,. z1,12,2.
2、积分区域的转化:,取一条连接区间两端的逐段光滑曲线, 使与区间,一起构成一条封闭曲线, 并使f(z)在其内部除有,限孤立奇点外处处解析.,(此法常称为“围道积分法”),1. 被积函数的转化:,(当z在实轴上的区间内变动时 , f(z)=f(x) ),f(x),f(z),13,证明 设CR为上半圆周：z=Rei(0)，当Rr 时，奇点z1,z2,zn均在由CR及实轴上从-R到R的一段所围成的闭路内。由留数定理得,由于在CR上,因此,得证。,14,并且分母在实轴上无零点，计算,其中,有理函数的无穷积分,此时，我们设,若有理函数 的分母至少比分子高两次,则,当 充分大时，有,即,于是由定理2可得,1
3、5,推论 若有理函数f(z)P(z)/Q(z)在上半平面 上奇点为z1,z2,zn，Q(z)在实轴上无零点， 且Q(z)的次数至少比P(z)的次数高两次，则有,16,例3 计算积分,解,所以,明显，只有 在上半平面，且为 f (z) 的一级极点，因此,17,明显，只有 在上半平面，且为 f (z) 的一级极点，因此,由于 为偶函数，因此,18,例4 计算积分,解,19,20,三、形如 的积分,定理3 设函数 f(z) 在实轴上无奇点，且在上半平 面除有奇点 z1,z2,zn 外解析，若存在正数M 和r， 使当 且 时，函数 f(z) 解析且 有 ，则有,21,证明 设CR为上半圆周： ，取充分
4、大的R( )，则有,下面只须证明当 时，上述沿CR的积分趋向于零,22,令 ，从而有,由于,23,推论 若有理函数f(z)P(z)/Q(z)在实轴上无奇点， 且Q(z)的次数比P(z)的次数至少高一次，则有,证明 略,有理函数与三角函数乘积的积分,注1 积分存在要求: f(x)是x 的有理函数而分母,的次数至少比分子的次数高一次, 并且 f(z) 在实,轴上无孤立奇点.,24,注2,25,例5 计算积分,解,26,27,例6.计算积分,解：由于被积函数为偶函数，因此,在上半平面只有一个简单极点，且,由定理3推论得,因此,28,通过上面三个定理的证明可以看出，利用留数来计算定积分，首先把积分化为
5、一个复变函数沿某条曲线的积分，若该积分满足留数定理的条件，则可用留数定理直接计算。在一般情况下，需要象定理2和3的证明那样，将积分曲线补充成一条闭曲线，然后利用留数定理和取极限求得积分值。 注意 所构造的闭路必须可用留数定理来计算其积分，函数在所补充的路线上的积分或其极限要容易计算。,29,四、积分路径上有奇点的积分,定理3 设函数 f(z) 在实轴上无奇点，且在上半平 面除有奇点 z1,z2,zn 外解析，若存在正数M 和r， 使当 且 时，函数 f(z) 解析且 有 ，则有,30,例1 计算积分,分析,应使封闭路,线不经过奇点, 所以可取图示路线:,某闭曲线,转化为,转化为,31,解,封闭曲线C :,由Cauchy 积分定理得:,由,32,33,当 充分小时, 总有,34,即,35,例2,证,如图路径，,36,37,令两端实部与虚部分别相等，得,菲涅耳(fresnel)积分,38,第五章内容提要,留数,计算方法,可去奇点,孤立奇点,极点,本性奇点,函数的零点与 极点的关系,留数定理,留数在定积分 计算中的应用,39,思考题,40,思考题答案,41,例1 计算,解,令,42,极点为 :,(在单位圆内),(在单位圆外),43,例2 计算积分,解,极点为,其中,由留数定理，有,44,45,例3 计算积分,解,在上半平面内有一级极点,46,放映结束，按Esc退出.,
