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1、高三数学试题（理）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1.复数21zi（i是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（）A. (1.1)B. (1, 1)C. ( 1,1)D. ( 1, 1)2.已知集合|sin,Ay yx xR，集合|lgBx yx，则()RC AB为（）A.(, 1)(1,)B. 1,1C. (1,)D. 1,)3.已知函数( )f x的部分图像如图所示，向图中的矩形区域随机投出100 粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数 .通过 10 次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39，由此可估
2、计1( )0f x dx的值约为（）A.61100B. 39100C.10100D.1171004.圆22(1)1xy被直线30xy分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为（）A. 1: 2B. 1: 3C.1: 4D.1: 55.若26()baxx的展开式中3x项系数为20，则22ab的最小值为（）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6.下列四个判断：某校高三 （1）班的人数和高三 （2）班的人数分别是m和n，某次数学测试平均分分别是,a b，则这两个班的数学平均分为 2ab；从总体中抽取的样本(1,2.5),(2,3.1),(4,3.9),(5,4.4)，则回归直线ybxa必过点(3,
3、3.6)；已知服从正态分布2(1,2 )N，且( 11)0.3p，则(3)0.2p其中正确的个数有（）A.0 个B. 1 个C.2 个D. 3 个7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 23B. 2C.223D. 8.函数| |4cosxyxe（e为自然对数的底数）的图像可能是（）9.点A是抛物线2 1:2(0)Cypx p于双曲线22222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线的一个交点，若点A到抛物线1C的焦点的距离为p， 则双曲线2C的离心率等于 （） A. 6B. 5C. 3D. 210.若函数12( )1sin21xxf xx在区间,(0)k kk上的值域为, m
4、 n，则mn的值是（）A.0 B. 1 C. 2 D. 4 二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分.把答案填在答题卡上的相应位置. 11.已知命题:,|1|5|pxRxxa，若p为假命题，则a的取值范围是_.12., ,a b c分 别 是ABC角A,B,C 的 对边，ABC的 面 积为3， 且12, sin2bC， 则_ .c13.右图表示的是求首项为-41，公差为 2 的等差数列前n 项和的最小值得程序框图，如果中填2aa，则可填写_.14.若,x y满足不等式组3401360xyxy，表示平面区域为D，已知点(0,0),(1,0)OA，点M是 D 上的动点，|OA OM
5、OM，则的最大值为_.15.若函数( )yf x的导数( )yfx仍是x的函数，就把( )yfx的导数( )yfx叫做函数( )yf x二阶导数，记做(2)(2)( )yfx。同样函数( )yf x的 n-1 阶导数叫做( )yf x的n 阶导数，表示( )()( )nnyfx.在求ln(1)yx的 n 阶导数时，已求得(2)(3) 23111 2,1(1)(1)yyyxxx(4) 41 2 3,.,(1)yx根据以上推理，函数ln(1)yx的第n阶导数为_.三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤.把答案填在答题卡上的相应位置. 16.（本小题满分
6、12 分）已知函数23( )cossin()3cos,.34f xxxxxR( )求( )f x的最大值；()求( )f x的图像在y轴右侧第二个最高点的坐标. 17.（本小题满分12 分）如 图 ， 三 棱 锥ABCD中 ，ABC和BCD所在 平 面互 相 垂 直 ，且4,4 2BCBDAC,4 3,45 ,CDACBE F分别为,AC DC的中点 . ( )求证：平面ABD平面BCD; ()求二面角EBFC的正弦值 . 18.（本小题满分12 分）某架飞机载有5 位空降兵空降到A、 B、C三个地点，每位空降兵都要空降到A、 B、C中任意一个地点，且空降到每一个地点的概率都是13，用表示地点
7、 C 空降人数，求：( )地点 A 空降 1 人，地点B、C各空降 2 人的概率；()随机变量的分布列与期望. 19.（本小题满分12 分）已知数列nb的前n项和23.2nnnB( )求数列nb的通项公式；()设数列na的通项( 1) 2nn nnab，求数列na的前n项和nT. 20.（本小题满分13 分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，直线yx被椭圆C截得的线段长为4 105. ( )求椭圆C的方程；()过原点的直线与椭圆C交于 A、 B 两点（ A，B 不是椭圆C 的顶点），点D在椭圆C 上，且ADAB，直线BD与x轴y轴分别交于,M N两点
8、。( ) i设直线,BD AM斜率分别为12,k k，证明存在常数使得12kk，并求出的值；( )ii求OMN面积的最大值. 21.（本小题满分14 分）已知函数( )ln(1)().xf xxaeaR( )当1a时，求( )f x的单调区间；()若( )f x不是单调函数，求实数a的取值范围 . 高三数学试题（理）参考答案一、选择题A C DA C B A A B D 二、填空题11 4,122 或27（填写一个不给分）130a（或者填0a）14534341511 !1. 1nnnny x(n-1)!写成 123 n 的给满分 三、解答题16解：（1）由已知，有f(x)cos x (12si
9、n x3 2cos x)3cos2x3 41 2sin x cos x3 2cos2x3 41 4sin 2x3 4(1cos 2x)+3 44分1 4sin 2x3 4cos 2x1 2sin(2x 3) 6分来源 学科网 ZXXK所以 f(x)的最大值为12; 8分（2）令 2x 3= 22kkZ ，得5 12xkkZ ，令1k，得1712x所以 f(x) 的图象在y轴右侧第二个最高点的坐标是171,122 12分17 （I）证明由 BC4，42AC， ACB45 ，则2244 22 4 4 2cos454AB，显然，222ACABBC， 所以090ABC，即 ABBC . 2 分又平面
10、ABC平面 BCD，平面 ABC平面 BCD=BC ， AB平面 ABC，所以 AB平面 BCD ， 3分又 AB平面 ABD，所以平面ABD平面 BCD 4分（）（方法一）由BCBD，F 分别为 DC 的中点，知 BFDC ， 由 CD=43， 知2 3CF， 知2 33s i n42FBC，所以60FBC，则120DBC，6分如图，以点B 为坐标原点，以平面DBC 内与 BC 垂直的直线为来源 学科网x轴，以 BC 为 y 轴，以 BA 为z轴建立空间坐标系；则0,0,0 ,0,0,4 ,0,4,0BAC，0,2,2E，2 3, 2,0D，3,1,0F，所以0,2,2BE，( 3,1,0)
11、BF 8分显然平面 CBF 的一个法向量为n1(0,0,1)， 9分设平面 BBF 的法向量为n2(x，y，z)， 来源 学#科 # 网 Z#X#X#K由n2 BF0，n2 BE0，得其中一个n2(33， 1， 1)，10分设二面角 EBFC 的大小为 ，则cos|cosn1，n2 |n1 n2 |n1|n2|217，11 分因此 sin 277，即二面角EBFC 的正弦值为277 12分（方法二）连接 BF，由 BCBD，F 分别为 DC 的中点，知BF DC，5 分如图，在平面ABC 内，过 E 作 EGBC，垂足为G，则 G 是 BC 的中点，且 EG平面 BCD在平面 DBC 内，过
12、G 作 GHBF，垂足为H，连接 EH由 EG平面 BCD，知 EGBF,又 EHBF， EGEH=E ，EG,EH平面 EHG , 所以 BF平面 EHG,所以EHG 是二面角EBFC 的平面角 8 分由 GHBF，BFDC， 则 GH/FC , 则 EG 是ABC 的中位线，所以EG=122AB, 10分易知 HG 是BFC 的中位线，所以HG=132FC, 11 分所以222( 3)7EH， sinEHG =22777, 即二面角 EBFC 的正弦值为2 77 12分18解：（I）基本事件的总数为53个，“ 地点 A 空降 1 人，地点B、C 各空降 2 人” 包含的基本事件为12 54
13、C C， 3 分所以所求事件的概率为：12 54 510813C CP；5分（II）由题意知随机变量1(5, )3B, 7分随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,4,505 5232(0)( )3243PC14 51 280(1)()3 3243PC223 51280(2)( ) ( )33243PC332 51240(3)( ) ( )33243PC44 51210(4)( )33243PC55 511(5)( )3243PC, 10 分所以随机变量的分布列为 : 0 1 2 3 4 5 P32 24380 24380243来源 学科网ZXXK40 24310 2431 24311 分根据
14、二项分布得数学期望15533E. 12 分19解： （）当1n时，22133(1)(1)3222nnnnnnnbBBn当1n，得11b，32nbn（Nn）; 4分（）由题意知( 1)2nn nnab=2( 1) 2nnn nb记2n nb的前n项和为nS， ( ) 2nn的前n项和为nH，因为n nb2=(32)2nn，所以2(312)2(322) 2(32) 2n nSn2312(3 12)2(322) 2(3(1)2)2(32) 2nn nSnn两式相减得nS2+233(222 )n1(32) 2nn=110(53 )2nn所以110(35)2n nSn, 8分又22( 2)33n nH，10 分所以nTnnSH=12210(32)2( 2)33nnn=1282(32)2( 2)33nnn 12 分20解： （1）222 22 223333,=,42244ccabeabaaa, 即，1 分设直线与椭圆交于,p q两点 .不妨设p点为直线和椭圆在第一象限的交点, 又弦长为4 105，2525(,) 55p，2244551 ab，可得22225 4aba b ，解得224,1ab，椭
