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1、4.1.3.极坐标系,高中数学选修4-4坐标系与参数方程,学习要点：极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点作旋转变动，则采用极坐标系。,1,（1）若有一艘军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定他们的位置以便将它们引爆呢？,军 舰,水雷群,创设情境,2,创设情境,从这向北1000米,请问去农行路怎么走？,3,请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？,从这向北走1000米！,出发点,方向,距 离,在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的
2、位置的思想，就是极坐标的基本思想。,情境分析,4,一、极坐标系的建立：,在平面内取一个定点O，叫做极点。,引一条射线Ox，叫做极轴。,再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。,这样就建立了一个极坐标系。,O,新课讲解,5,二、极坐标系内一点的极坐标的规定:,对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从Ox到OM 的角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。,特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从Ox到OM的角度，即以Ox（极轴）为始边，OM 为终边的角。,新课讲解,6,题组1：说出下图中各点的极坐标,练一练,
3、7,平面上一点的极坐标是否唯一？ 若不唯一，那有多少种表示方法？ 坐标不唯一是由谁引起的？ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式？,特别规定: 当M在极点时，它的极坐标=0，可以取任意值。,想一想？,8,三、点的极坐标的表达式的研究:,如图：OM的长度为4，,请说出点M的极坐标的其他表达式 .,思考：这些极坐标之间有何异同？,思考：这些极角有何关系？,这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。,本题点M的极坐标统一表达式：,极径相同，不同的是极角。,新课讲解,9,题组2：在极坐标系里描出下列各点,练一练,10,解析：,11,五、极坐标系下点的极坐标,探索点M（3，/4）的所有极
4、坐标,六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,1给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。,2给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。,原因在于：极角有无数个。,12,一般地,若(,)是一点M的极坐标,则(,+2k)也表示M的极坐标，或 ，极点的极坐标为(0,)，,若限定0,02或 ,则除极点外,平面内的点和极坐标就可一一对应了.,七、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,13,2.在极坐标系中,与(,)关于极轴对称的点是( ),A.(,) B.(,) C.(,) D.(,),C,D,题组4 1. 在极坐标系中，与点(3, )重合的点是( ),A.(3, ) B. (3, ) C.
5、 (3, ) D. (3, ),14,3.在极坐标系中,与点(8, )关于极点对称的点 的一个坐标是 ( ),A.(8, ) B. (8, ) C. (8, ) D.(8, ),A,15,思考：平面内的一个点的直角坐标是(1, )，这个点如何用极坐标表示?点M（5，）,这个点如何用直角坐标表示?,极坐标与直角坐标的互化,在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取 相同的长度单位,点M的直角坐标为,设点M的极坐标为(,),极坐标与直角坐标的互化关系式:,设点M的直角坐标是 (x, y)极坐标是 (,),x=cos, y=sin,例1. 将点M的极坐标化成直角坐
6、标.,已知下列点的极坐标，求它们的直 角坐标。,例2. 将点M的直角坐标化成极坐标.,练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.,3一点的极坐标是否有统一的表达式？,1建立一个极坐标系需要哪些要素？,极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。,2极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？,无数.极径有正有负；极角也有正负且无数个。,课堂小结,1、极坐标 （，2k+） 和（-，2k+）其中表示同一个点（，）；,23,课堂小结,1、点 M（，） 关于极点的对称点的一个坐标为（-，） 或（，+） ；,2、点 M（，） 关于极轴的对称点的一个坐标为（，-） 或（-，-） ；,3、点 M（，） 关于直线 的对称点的一个坐标为（-，-） 或（，-） ；,24,极坐标与直角坐标的互化关系式:,设点M的直角坐标是 (x, y)极坐标是 (,),x=cos, y=sin,课堂小结,
