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1、第六章 位移法,第六章 位移法,6.1 位移法的基本思路,6.2 单跨超静定梁的杆端内力,6.3 位移法的基本未知量、基本系、典型方程,6.4 位移法举例,6.5 直接由平衡条件建立位移法基本方程,6.6 混合法,6.1 位移法的基本思路,如果已知A结点的转角jA，则原结构的三根杆件可看成三个单跨超静定梁。,原结构可以看成是三个单跨超静定梁受到外荷载和杆端位移jA共同作用。,以某些结点位移为基本未知量，求出结点位移后再计算结构内力位移法的基本思路。,需要解决以下几个问题： 1、以哪些结点位移为基本未知量？ 2、如何求单跨超静定梁在荷载及杆端位移作用下的内力？ 3、如何求结点位移？,6.1 位移
2、法的基本思路,6.2 单跨超静定梁的杆端内力,一、单跨超静定梁的基本型式,杆端转角jA、jB以及垂直于杆轴线的杆端相对线位移DAB均以使杆件作顺时针转动为正。,杆端弯矩MAB、MBA以及杆端剪力FQAB、 FQAB也均以使杆件作顺时针转动为正。,二、杆端内力与杆端位移的正负号,三、形常数,单位杆端位移引起的杆端力，即劲度系数。,6.2 单跨超静定梁的杆端内力,单位杆端位移引起的单跨超静定梁杆端力,四、载常数,由杆上荷载或变温引起的杆端力。,6.2 单跨超静定梁的杆端内力,五、等截面直杆的转角位移方程,当单跨超静定梁受到支座移动以及荷载等因素共同作用时，其杆端内力可根据叠加原理计算。,等截面直杆
3、的转角位移方程,6.2 单跨超静定梁的杆端内力,五、等截面直杆的转角位移方程,q,6.2 单跨超静定梁的杆端内力,6.3 位移法的基本未知量、基本系、典型方程,结点位移包括结点角位移（结点转角）和结点线位移。,一、基本未知量,2、线位移未知量独立的结点线位移。,1、角位移未知量结构上可转动刚结点的角位移。,（1）忽略轴力产生的轴向变形；,（2）结点转角和杆件弦转角是微小的。,杆件变形后两个端点距离保持不变,两个假设：,3、独立结点线位移的确定方法,(1)直接判断法,将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构
4、位移法计算时的线位移数。,(2)铰接体系法,6.3 位移法的基本未知量、基本系、典型方程,1,4,0,练习确定独立结点线位移数：,位移法的基本思路以某些结点位移为基本未知量，求出结点位移后再计算结构内力。,原结构可以看成是三个单跨超静定梁受到外荷载和杆端位移共同作用。,二、基本系,6.3 位移法的基本未知量、基本系、典型方程,刚臂,位移法基本结构通过增加与基本未知量相应的约束，将原结构改造而成的单跨超静定梁组合体。,刚臂只限制转动、不限制移动的约束。,位移法基本结构,二、基本系,6.3 位移法的基本未知量、基本系、典型方程,位移法基本体系,基本系与原结构的差别：,附加约束！,在附加约束上的约束
5、力全为零时，基本体系的内力和位移与原结构相同.,二、基本系,三、典型方程,6.3 位移法的基本未知量、基本系、典型方程,三、典型方程,6.3 位移法的基本未知量、基本系、典型方程,=1,k21,=1,k12,k22,k11,i,i,2i,位移法典型方程,三、典型方程,6.3 位移法的基本未知量、基本系、典型方程,=1,k21,=1,k12,k22,k11=10i,k21= 1.5i,k12= 1.5i,k11,i,i,2i,三、典型方程,6.3 位移法的基本未知量、基本系、典型方程,F1P=4kNm,F2P=6kN,叠加法作弯矩图,1.4,M(kNm),3kN/m,6.3 位移法的基本未知量、
6、基本系、典型方程,k11=10i,k21= 1.5i,k12= 1.5i,四、位移法的解题步骤,1、确定基本未知量（D1、D2）与基本系（附加约束后的单跨超静定梁组合体受原荷载和基本未知量位移作用）,2、建立位移法典型方程,3、作单位内力图与荷载内力图，求系数与自由项,4、解典型方程,5、叠加法作内力图,6.3 位移法的基本未知量、基本系、典型方程,具有n个独立结点位移的超静定结构，位移法典型方程：,劲度（刚度）矩阵,FiP自由项,kij劲度（刚度）系数,j约束发生单位位移时在i约束产生的反力,6.3 位移法的基本未知量、基本系、典型方程,具有n个独立结点位移的超静定结构，位移法典型方程：,劲
7、度（刚度）矩阵,劲度(刚度)系数的特性： kii0； kij kji（反力互等定理） kij与荷载无关。,6.3 位移法的基本未知量、基本系、典型方程,例1、用位移法作M图。,（1）基本未知量与基本系,以结点B、C的转角D1、 D2和结点D的水平线位移D3为基本未知量，基本系如图,（2）典型方程,（3）计算刚度系数、自由项,计算线性刚度i，设EI0=1，,6.4 位移法举例,3,2,4,1.5,3,k11=3+4+3=10,k12=k21=2,k31=?,3,4,2,2,1,k22=4+3+2=9,k32=?,（3）计算刚度系数、自由项,=k13,=k23,6.4 位移法举例,1/2,1/2,
8、9/8,9/8,k33=(1/6)+(9/16)=35/48,k31=k13= 9/8,k32=k23= 1/2,(1/12) 2052=41.7,F1P=4041.7= 1.7,F2P=41.7,F3P=0,（3）计算刚度系数、自由项,6.4 位移法举例,（4）解典型方程求结点位移：,（5）叠加法作弯矩图,M图（kNm）,18.6,42.8,47.8,26.7,23.8,14.9,5,3.6,8.9,3.97,位移法的校核：,结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。,6.4 位移法举例,例2：用位移法作M图,对称结构受对称荷载作用,位移法中利用对称性简化计算的方法：,半结构法,力法中利用对称性简
9、化计算的方法： 采用对称基本系 采用成组的基本未知量 采用半结构,利用对称性简化计算！,6.4 位移法举例,一、奇数跨,(1)对称荷载,(2)反对称荷载,回顾：半结构法的选取,二、偶数跨,(1)对称荷载,(2)反对称荷载,回顾：半结构法的选取,例2：用位移法作M图,半结构,基本系,6.4 位移法举例,基本系,6.4 位移法举例,基本系,6.4 位移法举例,例3：作M图， EI=常数,k11D1+FR1C=0,解:,由结果可见：支座移动引起的位移与 EI大小无关，内力与EI大小有关,基本系,6.4 位移法举例,例4：作M图， EI=常数,解:,基本系,6.4 位移法举例,例4：作M图， EI=常
10、数,解:,基本系,6.4 位移法举例,例4：作M图， EI=常数,解:,由结果可见：温度变化引起的位移与EI大小无关，内力与EI大小有关,基本系,6.4 位移法举例,例5：作M图，EI=常数, t1t2,同上例,FR1t的计算:,=,+,基本系,6.4 位移法举例,例5：作M图，EI=常数, t1t2,FR1t的计算:,=,+,同上例,6.4 位移法举例,一、位移法典型方程的实质含义,6.5 直接由平衡条件建立位移法基本方程,一、位移法典型方程的实质含义,6.5 直接由平衡条件建立位移法基本方程,一、位移法典型方程的实质含义,6.5 直接由平衡条件建立位移法基本方程,一、位移法典型方程的实质含
11、义,位移法典型方程的实质含义是静力平衡方程,6.5 直接由平衡条件建立位移法基本方程,（1）确定基本未知量；,（3）整体分析利用原结构的平衡条件建立位移法基本方程;,（5）由杆件的内力与位移关系式求出各杆件内力。,6.5 直接由平衡条件建立位移法基本方程,二、转角挠度法的基本步骤,（2）单元分析利用转角挠度方程写出各杆件的内力与位移关系式；,（4）解方程求出基本未知量;,例1. 用转角挠度法分析图示刚架。,解（1）基本未知量B、,（2）单元分析,6.5 直接由平衡条件建立位移法基本方程,例1. 用转角挠度法分析图示刚架。,解（1）基本未知量B、,（2）单元分析,6.5 直接由平衡条件建立位移法
12、基本方程,（3）位移法方程,FQBA + FQCD =0,（4）解位移法方程,6.5 直接由平衡条件建立位移法基本方程,（4）解位移法方程,（5）弯矩图,MAB= -13.896 kNm,MBA= -4.422kNm,MBC= 4.422kNm,MDC= -5.685kNm,FQBA= -1.42kN,FQCD= -1.42kN,13.896,4.422,4.422,5.685,M图（kNm）,6.5 直接由平衡条件建立位移法基本方程,力法 基本未知量：多余约束力 基本结构：一般为静定结构。 典型方程（协调条件）作单位和外因内力图，由内力图自乘、互乘求系数和自由项。 解方程求多余约束力 叠加作
13、内力图 用变形条件进行校核,位移法 基本未知量：结点独立位移 基本结构：单跨超静定梁组合体 典型方程（平衡条件）作单位和外因内力图，由内力图的结点、隔离体平衡求系数和自由项。 解方程求独立结点位移 叠加作内力图 用平衡条件进行校核,6.6 力法与位移法的综合运用,EI=常数 EA=,联合法是联合应用力法、位移法解题，一个计算简图用同一种方法。,6.6 力法与位移法的综合运用,位移法,6.6 力法与位移法的综合运用,力法,MP图,6.6 力法与位移法的综合运用,6.6 力法与位移法的综合运用,混合法则是同一个计算简图一部分用力法、另一部分用位移法。超静定次数少，独立位移多的部分取力为未知量。超静定次数多，独立位移少的部分取位移作未知量。,6.6 力法与位移法的综合运用,6.6 力法与位移法的综合运用,6.6 力法与位移法的综合运用,
