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1、335,2 向量间的线性关系,定义 n 维向量,负向量,复向量与实向量,零向量,行向量与列向量,定义 向量的相等,(1) n 维向量的概念,n 维向量的分量 x1, x2, , xn,n个数x1, x2, , xn组成的有序数组,336,向量的线性运算 加法与数乘,分量个数相同的列（行）向量之间的运算,与矩阵的相应运算法则相同,将 n 维向量写成行向量进行线性运算与写成列向量进行同样的线性运算所得结果的各分量相同,337,1,2,3,4,5,6,7,8,338,10,9,11,12,若,339,【例】(单项选择题) 已知1, 2, 1, 2, 3 为四维列向量, 且| A | =| 1, 1,
2、 2, 3 | = 5, | B | =| 2, 1, 2, 3 | = -2,则| A + B | = _.,【解】,【答】 D,(A) 3 (B) 6 (C) -24 (D) 24,340,(2)线性组合 一个向量与一组向量的关系,引例,341,若存在 m 个数,使得,342,与线性方程组的关系,令,343,令 A = (1, 2, , m),r (A) = r(A ) = r(1, 2, , m ),344,r (A) = r(A ) = m,r (A) = r(A ) m,345,r (A) r(A ),346,【例】 设,问 是否能由,线性表出？,若能线性表出，写出所有的表出式,【解
3、】,设, 可由1, 2, 3 线性表出,且表出系数唯一:,347,【例】 设, 是否能由,线性表出？,若能线性表出，写出所有的表出式,【解】,设,348,则,( x4 为任意常数 ),( a 为任意常数 ),记 x4为常数a , 故,即 可由1, 2, 3 ,4线性表出, 且表出式有无穷多,349,简单结论,n 维零向量可以被任意 n 维向量组线性表出,任意 n 维向量可以被 n 维基本向量组线性表出,一个 n 维向量组中的每一个向量可由整个向量组线性表出,若向量 可以被向量组1, 2, , s 中的部分向量线性表出, 则 必可被整个向量组线性表出,350,设,则,若AB =C, 则C 的列向
4、量组可由 A 的列向量组线性表出则C 的行向量组可由 B 的行向量组线性表出,351,定义 线性相关与线性无关,其中 0 为 n 维零向量,则称 线性相关， 否则，称它们线性无关,(3) 线性相关与线性无关 一组向量间的关系,352,线性无关,不存在 m 个不全为零的数,使得,对任意 m 个不全为零的数,只有,才有,353,例如,事实上，设,只有零解,354,与线性方程组的关系,令,355,356,357,【解】,【例】 设,判断,是否线性相关?,r ( A ) = 2 2, 且1, 2, , m中任意两个向量都线性无关,则1, 2, , m线性无关,363,【答】C,(A) 1, 2, ,
5、m和 1, 2, , m 都线性相关 (B) 1, 2, , m和 1, 2, , m 都线性无关 (C) 1+ 1, 2+ 2, , m+ m, 1- 1, 2 - 2, , m - m线性相关 (D) 1+ 1, 2+ 2, , m+ m, 1- 1, 2 - 2, , m - m线性无关,下页,364,【解】显然,由已知条件,x1(1+ 1)+x2(2+ 2)+ + xm(m + m )+ +y1 (1- 1)+y2(2 - 2)+ + ym(m - m ) = 0,x1, x2, , xm 不全为零, 故(C) 成立,反例,1= (1,0,0), 2 = (1,1,0) 线性无关 1=
6、 (1,1,0), 2 = (2,2,0) 线性相关,但 0 1+1 2+1 1-12 = 0,(A) (B)都不正确,365,简单结论,n 维基本向量,线性无关，任意 n 维向量 都可以由它们 线性表出,366,任意 m 个 n 维向量,当 m n 时必线性相关,含有零向量的向量组必线性相关,两个向量线性相 (无)关,对应分量成(不成)比例,一个向量线性相关,这个向量为零向量,一个向量线性无关,这个向量是非零向量,(线性无关的向量组必不含有零向量),367,部分向量组线性相关,部分向量组也线性无关,368,一个向量组线性相关,也线性相关,则,一个向量组线性无关,369,若AB = O, B
7、O, 则矩阵 A 的列向量组线性相关,若AB = O, A O, 则矩阵 B 的行向量组线性相关,370,【例】(单项选择题)已知向量组 = (a1,a2,a3), = (b1,b2,b3) 线性无关, 则下列向量组中必线性无关的是_.,【答】C,(A) 1 = (a1,a2),1= (b1,b2) (B) 2 = (a1,a2),2= (b1,b2,1) (C) 3 = (a1,a2,a3,a4),3= (b1,b2 ,b3,b4) (D) 4 = (a1,0,a2),4= (b1,0,b2),371,【例】设1, 2, 3, 4 为n维向量, 1, 2, 3线性无关, 4 = k11+ k
8、22 +k33 , k1, k2, k3 全不为零, 证明1, 2, 3, 4 中任意三个向量都线性无关.,【证】,设 c11+ c22+ c4 4 = 0,将4 = k11+ k22 +k33代入上式得,c11+ c22+ c4(k11+ k22 +k33) = 0,(c1 +c4k1)1+ (c2 +c4k2) 2+ c4k33 = 0,c1= 0, c2 = 0, c4 = 0,由于1, 2, 3线性无关,1, 2, 4 线性无关,同理可证其他,372,【证】,由1, 2, 3, 4 线性相关,由1,2, 3, 4 中任意3个向量线性无关,k1= 0, k2 = 0, k3 = 0,存在
9、k1, k2, k3, k4 不全为零使,k1, k2, k3, k4 中每一个都不为零,若不然, 例如, 设k4 = 0, 则,k11+ k22 +k33 = 0,与(1)矛盾,k11+ k22 +k33 +k44 = 0 (1),故k1, k2, k3, k4 全不为零,373,(4) 线性表出与线性相(无)关之间的关系,374,且表出系数唯一，,375,【例】(单项选择题)当向量组1, 2, , r (r 2)满足条件_时, 它们必线性无关.,【答】C,(A) 1, 2, , r 均不为零向量 (B) 1, 2, , r 中任意两个向量都线性无关 (C) 1, 2, , r 中任意一个向
10、量都不能由其余r 1个向量线性表出 (D) 1, 2, , r 中有一部分向量线性无关,376,【例】(单项选择题)设1, 2, , s 为n 维向量, 则下述 命题正确的是 _.,【答】D,若向量 可以由1, 2, , s 线性表出, 则其表出系数是唯一的 (B) 设1, 2, , r 是1, 2, , s的部分向量组(r s ),且1, 2, , s线性相关, 则1, 2, , r也线性相关 (C)当s n 时, 1, 2, , s 必线性相关 (D)对任意s 个不全为零的数 k1, k2, , ks都有k11+ k22+ + kss 0 则1, 2, , s线性无关,377,【例】设1,
11、 2, , r , 为n 维向量, 其中1, 2, , r 线性无关, 且 不能由1, 2, , r 线性表出, 证明: 1, 2, r , 线性无关,【解】设存在数k1, k2, , kr , k 使,k11+ k22+ krr +k = 0,k = 0 ,否则与 不能由1, 2, , r 线性表出矛盾,k11+ k22+ krr = 0,由1, 2, , r 线性无关,k1= 0, k2= 0 , kr= 0,1, 2, , r , 线性无关,378,【例】 (单项选择题) 设向量组,线性无关,而向量组,线性相关,则_.,(A),必可由,线性表出,(B),必不可由,线性表出,(C),必可由
12、,线性表出,(D),必不可由,线性表出,【答】C,线性无关,线性无关,线性相关,【解】,379,反例,(A) = (1,0,0), = (0,1,0) , = (0,1,0), = (0,0,1), , , 线性无关, , , 线性相关, 不能由 , , 线性表出,(B) = (1,0,0), = (1,1,0) , = (0,1,0), = (1,1,1), , , 线性无关, , , 线性相关, 可由 , 线性线性表出, 可由 , , 线性表出.,380,【例】 (单项选择题) 设向量 可由向量组1, 2, , m 线性表出, 但不能由向量组() 1, 2, , m-1线性表出, 记() 1, 2, , m-1, ,则_,(A) m不能由向量组() 线性表出, 也不能由向量组() 线性表出,(B) m不能由向量组() 线性表出, 但可由向量组() 线性表出,(C) m可由向量组() 线性表出, 也可由向量组()线性表出,(D) m可由向量组() 线性表出, 但不可由向量组()线性表出,【答】B,381,向量组(): 1, 2, , m-1,向量组(): 1, 2, , m-1, ,向量组: 1, 2, , m, = k11+ k22+ + kmm,km 0,
