《高数同济§3.1中值定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数同济§3.1中值定理（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、引理 设函数 f (x)在a , b上有定义，并且在点 x0(a , b)取到最值， f (x)在点x0 可导，则 f (x0 )=0。,证: 设 f(x0)值最大,则,证毕,费马,一、罗尔(Rolle)定理 P128,几何解释:,A,B,罗尔(Rolle)定理 如果函数 f(x)满足：,（1）在闭区间a, b上连续；,（2）在开区间(a, b)内可导；,（3）在区间端点的函数值相等，即 f(a)= f(b),那么在(a, b) 内至少存在一点( a m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,则由费马引理得,证毕,注:,定理条件条件不全具备, 结论不一定成立
2、.,例如,零点定理用不上!,? !,证毕,例2. 证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根 .,证: 1) 存在性 .,则,在 0 , 1 连续 ,且,由零点定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根 x0 .,设,例2. 证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根 .,2) 唯一性 .,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,证毕,证: 1) 存在性 .,存在 使,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 P129,思考:,表示直线AB的斜率.,拉格朗日中值定理 如果函数 f(x)满足：,（1）在闭区间a, b上连续；,（2）在开区间(a, b)内可导；,
3、那么 在(a, b) 内至少存在一点( a 2 时，方程 xn+ yn = zn 又有没有整数解呢？ “这是不可能的。我对这个命题有一个美妙的证明，这里空白太小，写不下“(约 1637 年)。 欧拉1770年提出 n = 3 的证明，但其中有一点错误。 高斯完成欧拉的证明.,费马(Fermat,1601？-1665 ),费马大定理,狄利克雷 Dirichlet (1805 - 1859),德国人 1828 年，独立地证明了 n = 5。 1832 年，解决了 n = 14 的情况。 柯西Cauchy (1789-1857)、拉梅Lam (1795 - 1870) 1847年，两位法国数学家分别
4、表示他们证明了费马大定理。 5 月 24 日，德国数学家库麦尔指出拉梅和柯西的方法是行不通的，从而平息了二人的争论。 ,费马大定理,1995 年 5 月，怀尔斯长一百页的证明，在杂志数学年鉴中发表。,1997 年 6 月 27 日，怀尔斯获得价值五万美元的“沃尔夫斯凯尔奖金“。,xn + yn = zn, (n 2) 无整数解(1637),这是真的 (1995),作业 P134: 5、6、7、8、10、11-（2）、12、14,P134 习题12,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,例6 设f(x)在a, b上可微，且ab0，求证：,(ab),证明 令, a, b同号，故x=0不在(a, b)内;,(x),g(x)在(a, b)内可微。,由柯西中值定理,思考,2、证明,解答,2o 对f(x)在b, a上用拉格朗日公式 ,即,1o 由所要证明的不等式选定一函数f(x) 及定义区间: 令 f(x)=lnx , xb, a.,1、 B .,2 、证明：,补充1,补充2,罗尔,Lagrange,Cauchy,
