关于概率论与数理统计

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1、1,概率论与数理统计（I）,北方工业大学理学院 主讲教师：崔玉杰 E-mail: Tel:88803272 教材：概率论与数理统计（商业出版社） 主要参考书：概率论与数理统计（浙大版）,2,关于概率论与数理统计,1.概率论与数理统计是理工、经济类学生的必修基础课程，是今后学习其他高深知识的必备基础，也是同学们进一步考研，考博的基础因此希望同学们一定要高度重视。 2.关于概率论与数理统计的学习方法，要掌握以下几点，第一，注重基本概念的理解与掌握，比如对概率的理解。第二，一定要掌握课本上的例题，它是利用理论解决实际问题的指南，只有在此基础之上才会解决实际问题。第三，注意课外知识的拓展，如果有能力一

2、定要多看一些相关的参考书，必看的象浙大版的概率论与数理统计，还有复旦、中山的版本以及华师的习题集等等。 3.本课程的成绩计算方法，包括平时成绩与期末成绩。平时成绩包括：到课听课情况、平时提问、作业、练习、期中测验等，一般占总成绩的30%，作业双周交一次，练习本于考试前最后一次上课时交上，期末成绩占70%，最后复习一定要多下工夫，争取一次通过，通过以上几点培养独立能力，提高自身素质。,3,关于作业要求的特别提示：,请每位同学准备A、B两个作业本，每本都写上自己的班级、姓名、学号、序号，学期中间最好不要更换其它的本子。,4,本教材要讲的主要内容,第一章 概率论的基本概念 第二章 随机变量及其分布

3、第三章 多维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章大数定律及中心极限定理 第六章 样本及抽样分布 第七章 参数估计 第八章 假设检验 第三章第三节第四章第五节、第八章第五节、第九章、第十章不在考试范围之内，其余章节是必考内容。,5,本次课的教学目的、要求等,1.掌握基本事件等几个基本概念。 2.概率的统计定义。 3.概率的古典定义。 4.常用的排列组合公式与古典概率计算。 教学要求：会用基本概念解决实际问题。 教学重点：概率的古典定义与古典概率计算。,6,第一章 概率论的基本概念,1.1 引言 在这一节里要明白两类现象必然现象又叫确定现象，另一类可能发生也可能不发生的现象叫随机现

4、象，例如掷币实验。 随机现象在一次实验中发生的可能性是不确定的但是大量的重复实验又有规律可寻，这种在大量重复试验和观测中事物所呈现出的固有规律性，我们称之为统计规律性。这正是我们进行概率学习的必要性所在。,7,1.2 概率的统计定义（频率）,几个重要概念 随机试验的每一基本结果称为基本事件，也称样本点；所有基本结果构成的集合称为样本空间；在一定的条件下,可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，简称事件；在一定条件下必然发生的事件叫做必然事件；在一定条件下必然不发生的事件叫做不可能事件。以后我们分别以字母和表示必然事件和不可能事件；以字母表示随机事件。 掷币试验：事件、频数，历史统计表。,8,历

5、史统计表。,表1.2.1 实验者 试验次数 出现的次数 频率= 德摩尔根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4049 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 维尼 30000 14994 0.4998,9,定义1.2.1,定义1.2.1 在一定的条件下,重复做n次试验,nA为次试验中事件发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件在该条件下发生的概率，记做P（A）=p。这个定义称为概率的统计定义。 从定义可知，对任意事件A，p（A）的性质。 在实际问题中，许多情况下，都是采

6、用概率的统计定义。如：产品的合格率、某疾病的发病率、某良种的发芽率等等。所以概率的统计定义是很有用的。 直观上说，概率的统计定义就是在试验次数较大时，用频率代替概率,10,1.3 概率的古典定义（比率）,统计概率的优缺点。 对于解决缺点引进古典定义。 概率的古典定义是根据问题本身所具有的某种“对等性”，分析事物的本质，来直接计算概率的。 古典试验的两个条件： （1）试验只有有限个基本结果； （2）试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。,11,古典定义的公式形式,n表示该试验中所有可能出现基本结果的总数目。 m表示事件A包含的试验基本结果数。 这种定义概率的方法称为概率的古典定义。例子，掷一均

7、匀硬币，掷一均匀骰子，,对于古典试验中的事件A，它的概率定义为,（1.3.1）,12,例1.3.1,掷两颗均匀的骰子，点数之和为2，3，.，12共十一个结果，试问点数之和是7的概率是1/11吗？ 验证是否满足古典实验的条件，若满足可以直接应用定义公式解答。 否则，构建新的符合条件的样本空间。 除此之外，要数清分子和分母，有时要借助排列组合的知识。,13,1.4 排列组合与古典概率计算,1.4.1 元素不允许重复的排列 例1.4.1 问1，2，3，4能组成多少个无重复数字的两位数、三位数、四位数？并排出来。,定义1.4.1 将n个不同元素按一定的次序排列叫做n个元素的一个全排列。 从n个元素中取

8、出m个（n m，不允许重复）按一定的次序排列，叫做从 个元素取 个元素的选排列（简称排列）。 n个元素的全排列总数为； 中选的选排列总数记为， 则：,14,例1.4.2,例1.4.2 假定北京和天津之间有8个火车客运站，问要印多少种不同的火车票？ 解 包括北京、天津在内共有10个站，任意两个站如甲到乙是一种车票，乙到甲是另一种不同的火车票，所以共要印种不同的火车票。,15,1.4.2 元素允许重复的排列,一般定义： 定义1.4.2 从n个不同元素取出m个（允许重复）元素的排列总数为 种。,例1.4.3 问1，2，3，4能组成多少个二位数,三位数?(每个数码允许重复取),例1.4.4 某城用六位

9、电话号码，而首位不允许用0，问该城最多能安多少台“直拨”电话机。,16,1.4.3 组合,从例1.4.2知，北京至天津间的火车票共有90种，但却只有9*10/2=45种票价，这是因为“北京至天津”和“天津至北京”车票不同，但票价却是一样的。这实际上是可以看成从10个元素（车站）中选取二个元素，有几种选法的问题。这称为从10个元素中选取二个元素的组合问题。 定义1.4.3 从n个元素中取出m个不同元素，不管顺序并成一组，叫做从n个元素取m个元素的组合。其组合总数记为 。,17,关于排列与组合,排列与次序有关 如从30个人中选取3个人照像，问共有多少种照法 ？ 若从30人中选3人组成一个学习小组，

10、问有多少种组织法？,18,两个重要的组合公式,19,例题,例1.4.5 八男五女组成的学习小组，选三个组长 （1）必须是一女二男，共有多少种选法？ （2）必须是二女一男，共有多少种选法？ （3）至少有一女，共有多少种选法？,20,例题,例1.4.6 有10人的会议，开会前两两互相握手并互相赠送照片一张，问整个会议上的人共握了几次手？共送了几张照片？ 分堆问题,21,1.4.4 古典概率计算,例1.4.7 设有 件产品，其中有 件不合格品，今从中任取 件，试问这 件产品中恰有 件不合格品的概率是多少？,此概率被称为超几何概率,22,例题,例1.4.8 将 个球任意地放入 个盒子中，试求每个盒子至

11、多有一只球的概率（设盒子的容量不限）。 解 将 只球放入 个盒子中去，每一种放法是一基本事件。亦知，这是古典概率问题。因每一只球都可以放入 个盒子中的任一个盒子。故共有 种不同的放法，而每个盒子中至多放一只球共有 种不同放法。因而所求的概率为著名的生日问题就是本题的示例。,23,表,24,例题,例1.4.9 将15名乒乓球手随机地平均分配到三个组（组编号），这15名球手中有3名国手，试问： （1）每组各分配1名国手的概率是多少？ （2）3名国手分配在同一组的概率是多少？,(1),(2),25,例题,例1.4.10 从数字1，2，9中每次任取一个，共取 n次，试问这个数的积被10除尽的概率是多少？,26,基本概念回顾,基本事件、样本点、样本空间、随机事件、必然事件、不可能事件、频数 排列、组合的有关公式 超几何概率 古典概率计算,27,课堂练习,1.在半径是3的圆内随机取一点，记录它的坐标构成的样本空间？ 2.将n个球随机地放入n+1个杯子中(编号)，杯子中球的最大个数是1的概率？是n的概率？,28,作业,第32页2，12，13，14题。,29,