非线性模型的线性化

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1、第四章 非线性模型的线性化,问题一 如何度量弹性？,第一章 例题 2.2 如何估计家庭消费支出y 的支出弹性？ 估计方程为,模型解决了边际效应问题，但 弹性无法求出,问题二 如何测度增长率？,经济学家 、企业家和政府十分关注变量的增长率，如政府预算赤字规划就是依据GDP预期增长率而确定的； 类似地，中央银行常用未偿付消费信贷的增长率来监视货币政策的运行效果； 如何用回归分析度量这些变量的增长率？,实际分析工作中，有许多回归模型的因变量与自变量之间的关系并不呈现线性关系，此时，可以通过线性变换来使其线性化，从而利用回归分析工具进行分析。,回归模型的函数形式: 第一类: 标准线性模型因变量与自变量

2、以及参数之间均成线性关系 第二类:非标准线性模型因变量与自变量不成线性关系,但与参数成线性关系 第三类:非线性模型因变量同参数不成线性关系,一、非标准线性模型的线性化 二、非线性模型的标准线性化 三、例子,一、非标准线性模型的线性化,1. 多项式回归模型,在生产与成本函数的经济计量 中广泛应用,设z1=x，z2=x2，zk=xk，则上式可化为标准线性回归模型：,例取k=3, 令z1 = x，z2 = x2， z 3 = x3，上式变为其中B10, B20, B30情形的图形见下图。其图形与经济学中的总成本曲线相似。,K=2 y = b0 + b1 x + b2 x2 + u 其中b10, b2

3、0和b10, b2F0.05(3，46)=2.84，说明解释变量整体显著。 各回归系数的t检验值均大于t0.025(46)=2.0218,表明回归系数j均显著不为零，能够解释成本的变化。,案例研究,案例4.1.2成本产量多项式模型拟合,某企业财务经理欲对企业的成本进行控制，为了掌握成本与产量的数量关系，需要拟合一个成本函数。财务经理搜集了50组成本与产量的资料，试以0.05的显著水平拟合二项成本函数。 (数据库见4.成本函数),1.绘制成本产量散点图,选择二次曲线(抛物线) :y=a+bx+bx2+u,2.eviews运算结果,3. 回归计算结果分析：,成本函数的样本回归方程为:,调整R2,

4、约为0.78, 说明产量与产量平方这两个变量可解释成本变化的78%，而其余的22%变动要由其他因素的影响来解释。 F统计量为约89.17，根据F统计量得到的P值近似为0，远远小于显著水平0.05，说明回归方程有效。 回归系数的t检验值及p值表明回归系数显著不为零，能够解释成本的变化。,对成本函数求导,得到边际成本函数估计式:当x=2784.09时,边际成本为0. 当x2784.09时,边际成本0,呈上升趋势 当x2784.09时,边际成本0,递减,2.双曲线函数模型,模型形式 设z=1/x,则上式化为：,平均固定成本Y与产出X关系,B 1,经济理论 随X增加，Y逐渐降低，最后接近B1,恩格尔消

5、费曲线 ：消费者在某一商品上支出与其总收入或总消费支出的关系,B1,【例4.2】 调查某地区20个家庭用于电脑、旅游的支出y和家庭可支配收入x的数据如下（单位:万元）,要求拟合恰当的回归模型。,1. 首先拟合散点图,根据图形，考虑建立回归模型：,令,则上式化为：,利用Eviews回归,估计方程为,例题4.2.2美国菲利普斯曲线的研究,菲利普斯曲线是反映货币工资变动率（或 通货膨胀率）与失业率之间变动关系的一条曲线，现利用1958年1969年美国小时收入指数的百分比（y)与失业率，建立19581969年美国的菲利普斯曲线。 1.作出散点图（见数据）：近似倒数曲线 选用模型：y=a+b(1/x)u

6、,转,散点图,2. 计算结果,3.方程检验,回归方程为：拟合度检验表明，自变量失业率可以解释工资增长率变动的62.5。 方程的F检验表明，在0.01的显著性水平下，方程是极显著的。系数的t检验说明，在0.01的显著性水平下，1/x系数也是极显著的。,4.结果分析,结果说明在19581969年之间，美国的收入指数与失业率程倒数关系，随着失业率的增加，工资率减少，且减少的幅度依赖于 失业率。,3. 对数函数模型,半对数模型：经济学中半对数模型常用来对增长率问题进行研究,如人口增长率,GDP增长率,商品需求增长率等. 化为线性模型: 令 lny=z 或 ln x=t 上式化为：,回归系数 的意义:

7、(1)式中 : x每变动1个单位, y将 变动100特别地：当x 为时间变量时,则系数衡量了y的年 增长速度.所以该模型也常称为符合增长率模型,(2)式中, ,表示x每变动1时，,y将变动 个单位。,【例4.3】以企业研发支出（R&D）占销售额的比重为被解释变量（Y），以企业销售额（X1）与利润占销售额的比重（X2）为解释变量，一个有32容量的样本企业的估计结果如下：,其中括号中为系数估计值的标准差。 （1）解释log(X1)的系数。如果X1增加10%，估计Y会变化多少个百分点？这在经济上是一个很大的影响吗？ （2）针对R&D强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不随X1而变化的假设。分

8、别在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。,（3）利润占销售额的比重X2对R&D强度Y是否在统计上有显著的影响？,解:（1）log(x1)的系数表明在其他条件不变时， x1变化1，Y变化的单位数；换言之，当企业销售X1增长1%时，企业研发支出占销售额的比重Y会增加0.0032个单位。由此，如果X1增加10%，Y会增加0.032个单位。这在经济上不是一个较大的影响。,（3）对X2，参数估计值的t统计值为t=0.05/0.46=1.087，它比在10%的显著性水平下的临界值(t0.05(29)=1.69913)还小，因此可以认为它对Y在统计上没有显著的影响。,双对数模型：则有,在对数线性模型中，

9、1度量了y关于x的弹性,称作弹性系数。它表示x变动1%,y将变动1%.,=,对于线性模型，y = 0 + 1 x1 + u ，1称作边际系数,【例4.4】 1970-1980年美国的咖啡消费与价格的数据如下，要求拟合回归模型。,有关价格弹性问题研究 解: 作散点图,考虑建立回归模型：,令 y1=lny x1=lnx 则 y1=+x1+ Eviews回归结果,估计方程为：,方程检验:a=0.05 A :拟合度检验 .说明自变量的对数能解释因变量变差的74.48%,其余可由其他变量解释 B ; F =26.27,P F =0.000060.05.方程较为显著 C : Lnx的 t 值=5.125

10、对应的P=0.0006 1，称模型为规模报酬递增型；表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的。 + 1，称模型为规模报酬递减型。表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的,根据柯布-道格拉斯生产函数可得到下列经济参数,劳动力边际生产力,资产边际生产力,表示在资产不变时增加单位劳动力所增加的产值,表示在劳动力不变时增加单位资产所增加的产值。,产出弹性系数,资产产出弹性系数,柯布道格拉斯生产函数采用的边际分析方法，可用于分析要素投入对产量（产出）的贡献率、规模收益和其他系列问题。是生产函数中应用广泛的一种。,案例1 台湾农业生产效率评价,用台湾1958-1972年农业生产总值（y），

11、劳动力（x1），资本投入（x2）数据为样本得估计模型，lny = -3.4 + 1.50 Lnx1 + 0.49 Lnx2 (2.78) (4.80) R 2 = 0.89, 调整的R 2 0.821F = 48.45,1 统计检验 样本的调整决定系数为0.821，说明劳动投入（对数）与资本投入（对数）对产出（对数）的解释能力为82.1，拟合效果良好。 方程的F及T检验表明，回归方程以及系数均是显著有意义的2.意义解释：b1=1.5为劳动的投入的弹性，表明在资本投入不变的情况下，劳动投入每增加1个百分点，产出平均将增加1.5。 b2=0.49为资本的产出弹性，表明在劳动投入不变得条件下，资本投

12、入每增加1%，产出将平均增加0.49。3.因为1.50 + 0.49 = 1.99，所以此生产函数属规模报酬递增函数。它表明当劳动力和资本投入都增加1%时，产出增加1.99%。说明台湾经济的特征是规模报酬递增的。,例2 天津市工业生产总值模型,用天津市工业生产总值（Y），职工人数（L），固定资产净值与流动资产平均余额（K）数据 (1949-1997) 为样本得估计模型如下：Ln Y = 0.7272 + 0.2587Ln L + 0.6986 LnK(3.12) (3.08) (18.75) 调整R2 = 0.92, s.e. = 0.17, DW = 0.42, F = 1381.4 1，统

13、计检验（略） 2. 结果解释（略） 因为0.2587 + 0.6986 = 0.9573，所以此生产函数基本属于规模报酬不变函数。,表给出了1960-1982年7个oecd 国家的最终能源需求（Y） 、实际GDP（ X2)、实际能源价格（X3）的指数数据。所有指数均以1970年为基数（1970=100）。利用双对数模型进行分析。,例3 能源需求研究,利用eviews计算得:,方程为:,(17.05) (51.77) (-13.53),检验:经济意义检验: 能源需求与收入正相关,与实际价格负相关,与理论相符合 调整的决定系数为0.993.,说明两个自变量对数联合起来可以解释 因变量对数变化的99.3%,拟和效果好. F=1668.1.pf=0.0000.01,方程显著 t2=51.77,p2=0.0000.01, t3=-13.53 ,p3=0.0000.01说明两个变量前的系数显著不为0.收入与能源价格对需求有很强的影响,