《复合材料细观力学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复合材料细观力学（139页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018/9/5,复合材料性能预报与设计,主讲人：吴林志 哈工大复合材料与结构研究所,主要参考书,复合材料细观力学杜善义、王彪编著 固体本构关系黄克智、黄永刚编著 Micromechanics of defects in solidsToshio Mura,主要内容,细观力学的发展概况 夹杂理论初步 复合材料有效弹性模量,Eshelby (1957, 1959, 1961)的三篇文章 Mura (1982, 1987)的专著,细观力学的发展概况,代表性工作,自洽理论 (Hill, 1965; Budiansky, 1965) 广义自洽理论 (Christensen and Lo, 1979)
2、Mori-Tanaka方法 (Mori and Tanaka, 1973) 微分法 (Mclaughlin, 1977) 二阶上下限 (Hashin and Shtrikman, 1963) 高阶上下限 (Torquato, 1991),夹杂理论初步,本征应变的定义 弹性问题的基本方程 弹性场的一般表达式 Green函数 弹性场的Eshelby解 非均匀体问题,本征应变,1. 本征应变的定义,本征应变是一个广义概念，是指所有非弹性应变，例如热膨胀应变、相变应变、初始应变、塑性应变、失配应变等。,本征应力,本征应力是由本征应变所引起的自平衡内应力，它不同于由作用于物体的外载荷所引起的应力。,1.
3、 本征应变的定义,如图1所示，当材料内部区域的温度升高度时， 外部区域的限制将导致区域D内的热应力ij。热膨胀将组成热膨胀应变,(1-1),式中，ij是Kronecker Delta，而是线热膨胀系数。当区域不受外部约束，可以自由膨胀时，热膨胀应变就由方程(1)给出。,图1.1夹杂,1. 本征应变的定义,当本征应变在均匀材料D的有限区域内给定，而在区域D- 内为零时， 被叫做夹杂。这里，夹杂 与基体D- 的弹性模量相同。 当夹杂的弹性模量与基体的弹性模量不同时， 被叫做非均匀体(inhomogeneity)。此时，应力场将由非均匀体扰动。对于非均匀体问题，扰动的应力场可由虚构的本征应变表示。,
4、2. 弹性问题的基本方程,当自由弹性体D承受一个给定的本征应变分布时，可通过基本方程给出任意点处的弹性场。这里所说的自由弹性体是指不受任何外来的表面力和体积力。,Hookes law,对于小变形问题，总应变场ij是弹性应变场eij和本征应变场ij之和,(2-1),2. 弹性问题的基本方程,总应变ij必须是相容的,(2-2),弹性应变与应力通过Hookes law联系在一起,(2-3),(2-4),或者,2. 弹性问题的基本方程,式中，Cijkl是四阶弹性模量张量，有如下关系,(2-5),在区域D-内本征应变为零，此时方程（2-4）可表示为,(2-6),(2-7),方程（2-3）的逆可表示为,式
5、中，C-1ijkl是弹性柔度张量。,2. 弹性问题的基本方程,对于各向同性材料，方程(2.3)和(2.7)可以表示为,(2-8),(2-9),式中，和是Lame常数，而是Poissons ratio。,平衡条件,计算本征应力时，需假定材料D不受外载（体力和表面力）作用。如果上述条件得不到满足，那么应力场可以通过自由体的本征应力问题与相应的边值问题的叠加得到。,2. 弹性问题的基本方程,平衡方程,(2-10),无外力作用的边界条件,式中，nj是弹性体D边界上的外单位法向量。方程（2.11）是有限弹性体的边界条件。对于无限弹性介质，相应的边界条件为,(2-11),(2-12),2. 弹性问题的基本
6、方程,将方程（2.4）代入方程（2.10）和（2.11）中可得,(2-13),和,由方程（2.13）和（2.14）可以看出，本征应变对平衡方程和边界条件的贡献相当于体积力和面力。,(2-14),2. 弹性问题的基本方程,相容条件,应变张量ij有6个独立的应变分量，而位移矢量ui有3个分量。它们通过几何方程（相容条件）联系在一起。然而，相容方程一般是指由相容条件所导出的如下方程,式中，pki是置换张量，被定义为,(2-15),(2-16),3. 弹性场的一般表示,在下面的推导中，考虑无限弹性介质D内含一夹杂，且夹杂内具有本征应变*ij的一般情况。这样做的目的：既是为了数学上处理简单，又是接近于实
7、际。对于一般的复合材料，增强或增韧相的细观几何尺寸远小于复合材料的宏观尺寸，这样将复合材料作为无限大弹性体处理具有足够的精度。,对于给定的本征应变*ij，所要求解的基本方程为,(3-1),Fourier积分变换,三维空间内函数的Fourier积分变换及反变换分别为,函数导数的Fourier积分变换为,3. 弹性场的一般表示,对方程（3.1）进行Fourier积分变换后可得,在推导中用到了关系式(ix),l=il。方程（3.2）表示三个方程，用于确定三个未知量i。引入符号,(3-4),(3-2),(3-3),3. 弹性场的一般表示,我们可将方程（3.2）写成,求解方程（3.5）可得,(3-6),
8、(3-5),3. 弹性场的一般表示,式中，Nij是如下矩阵的代数余子式,而D()是()的行列式。注意有如下关系式,(3-8),(3-7),(3-9),3. 弹性场的一般表示,D()和Nij()可显式表达为,对方程（3.6）进行Fourier反变换，并根据几何方程和本构关系，我们有,(3-11),(3-12),(3-10),3. 弹性场的一般表示,式中，,将本征应变变换,(3-13),代入到方程（3.12）中，经整理后可得,(3-14),3. 弹性场的一般表示,(3-15),当Green函数被定义为,(3-16),3. 弹性场的一般表示,此时，（3.15）式中的位移分量为,式中,(3-18),(
9、3-17),有时，Green函数也称作基本解。对于应变和应力分量，相应的表达式可写为,(3-19),4. 格林函数,在前面，Green函数被定义为,在x点沿xj方向施加一个单位力，在x点沿xi方向的位移,(4-1),容易证明：,4. 格林函数,下面证明，Green函数满足如下基本方程,(x-x)是三维Delta函数。（4.2）式类似于平衡方程,(4-2),相当于位移,相当于体积力,根据Green函数定义，我们有,(4-3),4. 格林函数,式中，,由于Nkm是的代数余因子，所以我们有,(4-4),另一方面，Dirac Delta函数可以定义为,(4-6),(4-5),将（4.5）和（4.6）两
10、式代入方程（4.3）中，可发现（4.2）成立。,4. 格林函数,对于各向同性材料，Green函数可以表示为,(4-7),经过推导，我们可得,(4-8),式中，,(4-9),5. Eshelby 解,无限均匀介质内含一椭球夹杂，且椭球夹杂内的本征应变场为常数。当本征应变是热膨胀应变时，相应问题的解由Goodier（1937）给出。对于一般的本征应变问题，Eshelby (1957,1959,1961)给出了相应问题的解析解。夹杂内部和外部弹性场的解不同。Eshelby工作最有价值的结果是夹杂内部弹性场的解。,5. Eshelby 解,对于目前的问题，由位移场的表达式可得,(5-1),式中，由如下
11、方程描述,(5-2),而Green函数为,(5-3),5. Eshelby 解,公式推导,(5-4),(5-5),5. Eshelby 解,(5-6),5. Eshelby 解,经过推导后，我们有,(5-7),式中，,(5-8),l为单位矢量,(5-9),5. Eshelby 解,内部弹性场,(5-4),当点x位于夹杂内时，（5.7）式的积分可以被进行。如图1.2所示，体积元可以被表示为,(5-10),式中，d是中心位于点x的单位球的表面元，而,(5-11),5. Eshelby 解,(5-12),对变量积分后可得,式中，r(l)是如下方程的正根,(5-14),(5-13),即,5. Eshe
12、lby 解,(5-15),式中，,(5-16),引入,5. Eshelby 解,此时，方程（5.12）可以化为,(5-17),应变分量为,(5-18),方程（5.18）的积分是与x无关的。因此，我们得到一个重要结论：夹杂内的应变场是常数。根据Routh (1895)的工作，上面的表面积分可化为一些简单的积分。,5. Eshelby 解,(5-19),(5-20),式中，,其它系数可以通过（1,2,3），(a1,a2,a3)和(l1,l2,l3)的同时置换得到。,5. Eshelby 解,(5-21),(5-22),可将方程（5.18）写成,其中，,5. Eshelby 解,椭球夹杂：Eshel
13、by (1957,1959) 立方体夹杂：Chou (1975) 圆柱夹杂：Wu and Du (1995),所有其它的非零分量可以通过轮流置换得到。不能通过轮流置换得到的分量为零。如,Sijkl称为Eshelby张量。,(5-23),6. 非均匀体问题,考虑无限均匀弹性介质内含一椭球非均匀体的问题。无穷远处施加外载荷，研究非均匀体所引起弹性场的扰动。,6. 非均匀体问题,扰动应力场是自平衡的,(6-1),边界条件,(6-2),本构关系可表示为,(6-3),6. 非均匀体问题,Eshelby（1957）指出：通过在椭球夹杂内选取适当的本征应变场，外加载荷作用下椭球非均匀体引起的扰动应力场可以由
14、本征应力表示。这一等效性被称为等效夹杂方法。使用等效夹杂法，我们可以用本征应力场来模拟扰动应力场。,考虑无限均匀弹性介质内含一相同形状的椭球夹杂，椭球夹杂与周围基体具有相同的弹性模量，且夹杂内具有本征应变场。对于目前的问题，本构关系可以写成,(6-4),6. 非均匀体问题,式中，,上面所给出的非均匀体和夹杂问题等效的充分、必要条件为,(6-6),(6-5),或,在前面所介绍的本征应变问题中，扰动应变可以由本征应变表示。当外加应力场是均匀的应力场时，可以证明本征应变场也必须是均匀的。,(6-7),6. 非均匀体问题,由上一节可知,式中，Sijkl是Eshelby张量。将（6.8）式代入（6.7）
15、式中可得,(6-8),由方程（6.9）可以解出所有本征应变分量。代入方程（6.8）中确定扰动应变场，代入方程（6.4）求得扰动应力场。,(6-9),复合材料有效弹性模量,基本概念 自洽理论 (Hill, 1965; Budiansky, 1965) 广义自洽理论 (Christensen and Lo, 1979) Mori-Tanaka方法 (Mori and Tanaka, 1973) 微分法 (Mclaughlin, 1977) 二阶上下限 (Hashin and Shtrikman, 1963) 高阶上下限 (Torquato, 1991),复合材料有效弹性模量,对于含夹杂非均匀介质，
16、影响其有效弹性模量的因素可分为两类。一类是非均匀体中每一组份材料的弹性常数。另一类是非均匀体内部的细观结构特征，它包括夹杂的形状、几何尺寸、在基体中的分布和夹杂间的相互作用。 目前理论对第一类因素考虑较详细，而对第二类因素却考虑不充分，如自洽理论、广义自洽理论和微分法仅考虑了夹杂的形状，而没有充分考虑材料的其它细观因素。在夹杂的体积份数以及夹杂与基体弹性模量相差较大时，这些理论已不能很好地预报非均匀体的有效弹性模量。尽管有效场理论考虑了夹杂的形状、几何尺寸和在基体中的分布，但由于在推导时所作的假定过多，因此这一方法也具有一定的局限性。,复合材料有效弹性模量,有关非均匀体特性的研究最早可追溯到Maxwell(1873)和Rayleigh(1892)对含球夹杂非均匀介质有效电传导系数的计算。但在这一领域所做的开拓性工作应归功于Eshelby、Hill、Budiansky、Roscoe、Hashin和Shtrikman等。,
