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1、1,第三节,高阶微分方程,2,(1),形如,的方程称为n阶线性微分方程,特别,(2),称为n阶齐次线性微分方程.,一、n 阶线性微分方程,非齐次,3,函数的线性相关与线性无关,成立,则称这 n 个函数在区间I上线性相关；否则称线性无关.,4,线性齐次微分方程的解的结构,也是(2)的解.,定理1,进一步，,则(3)就是(2)的通解.,(1),(2),(3),5,线性非齐次微分方程的解的结构,定理2,(1),(2),6,二、二阶常系数线性微分方程,二阶常系数线性微分方程的标准形式,其中a,b是常数.,(1),(2),称为二阶常系数齐次线性微分方程.,7,二阶常系数齐次线性方程解的性质,回顾,一阶齐
2、次线性方程,A.方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解；,B.方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解.,8,二阶常系数齐次线性方程解的性质,A.方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；,B.方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解.,也是(2)的解.,(称线性无关),则上式为(2)的通解.,定理3,(2),9,1. 二阶常系数齐次线性方程的解法,代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程,它的根称为特征根(或特征值).,(3),(2),10,(3),情形1,则特征方程(3)有两个相异的实根,11,情形2,则特征方程(3)有两个相等的实根,于是(2)的通解为,12,情形3,则特征方
3、程(3)有一对共轭复根,13,小结,特征根的情况,通解的表达式,实根,实根,复根,14,解,特征方程为,故所求通解为,例1,例2,解,特征方程为,解得,故所求通解为,特征根为,15,解,特征方程为,故通解为,例3,特征根为,16,对应齐次方程,2. 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法,(1),(2),A.方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解 是(1)的解；,B.方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 .,定理4,那么方程(1)的通解为,17,对应齐次方程,2. 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法,(1),(2),定理4,那么方程(1)的通解为,问题归结为求方程(1)的一
4、个特解.,只讨论 f (x) 的两种类型.,用待定系数法求解.,18,则,19,情形1,若 r 不是特征根,即,情形2,若 r 是特征方程的单根,即,20,情形3,若 r 是特征方程的二重根,即,21,综上讨论,设特解为,其中,22,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例4,代入原方程,得,23,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程，,原方程通解为,例5,得,24,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例6,代入方程, 得,25,注意：,现即,即得,这样比代入原方程要简便得多.,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例6,26,解,例7,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,
5、27,此时原方程的通解为,28,可以证明,方程(1)具有如下形式的特解:,29,解,例8,所求通解为,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,30,解,例9,所求通解为,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入原方程,得,31,定理5 (非齐次线性方程的叠加原理),和,的特解,的一个特解.,32,例10,解,代入得,33,代入得,原方程通解为,例10,解,34,解,是对应齐次方程的通解,但没有原方程的特解,故(B)也不对；,例11 二阶非齐次线性微分方程,35,证,36,解,例12,求导，,原方程改写为,再求导，,37,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入得,38,初始条件：,39,*三、n 阶常系数线性方程,特征方程为,特征方程的根,通解中的对应项,40,特征根为,对应齐次方程的通解为,解,特征方程为,例13,代入原方程,得,所以原方程通解为,41,*四、几类特殊的高阶微分方程,解,例14,通解为,42,解,代入原方程得,分离变量并积分,得,两端积分,得,原方程通解为,例15,43,一阶微分方程,解,例16,44,45,解,例17,46,解,例17,47,解,例18,这是原方程的一个解(非通解).,48,解,例18,49,练习：,P355 习题九,
