《高中数学 第二章第5节-多元函数的偏导数与全微分【新】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章第5节-多元函数的偏导数与全微分【新】（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节 多元函数的偏导数与全微分,三、高阶偏导数,四、多元函数极值及最小二乘法,一、偏导数,二、全微分,一、 偏导数,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,若极限,设函数,注意:,定义2.11,有定义，,同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 内每一点( x , y )处对x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数 ,记为,(或 y )偏导数存在 ,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,求导,因此,一元函数的求导法则和求导公式,对求多元函数的偏导数仍然适用.,例1.求,在点(1,2)处的偏导数.,解：,根据偏导数的定义可知,求多
2、元函数关于某个自变量,的偏导数, 只需将其他自变量看作常数,仅对一个自变量,解:,例2.,解:,例3.,应用,一元函数 y = f (x) 的微分,近似计算,估计误差,二、全微分,定义2.12 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 内的点( x , y ),处, x有增量x, y有增量y，则称,为f (x, y)在点(x, y)对应于自变量增量x,y的全增量。,1. 全微分的定义,全微分的定义,定义2.13 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 内的点( x , y ),可表示成,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，,称为函数,在点
3、(x, y) 的全微分, 记作,若函数在区域 D 内各点都可微,则称函数,f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，,处全增量,则称此函数在D 内可微。,例如，矩形的边长分别为x, y，,其分别有增量x, y,则面积的 S=x y,关于x,y 的线性函数,？,因为,0,的全增量为,定理(必要条件),若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点的偏导数,必存在,且有,定理 (充分条件),若函数,的偏导数,则函数在该点可微。,证明略,例4. 计算函数,在点 (2,1) 处的全微分。,解:,例5. 计算函数,的全微分。,解:,全微分,可知当,2. 全微分在近似计算
4、中的应用 近似计算,由全微分定义及全微分的充分条件,较小时,及,有近似等式:,(可用于误差分析或近似计算),(可用于近似计算),半径由 20cm 增大,解: 已知,即此圆柱体受压后体积大约减少了,例6. 有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm ,则,高度由100cm 减少到 99cm ,体积的近似改变量。,求此圆柱体,二、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在区域 D 内有偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 。,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,数:,例7. 求函数,解 :,的二阶偏导数.,四、 多元函数的极值与最小二乘
5、法,定义2.15 若函数,则称函数在该点取得极大值,例,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有定义,(极小值).,若对于该邻域内异于(x0,y0)的任一点(x, y)满足,(0,0,1)是此球面的极大值点,(0,0,0)不是此曲面的极值点,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 。,定理2.14 (必要条件),函数,但驻点不一定是极值点。,且在该点取得极值 ,则有,可微,时, 具有极值,定理2.15,的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,令,则: 1) 当,A0 时取极小值。,2) 当,3) 当,时, 没有极值。,时, 不能确定 , 需另行讨论。,若函数,且,二
6、元函数,的极值步骤：,求出函数的偏导数,并解方程组,求得一切实数解，求得驻点；,求函数的二阶偏导数,然后对每一个驻点,求出二阶偏导数值A、B和C;,对每一个驻点,确定,的符号，,判定,是否为极值点。,例8.,求函数,解: 第一步 求驻点,得驻点: (0, 0) , (1, 1),第二步 判别,在点(0,0) 处,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,在点(1,1) 处,是极小值，,极小值为,二元函数的最值应用问题,函数 f (x, y)在有界闭域D上连续,函数 f (x, y)在有界闭域D上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的点,特别, 当最值在区域D内取得, 且只有一个驻点P 时,为极小值,为
7、最小值,(大),(大),依据,例9.求函数,在圆域,上的最大值；,解：,令,得驻点,在圆周 上,所以函数的最大值为2。,例10.,解:,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时, 水箱所用材料最省。,设水箱长,宽分别为 x , y (m ),则高为,*最小二乘法,在医学实验中，常需要根据两个变量,的 对数据,来确定它们之间的额相关关系，,并把这种关系的表达式称为经验公式，记为 。,偏差,有正有负,值
8、都较小且便于计算,可由偏差平方和 最小,为使所有偏差的绝对,来确定近似函数,f(x)的表达式。,接下来我们以直线经验公式为例：,例11 某医院研究某种乳粉的营养价值时，用大白鼠作实验，得到大白鼠进食量和体重增加量之间的关系原始数据如下表：,散点图明显地呈直线趋势，则可用直线型经验公式去拟合 ，设为,确定使得偏差平方和最小的参数a，b就得到了经验公式,令,得,将数据带入刚才的方程中，解此线性方程组即得 a, b，对应的直线经验公式为,由图可见，数据点紧紧分布在该直线周围。,本节内容总结,偏导数若关于x求偏导，其他的变量当作常数即可按一元函数求导方法。,2.全微分,定义：,计算公式：,则称可微。,在近似计算中的应用,本节内容总结,3.高阶偏导数若关于x求偏导，其他的变量当作常数即可按一元函数求导方法。,4.多元函数的极值与最小二乘法,时, 具有极值,则: 1) 当,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,本节作业,练习题2.5: 1，2， 3， 4，5复习题二: 11，14,
