《高考数学艺体生百日突围专题(09)等差数列与等比数列(基础篇,含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学艺体生百日突围专题(09)等差数列与等比数列(基础篇,含答案)（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2016 艺体生文化课-百日突围系列 专题 9 等差数列与等比数列 等差数列的概念与运算 【背一背基础知识】 1等差数列的定义 如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等 差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示 2等差数列的通项公式 如果等差数列 an的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 1 (1) n aand. 3等差中项 如果 2 ab A，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 4等差数列的前n 项和 (1)公式的推导：等差数列的前n 项和公式是用倒序相加法求得的 (2)等差数列 an的前 n 项和公式： 1 1 ()(1)
2、 22 n n n aan n Snad 【讲一讲基本技能】 1.必备技能： (1)等差数列的判定通常有两种方法： 第一种是利用定义，anan1d(常数 )(n2) ，第二种是利用等差中项，即2anan1an 1(n 2) (2)解选择、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断 通项法：若数列an 的通项公式为 n 的一次函数，即anAnB(A、B 是常数 )，则 an 是 等差数列 前 n 项和法：若数列an 的前 n 项和 S n是 SnAn 2Bn 的形式 (A，B 是常数 )，则 a n为等 差数列 (3)等差数列可以由首项a1和公差 d 确定，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕
3、a1和 d 进行 (4)对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a1， d.如果再给出第三个条 件就可以完成an， a1，d，n，Sn的“ 知三求二 ” 问题这体现了用方程的思想解决问题 2.典型例题 例 1 已知数列 n a为等差数列，且 1 2a，13 32 aa，则 654 aaa（） （A）45 （B）43 （C ）42 （D）40 【答案】 42 【解析】 23111 13,213,23aaadadad， 4561 3123 212 342aaaad . 例 2 已知 n a是公差为1 的等差数列， n S为 n a的前n项和，若 84 4SS， 则 10 a（） （A
4、） 17 2 （B） 19 2 （C）10（D）12 【答案】 B 【解析】 【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式 【名师点睛】 解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、 前 n 项和公式， 利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差， 利用等差数列性质可以 简化计算 . 【练一练趁热打铁】 1.若 n S是等差数列 n a的前n项和 ,且 83 20SS，则 11 S的值为 【答案】 44 【解析】由 83456786 520SSaaaaaa,解得 6 4a,又由 6111 116 11211() 1144 22 aaa Sa 2. 已知数列 n a中
5、，1 1 a， 2 1 1nn aa（2n） ，则数列 n a的前 9 项和等 于 . 【答案】 27 【解析】2n时， 2 1 , 2 1 121 aaaa nn 且 1 aan是以 为首项， 2 1 为公差的等差数列 27189 2 1 2 89 19 9 S 【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用. 【名师点睛】 能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键，这需要考 生平时多加积累， 同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用，考查了考生的基本运算能 力. 等差数列的性质 【背一背基础知识】 1.等差数列 an 的常用性质 (1)通项推广：
6、an am(nm)d(d 为数列 an的公差 ) (2)若 mnpq(m，n，p，q N * )，则 amanapaq.特别地： a1ana2an1a3 an 2. (3)项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即若mn2p，则 aman2ap. (4)Sk，S2kSk，S3kS2k，构成等差数列，公差为 k2d. (5)Sn a1an 2 n a2an1 2 n a3an2 2 n. 2等差数列的前n 项和公式与函数的关系 (1)等差数列前n 项和公式 Snna1 nn1 2 d 可化为： Sn d 2n 2 (a 1 d 2)n. 数列 an是等差数列的充要条件是其前 n 项和公式Snf(
7、n)是 n 的常数项为零的二次函数， 即 2 n SAnBn. (2)在等差数列 an中， a10，d0，则 Sn存在最小值 【讲一讲基本技能】 1.必备技能： (1)等差数列 an的通项公式ana1 (n 1)ddn a1d，d0 时， an是 n 的一次函数当 d0 时， an为递增数列，当d0，则数列递增 若 d0 q1 或 a10 01 an为递减数列； q1an 为非零常数列； q0 an为摆动数列 (2)等比数列其他性质 若数列 an 是等比数列，则 can( c 0) ，|an| ，a 2 n， 1 an 也是等比数列，若 bn是等比数 列，则 an bn也是等比数列 数列 am
8、，amk， am2k，am3k，仍成等比数列 若等比数列 an的项数为 2n，则 S偶 S奇 q，其中 S偶，S奇分别是数列的偶数项的和与奇数项 的和 an amq nm(m，nN*) 2.典型例题 例 1 在正项等比数列 n a中， 369 lglglg6aaa，则 111a a的值是（） A. 10000B. 1000C. 100D. 10 【答案】 A 【解析】分析：这题要用到等比数列的性质： 2 111639 a aaa a 若 n a为等比数列，且mnpq，则 mnpq aaaa.所以 3 36936966 lglglglg()lg3lg6aaaaaaaa，所以 2 6 10a，而
9、2 1611 4 1010000aaa .故选 A. 例 2 设 n a是公差不为0 的等差数列 , 1 2a，且 136 ,a aa成等比数列 ,则 5 a的值为. 【答案】 4 【解析】 【练一练趁热打铁】 1.在各项都为正数的等比数列na中，13a，前三项的和为21，则34 5 aaa （） A.33B.72C.84 D.189 【答案】 C 【解析】 2.等差数列 n a的前 n 项和为 n S.已知 2 32 Sa，且 124 ,S S S成等比数列，则 n a的通项公 式为 n a. 【答案】3 n a或21 n an 【解析】设 n a的公差为 d. 由 2 32 Sa得 2 2
10、2 3aa，故 2 0a或 2 3a. 由 124 ,S S S成等比数列得 2 214 =SSS. 又 12 Sad， 22 2Sad， 42 42Sad， 故 2 222 (2)()(42 )adadad. 若 2 0a，则 22 2dd，所以0d，此时0 n S，不合题意； 若 2 3a，则 2 (6)(3)(122 )ddd，解得0d或2d. 因此 n a的通项公式为3 n a或21 n an. （一）选择题（12*5=60 分） 1. 在等差数列 n a中，若 2 a=4， 4 a=2，则 6 a= （） A、-1 B、0 C、1 D、6 【答案】 B 【解析】由等差数列的性质得 6
11、42 22240aaa，选 B. 【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解， 主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题 . 2设 n S是等差数列 n a的前n项和， 153 2,3aaa，则 9 S（） A.72B.54C.54 D.72 【答案】 B 【解析】 3. 正项等比数列 n a的公比为2，若 210 16a a，则 9 a的值是 A.8 B.16 C.32 D.64 【答案】 C 【解析】法一：由 n a是等比数列， 且 210 16a a， 所以 9 11 16a
12、 q a q， 又2q， 则 1 1 8 a， 所以 88 91 1 232 8 aa q. 所以 6 4a, 又公比为2，所以 33 96 4 232aaq， 故选 C 法二：因为 n a是等比数列，且 210 16a a，所以 6210 4aa a，则 33 96 4 232aa q. 4三个实数成等差数列，首项是9，若将第二项加2、第三项加20 可使得这三个数依次构 成等比数列 n a，则 3 a的所有取值中的最小值是（） A. 1 B. 4 C. 36 D. 49 【答案】 A 【解析】 5已知，1,1xy，且 11 ln,ln 44 xy成等比数列，则xy有（） A、最小值eB、最小
13、值eC、最大值eD、最大值e 【答案】 A 【解析】1,1xy，且 11 ln,ln 44 xy成等比数列， 2 11 lnln 44 xy ，即 2 1lnln lnln 42 xy xy ，lnln1,ln1xyxy，故xye 6已知等差数列 n a的公差0d，若 1232 0 1 3 2013 t aaaaa（ * Nt） ，则t （） A2014B2013C1007D1006 【答案】 C 【解析】由等差数列前n项公式 12013 1232013 2013() 2013 2 t aa aaaaa，由等 差数列性质得 120131007 22 t aaaa，所以1007t，故选 C. 7
14、已知数列 n a是等差数列，且 147 2aaa，则 35 tan()aa的值为（） A. 3B. 3C. 3 3 D. 3 3 【答案】A 【解析】 147 2aaa，所以 4435435 244 32 ,2,tan()tan3 333 aaaaaaa 8已知数列 n a满足 1 30 nn aa， 2 4 3 a，则 n a的前 10 项和等于（） A 10 6(1 3)B 10 1 (13 ) 9 C 10 3(1 3)D 10 3(1 3) 【答案】 C 【解析】 9已知数列 n a为等比数列 ,若,10 64 aa则 937371 2aaaaaa的值为（） A10 B20 C60 D
15、100 【答案】 D 【解析】 n a是等比数列，题中又出现了数列中的两项的积，故可应用其性质， 22 174396 ,a aaa aa，这样就有 222 173739446646 22()100a aa aa aaa aaaa 10已知 n a是等差数列，公差 d不为零，前n项和是 n S，若 3 a， 4 a， 8 a成等比数列， 则（） A. 14 0,0a ddS B. 14 0,0a ddS C. 14 0,0a ddS D. 14 0,0a ddS 【答案】 B. 【解析】等差数列 n a， 3 a， 4 a， 8 a成等比数列， dadadada 3 5 )7)(2()3( 111 2 1 ， ddaaaaS 3 2 )3(2)(2 11414 ，0 3 5 2 1 dda，0 3 2 2 4 ddS，故 选 B. 【考点定位】 1. 等差数列的通项公式及其前n项和； 2. 等比数列的概念 【名师点睛】 本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的概念等知识点，同时考查了 学生的运算求 解能力，属于容易题，将 1 a d， 4 dS表示为只与公差d有关的表达式，即可求解，在
