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1、,第七讲（第三章第一节）,积分学的概念和性质,一. 方法指导,积分学,不定积分,定 积 分,原函数的全体,原函数的增量,1. 原函数与不定积分的概念及性质,若,则F(x) 在I 上连续, 且,方法指导与实例分析,求积分,求导数,若,在区间 I 上连续,则,一定存在原函,数,但不一定能用初等,函数形式表示.,例如 :,它们的原函数在某区间上都存在 , 但都不是初等函数 , 因此不能用积分法求出来,在定义区间内,初等函数,初等函数,2. 定积分概念及性质的主要应用,(1) 利用定积分的定义反求“ 乘积和 ”的极限 ;,(2) 利用定积分定义推出近似计算公式 ( “高数”(上) P306 第六节),
2、设 f (x)在a ,b上定积分存在 ,将a , b进行 n 等分,令,则有,(左矩形公式),(右矩形公式),(左矩形公式),(右矩形公式),说明: 为了提高精度 , 还可建立更好的求积公式 ,例如辛普森公式 ,复化求积公式等. (同济上),(梯形公式),(3) 利用定积分的性质估计积分值 .,方法: 关键是求出被积函数在积分区间上的上 下界, 或上下界函数,(若含参数, 则要保留含参项),(4) 利用积分中值定理计算平均值或去掉积分号.,3. 微积分基本定理之间的关系,积分中值定理,微分中值定理,牛 莱公式,4. 变限积分求导及应用,若,连续 ,可导, 则,注意: 若被积函数中含有求导变量
3、x 时,应先将其,提到积分号外,或通过换元将其转化到上下限后,再求导.,例如,令,应用:,(1) 求含有积分号的极限时,用洛必塔法则去掉积分号.,(2) 通过求导将含积分号的积分方程转化为微分方程 .,5. 推广的积分中值定理,(积分第二中值定理),设,在,上可积且不变号,则存在,使,(同济习题 ),证明思路:,想到用 介值定理,证明: 设 M , m 分别为,在,上的最大值,与最小值 ,不妨设,若,则,故对任意,结论都正确 ;,若,由连续函数介值定理可知,存在,使, 故定理成立 .,则,则,6. 广义积分,常义积分的极限,例如,当,为瑕点（奇点）时，,二. 实例分析,例1. 已知,试确定常数
4、 A , B , K .,解: 等式两边同对 x 求导, 得,比较同类项系数 , 得,1. 原函数与不定积分的概念及性质,思考,1. 证明,2. 若,提示:,3. 若,是,的原函数 , 则,提示: 已知,4. 若,的导函数为,则,的一个原函数,是 ( ) .,提示: 已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,例2. 设,求,解:,例3. 求,解:,设,则,因,连续 ,得,得,利用,例4. 求,解: 设,利用原函数的连续性 ,令, 得,例5. 设,解:,是,的一个原函数 ,若 x 0 时有,试求,例6.,设,解:,为,的原函数,且,求,由题设,则,故,即, 因此,故,又,2. 与定积分概念
5、有关的问题的解法,2) 用定积分概念与性质求极限及解题,3) 与变限积分有关的问题,4) 用积分中值定理解题,1) 用定积分性质估值或证明不等式,例1.,估计下列积分值,解: 因为,即,2.1 用定积分性质估值或证明不等式,例2. 证明,证: 令,则,令,得,故,例3.,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明：显然,时结论成立.,(用积分中值定理),当,时,故所给不等式成立 .,明对于任何,例4. 设,试证:,(2) 当,时,证: (1),当0 x 1 时,因此 , 当0 x 1 时,两边在 0 , 1 上积分, 得,(2) 由,故由夹逼准则,例1.,求极限,解：,原式,例2
6、. 求极限,提示：,原式,左边,= 右边,2.2 用定积分概念与性质求极限及解题,解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：,已知,利用夹逼准则可知,(考研98 ),例3 求,思考:,提示 :,例4. 求,解: 令,原式 =,思考:,例5. 求,解:因为,时,所以,利用夹逼准则得,说明: 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .,作法对吗 ?,另法: 利用积分第二中值定理,原式 =,1) 思考例1下列做法对吗 ?,利用积分中值定理,不对 !,且,说明:,2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .,故没理由认为,例6. 求,解: 方法1.,由积分中值定理知, 存在,使,方法2.,对,
7、原式,例7. 求,解:,是以 为周期的周期函数 ,因此对任,任意非负整数 n , 都有,(令 ),存在 n ,使,故,即,例7. 求,从而,由夹逼准则得,例8 设,解：设,则,且 f（x）是,连续函数，求 f（x）。,则,例9,设函数,在,上连续，,且,则,解 设,解得,例10. 设,且 f (x) 0 ,证明在 a , b 上,证: 用反证法.,假设存在,无妨设,为内点 ,由 f (x) 的连续性可知 , 存在邻域,在其上,则,与题设矛盾 !,所以假设不真 .,(“高数”上习题),推论: 设,且 f (x) 0 , 而,则,(反证法),例12. 设,且 f (x) 0 ,证明,证: 有已知条
8、件可知,在0 , 1上可积 ,故有,是凸函数 ,(P127 例4),例1.,求可微函数 f (x) 使满足,解: 等式两边对 x 求导, 得,不妨设 f (x)0,则,2.3 与变限积分有关的问题,(p132例10),注意 f (0) = 0, 得,例2.,且由方程,确定 y 是 x 的函数 , 求,解：方程两端对 x 求导, 得,令 x = 1, 得,再对 y 求导, 得,故,例3. 求多项式 f (x) 使它满足方程,解: 令,则,代入原式得,两边对 x 求导, 去掉积分号,由此可知 f (x) 应为二次多项式 ,设,代入,*,*,式比较同次幂系数 , 得,故,例4. 设,且,求,并讨论它
9、在 x = 0 处的连,连续性 .,解: 由题设可知,令,得,型,例4. 设,且,求,并讨论它在 x = 0 处的连,连续性 .,故,在 x = 0 处的连续 .,例5. 设,求,解,例6 设,当,时,求,解,例7 设函数,求,解 令,可导，且,(P199 习4.4),例8. 设,证明:,(P132 例9),证: 当,时, 有,例9. 设,在,上连续，,为两个,任意常数，求,分析,是定积分，,含有积分变量 y ,一个常数，,解 令,则,但被积函数中不仅,而且有未知参数 x ,所以积分结果不是,而是未知参数 x 的函数。,例10. 1)求,解:,原式,2),确定常数 a , b , c 的值,
10、使,解:,原式 =,c 0 , 故,又由, 得,洛,洛,例11. 设,连续 , 且,(1) 若 f (x) 为偶函数 , 则 F(x) 也为偶函数 ;,(2) 若 f (x) 单调不增 , 则 F(x) 单调不减.(P133例11),证明:,证: (1),令, 故结论正确,(2), 故 F(x) 单调不减 .,用积分中值定理,例12. 设,证: 设辅助函数,在,上连续 , 且严格单增 ,证明,则,即原不等式成立 .,例13：,证明方程,在,内有且仅有两个不同的实根。,解 设,所以方程在,内有且仅有两个不同的实根。,例14,设,证明：,令,在,上连续，,且,证明：,在,内有且仅有一个实根 。,单
11、增,由零点定理, 知,由单调性可知根是惟一的 .,例15. 设,在,上连续, 且, 试证至少存在一点,使,分析:,要证,即,故作辅助函数,思考: 可否直接用积分中值定理证？,证明: 令,在,上连续,在,上连续,在,内可导, 且,故由罗尔定理知, 至少存在一点,使,即,因在,上,连续且不为0 ,从而不变号,因此,故所证不等式成立 .,例16,使,证 令,证明在,上至少存在一点,由罗尔定理，在(0,1)内至少存在一点,使,即,(P200 习9),例17. 设,证: 设辅助函数,在,( P180 例16 ),上连续 , 证明至少,存在一点,使,显然 ,在,上满足罗尔定理条件,因此,至少存在一点,使,
12、即,故所证等式成立 .,例18. 设,析: 设辅助函数,且,试证至少存在两个不同的点, 则,故,在,内必然变号,故存在,使,对,在,上再用罗尔定理 ,可知原结论正确 .,例1：,设 在 上连续，,在,内可导，,又,证在 内存在 ，,使,证明：,由积分中值定理,在 上连续，,在,内可导,由罗尔定理：,在 内存在 ，使得,注： 在题设中有定积分出现，通常将其按积分中值,定理先处理。,2.4 用积分中值定理解题,设函数,试证在开区间(0,1)内至少存在一点,例2,证明,设,在闭区间0,1上可导，且,在区间,因此存在,上F(x)满足罗尔中值定理的条件，,例3：,使,证 令,根据中值定理有,由罗尔定理，在(0,c)内至少存在一点,使,即,例4：,则,使,证,在x与0之间,(P202 习22),例4,设函数,在,上二阶导函数连续，,且,使,证,证明在,上至少存在一点,由介值定理知,
