《高中数学课件 §10.3___二项式定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学课件 §10.3___二项式定理（63页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,2018年9月5日星期三4时37分33秒,步步高大一轮复习讲义,二 项 式 定 理,忆 一 忆 知 识 要 点,1. 二项式定理(ab)n_ (nN*). 这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数_叫做_ .式中的_叫做二项展开式的_, 用 Tk1表示,即展开式的第_项；Tk1_.,二项式系数,通项,忆 一 忆 知 识 要 点,2.二项展开式形式上的特点(1)项数为_.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为_.(3)字母a按_排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按_排列,从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4
2、)二项式的系数从 ,一直到 .,降幂,升幂,3. 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端_的两个二项式系数相等，即 .(2)增减性与最大值：二项式系数 ,当k_时, 二项式系数是递减的. 当n是偶数时，中间的一项_取得最大值. 当 n 是奇数时,中间两项_和_ 相等,且同时取得最大值.(3)各二项式系数的和(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于 2n, 即_.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即_ _.,“等距离”,忆 一 忆 知 识 要 点,C,求展开式中的特定项或特定项的系数,求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符
3、合要求(求常数项时,指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可,.,【例2】在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和,二项式系数和或各项的系数和的问题,解:设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数和即为a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3a5a9，x的奇次项系数和为a1a3a5a9，x的偶次项系数和a0a2a4a10.由于(*)是恒等式,故可
4、用“赋值法”求出相关的系数和.,(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m (a、bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可; 对形如(axby)n (a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4 ,偶数项系数之和为a1a3a5 .,二项式定理的应用,二项式定理的应用,利用二项式定理解决整除问题时,基本思路是:要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整
5、除即可.因此,一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开,此时常用“配凑法”、“消去法”结合有关整除知识来处理.,12,混淆二项展开式的项与项数以,及二项式系数与项的系数致误,学生错解展示,(1)本题重点考查了二项式的通项公式，二项式系 数、项的系数以及项数和项的有关概念(2)解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不 同；项数和项的不同(3)本题的易错点是混淆项与项数，二项式系数和 项的系数的区别,1.通项公式最常用，是解题的基础2.对三项或三项以上的展开问题,应根据式子的特点，转化为二项式来解决,转化的方法通常为集项、配方、因式分解,集项时要注意结合的合理性和简捷性.3.求常数项、有理
6、项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对k的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.,4.性质1是组合数公式 的再现,性质2是从函数的角度研究二项式系数的单调性,性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和.,5.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.6.二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用
7、,1.要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来2.根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，学生易出错3.通项公式是第k1项而不是第k项,作业布置,作业纸:,课时规范训练:P.1-2,预祝各位同学， 2013年高考取得好成绩!,一、选择题,二、填空题,A组 专项基础训练题组,三、解答题,一、选择题,二、填空题,B组 专项能力提升题组,三、解答题,排列、组合,计数原理,计 数 原 理,二项式定理,组合,通项,二项式定理,二项式系数性质,分类计数原理,分步计数原理,排列,排列的定义,排列数公式,组合的定义,组合数公式,组合数性质,应 用,1.
8、二项式定理(公式),通项为第r+1项：,主要性质和主要结论：,6.二项式定理的应用：解决有关展开式中的指定项、近似计算、整除问题、证明某些组合数不等式、结合放缩法证明与指数有关的不等式.,忆 一 忆 知 识 要 点,2. 二项式系数的性质,(1)对称性：与首末两端_的两个二项式系数相等，即,“等距离”,(2)增减性与最大值：二项式系数 ，当_时,二项式系数是递增的；当_时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，中间的一项 _取得最大值;当n是奇数时，中间两项_和_相等，且同时取得最大值.,忆 一 忆 知 识 要 点,(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n.,(a+b)n的展开式中，奇数项
9、的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.,(3)各二项式系数的和,3. 二项式系数的性质,忆 一 忆 知 识 要 点,解法一:,例1. 求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数,所以x的系数为,【点评】三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式,解法二：因为(x2十3x十2)5(x2十3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2),例1. 求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数,所以(x2十3x十2)5 展开式的各项是由五个因式中各选一项相乘后得到的.,则它的一次项只能从五个因式中的一个取一次项3x,另四个因式中取常数项2相乘得到.,所以x的系数为 240
10、.,解法三:,所以含x的项为,例1. 求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数.,【1】 展开式中x4的系数是_.,144,【2】多项式(1-2x)5(2+x)含x3项的系数是( ).A. 120 B. -120 C. 100 D. -100,B,补偿练习,【3】 展开式中的常数项是_.,补偿练习,【4】,的展开式中x2 的系数是_.,在(x-1)6的展开式中,含有x3项的系数为,原式,-20,补偿练习,【5】三项式转化为二项式,再利用二项式定理逐项分析常数项得,=1107.,补偿练习,1 107,【6】 的展开式中 x6 项的系数.,解:,的通项是,的通项是,的通项是,由题意知,解得,所以
11、x6 的系数为:,【点评】对于较为复杂的二项式与二项式乘积,利用两个通项之积比较方便运算.,补偿练习,解:设,例2.已知,(3)因为 是负数,例2.已知,反馈演练,2.在二项式(x -1)11的展开式中,求系数最小的项的系数.,最大的系数呢？,解:设,展开式各项系数和为,【点评】求展开式中各项系数和常用赋值法:令二项式中的字母为1.,上式是恒等式,所以当且仅当 x = 1 时,【3】求(2x2-1)n的展开式中各项的系数和.,反馈演练,例3.近似计算: |x|1时，,【点评】要注意误差绝对值应小于精确度的一半,否则应该加项.,整除性的证明、求余数.,解：,例4. 用二项式定理证明 能被8整除.
12、,能被8整除,能被8整除.,【1】如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n+37n5天后的那一天是星期几？,所以 23n+37n5被7除所得余数为6 ,所以对于任意自然数n，经过23n+37n5后的一天是星期日,补偿练习,【2】求证 能被64整除.,补偿练习,反馈演练,【1】已知 且 则自 然数n的值为_.,8,-15120,【2】(x+3y-z)8中含x2y3z3的项的系数是_.,反馈演练,【3】已知(10+xlgx)5的展开式中第 4 项为106 ，则x的值是_.,【4】已知 且 则自 然数n的值为_.,8,反馈演练,5. 的值为 ( )A.2n B.22n-1 C.2n-1 D
13、.22n-1-1,令x=1得,两式相加，得,D,令x=-1得,【1】 (07 江西)设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2) +a2(x+2)2+a11(x+2)11, 则 a0+a1+a2+a11的值 为( ).A. -2 B. -1 C. 1 D. 2,A,-1,杨 辉,详解九章算法中记载的表,数学趣苑,在国外，这个表被称为帕斯卡三角。认为是法国数学家帕斯卡在 17 世纪最早发现这一规律的。而在我国，南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法中就不仅有了这个的图表，还清楚地写着贾宪用此术。贾宪是我国 11 世纪的数学家，这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年，也说明了古代中华民族就在数学上有着辉煌的成就。但是，杨辉，贾宪的成就只有详解九章算法中有记载而此书早已失传，仅在永乐大典中抄录了部分内容，这是证明杨、贾两人成就的唯一证据。,数学趣苑,永乐大典是极其珍贵的国宝， 然而1900 年，八年联军侵占北京，把翰林院中的永乐大典残本掠走，运往英国。后来，中国数学家李俨的外国朋友在英国见到永乐大典残本，拍下了记载杨辉三角内容的文字，并把照片寄给李俨，这段历史才得以证实，我们今天的数学课本中也才能堂堂正正地写上杨辉三角。但是可惜的是，永乐大典的残本至今未能回到祖国的怀抱。,
