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1、Chapter 2 谓词逻辑,命题演算的基本单位是简单命题(原子命题), 简单命题是不能再分解的, 即命题仅仅是具有真假意义的一句话. 简单命题的结构和成分在命题演算中是不考虑的, 只对简单命题之间的联结关系加以研究. 在命题逻辑中, 若要表达“某两个简单命题之间有某些共同特点”这种事实是不可能的. 有些简单而又常见的推理过程不能用命题逻辑进行推理.,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,1,Chapter 2 谓词逻辑,例如, 苏格拉底三段论所有的人都是要死的.苏格拉底是人.所以苏格拉底是要死的. 当前两个命题p,q为真时, 第三个命题r必定为真. 即r应是p,q的逻辑结果, 即p
2、qr. 但pqr并非为重言式, 因为当p为真, q为真, r为假时, 上式的真值为0. 所以, 命题逻辑无法正确地描述上述情况.,p:,q:,r:,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,2,Chapter 2 谓词逻辑,之所以出现这样的结果, 是因为上述的推理不仅仅存在于诸命题之间, 更与命题的内部结构有关. 因此, 要反映这种内在联系, 就要对简单命题做进一步分析, 并引入个体词、谓词、量词等新概念, 研究他们之间的逻辑关系, 这就是一阶逻辑所研究的内容. 由于这种逻辑是建立在对语句的谓词的分析基础之上的, 所以又称为谓词逻辑.,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,3,
3、Chapter2 谓词逻辑,1 谓词逻辑的基本概念 2 谓词逻辑公式及解释 3 谓词逻辑等值式,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,4,1 谓词逻辑基本概念,个体词 个体常项 个体变项 个体域（论域） 全总个体域,谓词 谓词常项 谓词变项 特性谓词,全称量词 存在量词,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,5,1 谓词逻辑基本概念,个体词:可以独立存在的客体.它可以是具体的事物, 也可以是一个抽象的概念.如:中国,鲜花,李明,计算机;自然数,唯物主义,思想等. 谓词:用于刻画个体词的性质或关系的词.当谓词与一个个体相联系时, 刻划了个体的性质; 当与两个或两个以上个体相联
4、系时,刻划了个体之间的关系。,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,6,1 谓词逻辑基本概念,例如,2是素数.李强是大学生.林美与林丽是姐妹.上海位于南京与杭州之间. 个体词和谓词是可以变化的. 个体词和谓词又有常项和变项之分.,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,7,个体常项:表示具体或特定个体的个体词.一般用a,b,c,;a1,a2,表示. 个体变项:表示抽象的或泛指的个体词.一般用x,y,z,;x1,x2,表示. 个体域(论域):个体变项的取值范围.可以是有穷集合, 也可以是无穷集合.如,个体变项为计算工具,则个体域为有穷集合:算盘,计算器,计算机.个体变项为自然数
5、,则个体域为N=0,1,2,3,.,1 谓词逻辑基本概念,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,8,1 谓词逻辑基本概念,全总个体域:宇宙间一切事物组成的个体域. 或所有个体域聚集在一起组成的个体域.一般, 如无特殊说明, 个体域均指全总个体域.,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,9,1 谓词逻辑基本概念,谓词常项:表示具体性质或关系的词.一般用F,G,H,表示. 谓词变项:表示抽象的或泛指的谓词.一般,也用F,G,H,表示. F,G,H,表示的是谓词常项还是变项, 需要根据上下文具体情况而定.,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,10,1 谓词逻辑基本概念
6、,一般, 将个体常项a或变项x具有性质F, 记作F(a)或F(x).例如, a:2, F:是素数, 则F(a):2是素数.F(a)是命题, 真值为1.当F的含义不变时, 则F(x):x是素数.这里, x是个体变项, F是谓词常项. F(x)不是命题, 是命题变项.,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,11,1 谓词逻辑基本概念,个体常项a与b或个体变项x与y具有关系L, 记作L(a,b)或L(x,y).例如, a:林美, b:林丽, L:与是姐妹, 则L(a,b):林美与林丽是姐妹.L(a,b)是命题.当L的含义不变时, L(x,y):x与y是姐妹. 其中, x,y是个体变项, L
7、是谓词常项. L(x,y)为命题变项. F(x)表示事物的性质, L(x,y)表示事物之间的关系.,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,12,1 谓词逻辑基本概念,n元谓词:含n(n1)个个体变项的谓词.1元谓词表示事物的性质.n(n2)元谓词表示事物之间的关系. 一般, 用P(x1,x2,xn )表示n元谓词. 它是一 个以个体变项的个体域为定义域, 以0,1为值 域的n元函数, 它不是命题. 若使其成为命题, 必须 用谓词常项取代P, 用n个个体常项a1,a2,an取代 x1,x2,xn.,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,13,1 谓词逻辑基本概念,0元谓词:不
8、含个体变项的谓词.如, F(a)为0元谓词.当F为常项, 它是命题; 当F为变项, 它是命题变项.L(a,b)为0元谓词.当L为常项, 它是命题; 当L为变项, 它是命题变项. 命题可用0元谓词表示, 故命题可看成是谓词的特殊形式. 因此, 命题逻辑中的联结词、等值式、推理规则均可在谓词逻辑中使用.,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,14,Exp.1 将下列命题用0元谓词符号化.,1 谓词逻辑基本概念,（1）4是偶素数. （2）如果4大于3且3大于2, 则4大于2.,解:（1）设F(x):x是偶数, G(x):x是素数, a:4.命题符号化为F(a)G(a)或F(4)G(4).G
9、(a):0, 命题的真值为0.,解:（2）设L(x,y):x大于y, a:4, b:3, c:2.命题符号化为:L(a,b)L(b,c)L(a,c)或 L(4,3)L(3,2)L(4,2).L(a,b):1, L(b,c):1, L(a,c):1, 命题真值为1.,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,15,1 谓词逻辑基本概念,Exp.2 将下列命题用0元谓词符号化.（1）所有的人都呼吸.（2）有的人吸烟.,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,16,1 谓词逻辑基本概念,量词:表示数量的词.全称量词:对应日常语言中的“一切”,“所有 的” ,“任意的” , “每一个”等
10、. 用符号“” 表示.x:个体域里的所有个体.xF(x):个体域里的所有个体都具有性质F.存在量词:对应日常语言中的“存在着”,“有一个”,“至少有一个”, “有的”等. 用符号“”表示.x:存在个体域里的个体.xF(x):存在个体域中的个体具有性质F.,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,17,1 谓词逻辑基本概念,Exp.2 将下列命题用0元谓词符号化.（1）所有的人都呼吸.（2）有的人吸烟. 解:个体域为人类集合D.（1）设F(x):x呼吸.符号化为:xF(x). （2）设G(x):x吸烟.符号化为:xG(x).,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,18,1 谓词
11、逻辑基本概念,个体域为全总个体域D.（1）xF(x):宇宙间的一切事物都呼吸.（2）xG(x):宇宙间有的东西吸烟.引入特性谓词:M(x):x是人.两个命题可转述为:（1）对宇宙间的一切事物来说, 如果它是人, 则它呼吸.（2）在宇宙间存在会吸烟的人.符号化:（1）x(M(x)F(x). （2）x(M(x)G(x).,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,19,在谓词逻辑中, 使用量词时应注意: (1)个体域不同, 命题符号化的形式可能不同,其真值也可能改变; (2)如未说明, 都应使用全总个体域; (3)不能随意颠倒量词的顺序, 否则会改变原命题的含义.,1 谓词逻辑基本概念,20
12、18/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,20,1 谓词逻辑基本概念,Exp.3 在谓词逻辑中将下面命题符号化.(1)自然数皆为整数.(2)有的自然数是负数. 要求: 个体域为自然数集合N;个体域为实数集合R;个体域为全总个体域.,解:个体域为自然数集合N.(1)设F(x):x为整数, 符号化为:xF(x).(2)设G(x):x为负数, 符号化为:xG(x).,个体域为实数集合R. 引入特性谓词N(x):x为自然数.(1)符号化为:x(N(x)F(x). (2)符号化为:x(N(x)G(x). 个体域为全总个体域. 符号化结果同. 中(1)为1, (2)为0.,2018/9/5,北京林业大学
13、信息学院 苏喜友,21,1 谓词逻辑基本概念,Exp.4 将下面命题符号化.(1)对于任意的x, 均有x2-1=(x+1)(x-1).(2)存在x, 使得x+10=8. 要求: 个体域为自然数集合N;个体域为实数集合R. 解:不用引入特性谓词.(1)设F(x):x2-1=(x+1)(x-1).符号化为:xF(x).(2)设G(x):x+10=8.符号化为:xG(x). 显然,(1)为真, (2)为假. 不用引入特性谓词.(1)(2)同. 但(1)(2)均为真命题.,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,22,1 谓词逻辑基本概念,Exp.5 将下列命题符号化.(1)凡正数都大于0.(
14、2)存在小于3的素数.(3)没有不能表示成分数的有理数.(4)参加考试的人未必都能取得好成绩.,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,23,1 谓词逻辑基本概念,解:没有指定个体域, 使用全总个体域.(1)凡正数都大于0.设F(x):x是正数, L(x,y):xy. 符号化为:x(F(x)L(x,0). (2)存在小于3的素数. 设F(x):x是素数, L(x,y):xy.符号化为:x(F(x)L(x,3).,1,1,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,24,1 谓词逻辑基本概念,(3)没有不能表示成分数的有理数.设F(x):x为有理数, G(x):x能表示成分数.符号化
15、为:x(F(x)G(x),或 x(F(x)G(x). (4)参加考试的人未必都能取得好成绩.设F(x):x是参加考试的人, G(x):x取得好成绩.符号化为: x(F(x)G(x),或 x(F(x)G(x).,1,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,25,1 谓词逻辑基本概念,Exp.6 将下列命题符号化.(1)兔子比乌龟跑得快.(2)有的兔子比所有的乌龟跑得快.(3)并不是所有的兔子比所有的乌龟跑得快.(4)不存在同样高的两个人.,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,26,1 谓词逻辑基本概念,解:没有指定个体域, 使用全总个体域.(1)(3)设F(x):x是兔子, G(x):x是乌龟,H(x,y):x比y跑得快.(1)xy(F(x)G(y)H(x,y).(2)x(F(x)y(G(y)H(x,y).(3)xy(F(x)G(y)H(x,y),or xy(F(x)G(y)H(x,y).(4)设F(x):x是人, G(x,y):xy, H(x,y):x与y一样高.xy(F(x)F(y)G(x,y)H(x,y),or xy(F(x)F(y)G(x,y)H(x,y).,2018/9/5,北京林业大学信息学院 苏喜友,27,Exp.7 在谓词逻辑中将下面命题符号化. （1）每个自然数都有后继数. （2）有的自然数无先驱数. （3）存在最小的自然数.,
