电磁场与电磁波基础(第6章)

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1、第6章 自由空间中的电磁波,1. 散度的概念,2. 旋度的概念,3. 梯度的概念,1. 麦克斯韦方程及内涵,2. 坡印廷矢量及内涵,3. 时谐场的概念,第一部分,第二部分,主要内容回 顾,自由空间是一个没有电荷因而也就不存在电流的空间。 这并不是说在整个空间中没有源存在，而只是指在我们所感兴趣的区域不存在源，这个区域应有=0和 =0。,这样，一般形式的麦克斯韦方程式组就变得特别简单，即为：,自由空间？,自由空间中存在着电波（ 波）和磁波（ 波）？,表明：变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场产生变化的电场，二者相互依存。,1. 电波,4. 波的极化,本章教学内容,3. 自由空间中的平面电磁波,2

2、. 磁波,5. 电磁波谱,1. 电波、磁波的导出,3. 定义波的极化,2. 描述平面电磁波,重点,难点,波的极化,电场,磁场,通过交流电流,电力线,前进方向,观看波形图,电场与磁场,1. 波的数学形式,6. 波的数学描述,自变量为（z-vt）的函数f（z-vt）表示以速度 v 沿着 Z 方向传播的行波（Traveling wave）,沿着 Z 方向传播的行波,以速度v向前传播的波,任何变量为(z-vt)的函数所描述的波是随时间变化沿着z轴正方向传播;任何变量为(z+vt)的函数所描述的波则是随时间变化沿着z轴负方向传播,则表示一个随时间和空间变化的任意函数，例如，力、位移或概率。,表示函数 的

3、传播速度,证明： 首先考虑函数,则有,问题,二阶导数,函数 对时间的导数则为,所以有,这就是一维波动方程,根据叠加定理，我们就证明了 满足一维波动方程。,并且,对于函数， 也可以得出类似的结果。,6.2 均匀平面波与三维波动方程,定义,平面波，是三维波中最简单的一种。这个波在空间传播过程中，对应于任意时刻t，在其传播空间具有相同相位的点所构成的等相位面（也称为波阵面）为平面，于是就称其为平面波。,波,前进方向,观看波形图,均匀平面波是研究起来最简单同时也是最容易理解的。均匀（Uniform）:在任意时刻，在所在的平面中场的大小和方向都是不变的。,理解,在距离电磁波的激励源很远处，球面波阵面上的

4、一小部分可视为平面，该处的电磁波可称为均匀平面电磁波。,或,三维波动方程：,三个一维波叠加起来所得到结果也将会满足三维波动方程,证明：,类似地有,这样便证明了函数:,满足三维波动方程,6.3 电波与磁波,已知,方程二两边取旋度得,假设 是空间和时间无关的函数,那么我们就可以将上式右边的运算顺序交换,并在其左边运用矢量三重积恒等式，有,与上一节中给出的三维波动方程形式相同,关于电波,麦克斯韦方程组说明：在自由空间存在着电波，对其所作的唯一的限制是它在自由空间必须以光速传播。,由于,上式还可表示为,此式又被称为亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）。 注意：式中不存在关于t的一阶项，

5、表明,随时间变化的磁场能产生时变的电场。,即,尽管上述方程只涉及到电场, 但从第二章的内容可知，伴随着电场必定同时存在着一个磁场, 这正是麦克斯韦方程组告诉我们的。,表明电波在自由空间传播时不衰减。,亥姆霍兹磁场方程的导出,变化的电场产生磁场,两边取旋度得,假设 是空间和时间无关的函数, 左边运用矢量三重积恒等式，有,与上一节相类似的推导，我们可以推断在自由空间中也存在着以光速传播的磁波,亥姆霍兹磁场方程,式中不存在一阶项，表明磁波在自由空间传播时也不衰减。,关于磁波,目的,6.4 自由空间中的平面电磁波,研究平面单色（单波长）波（plane monochromatic wave）,探索E波和

6、B波在自由空间的传播过程中是如何相互关联的。,6.4.1 随时间变化的波,该式表示一种随时间变化的波,即角频率为的正弦波,它只在Z方向上传播， 由于其频率一定，我们称这种波为平面“单色”波。,将该平面“单色”波的函数代入一般的三维电波方程得,作为一个矢量方程，上式包含了三个常微分方程,每一个分别对应着一个分矢量 ，其方程形式为：,根据高等数学知识，由于f仅为z的函数，f对z二次微分后与本身仅差一个常数，所以，方程的解必为z的指数函数，设为：,式中K和都是常数，从所具有的性质看，我们称其为相位常数，通过代入方程解得：,或,因此,平面波可表示为,由此可以看出号的意义：表示了波沿着Z轴正方向 传播和

7、沿着Z轴负方向传播。,或,其中 表示一个任意的常矢量,或,即,结论：,方程解中常数C所包含的号分别表示了波沿着Z轴正方向传播和沿着Z轴负方向传播。一旦确定了任意常矢量，电场波传播的方向也就随之而定。即电波将会随着时间的变化而沿着确定的传播方向以正弦波的形式向前传播。,因为,6.4.2 均匀平面电磁波的特性,其中,而平面电波 的分量都与x ,y无关,其中,由麦克斯韦第一方程可知,平面电波没有沿z轴的分量，即在波的传播方向上不存在电场分量,换句话说,平面电波是横波。,所以,已知 是一个常量，要使上式对任意 z 与t均成立,则只有,由,如果存在一个随时间变化的E场，那么同时必将会出现一个 场，在自由

8、空间中，这两种场的关系为,式中 代表 ， 也类似。,对时间积分可得,式中 ， 不是x,y的函数 ,所以 分量必定为0,表示与电磁波在空间传播时与电场相伴而产生的磁场。,由于我们感兴趣的是“波”，即随时间变化的量，所以上式中的“积分常数” 可以置零。,因此,伴随着平面电波的磁场为,同样，由于 波在传播的Z方向上没有分量,所以它也是横波。,那么, 电波、磁波与传播方向三者之间关系如何呢？,即,考虑用 叉乘,有,所以， 和 一定是相互垂直的，而且两者都垂直于波的传播方向。,另外，由于 的大小与 大小相同,所以 和 的大小满足：,将其代入到第2章的洛伦兹力表达式中：,电荷受到的力几乎完全取决于电场,除

9、非,定义,根据E波和B波的表达方程发现,电场E和磁场B是空间沿着传播的正负方向相互垂直的两条轴线,当波在自由空间中传播时,其方向不会发生变化,换而言之,场不会发生旋转,传播的方向也不会改变。,电场和磁场相对于传播方向来说都是横向波，这种波称为横向电磁波（Transverse Electromagnetic Wave）或简称为TEM波。,练习：,对于某一平面电波，我们已经得出了若干结论，但对于某一平面磁波，看看你是否也能得出同样的结论,电磁波的产生与变化,电波,磁波,通过交流电流,电力线,前进方向,观看波形图,在自由空间中传播的平面电磁波的电场为,试求磁场强度,解：因为题中所给电场 是沿+Z方向

10、传播的，电磁波能流密度矢量 也是沿+Z方向的，因此磁场应取 方向。而,A/m,例题,故,对比可知：相位常数（传播系数）,传播方向为+Z方向，电场方向为x方向。 由波数公式,所以 波长,解：平面电磁波的一般表达式为,已知在自由空间传播的平面电磁波的电场为,以及平均能流密度矢量,例题,在自由空间，相速,频率,因为,所以,为求平均坡印廷矢量，须先将场量写成复数形式：,解：,（1） 波沿+Z轴方向传播;,（rad/m）,试求（1） 及传播方向；（2）E 的表达式； （3）S 的表达式；,巳知自由空间中,例题,V/m,（3）,（2）,6.5 波的极化,其中,在空间中的一点，电场 可表示为,均匀平面波是横

11、波，即对于沿着z方向传播的波来说，其场量 没有z方向的分量，但却可以有x、y方向的分量，如 和 。,并且,以及波的传播方向三者之间 构成了一个相互垂直的正交系统,式中 分别为 和 的振幅， 分别为 和 的相位。,定义,均匀平面波传播过程中，在某一波阵面上，电场矢量的 振动状态随时间变化的方式为波的极化(或称为偏振),一般情况下， 和 这两个分量的振幅和相位不一定相同，所以在同一波阵面上，合成场量的矢量的振动状态（大小和方向）随时间变化的方式也就不同。,极化（polarization）通常是用电场矢量 的尖端在空间随时间变化的轨迹来描述的。,定义,1. 如果矢量的尖端在一条直线上运动，称之为线极

12、化波。,2. 如果矢量的尖端的运动轨迹是一个圆，则称之为圆极 化波。,3. 椭圆极化波：电场 的尖端的运动将描绘出一个椭圆。（1） 如果用右手的拇指指向波传播的方向，其它四指所指的方向正好与电场矢量运动的方向相同，这个波就是右旋极化波。（2） 如果用左手的拇指指向波传播的方向，其它四指所指的方向正好与电场矢量运动的方向相同，这个波就是左旋极化波。,4. 无一定极化的波，如光波，通常称为随机极化波。,一般椭圆极化波方程推导,注意,上式分别平方后相加得,这是一个非标准形式的椭圆方程，它表明一般情况下 和 的合成波矢量的端点轨迹为一椭圆，即合成波为椭圆极化波。,将两式分别乘以 和 后相减得,将两式分

13、别乘以 和 后相减得,特殊情形,情况1 （直）线极化(1),或,这是直线方程，它说明:平面波在自由空间传播时，在不同时刻、不同位置，电场强度的两个分量虽取不同的值，但其电场矢量的端点总是在一条直线上变化（如右图所示）.所以该波是线极化波，该直线在第一、三象限。,线极化波(1),当 ，其中 为整数，则椭圆方程变为,情况2 （直）线极化(2),这也是直线方程，其电场矢量的端点也是在一条直线上变化， 该直线在第二、四象限，如下图所示，所以该波也是线极化波。,线极化波(2),当 ，其中 为整数，则椭圆方程变为,或,直线（ 电场 ）和x轴之间的夹角 满足,分析,情况3 右旋圆极化,右旋圆极化波,当 ，并

14、且 ，则椭圆方程变为,这是一个以 为半径的圆的方程，故为圆极化波。,电场 与x方向的夹角将由动点坐标 和 决定,即,从上式可以看出，由于kz是一个与时间无关的常量，所以 角将随时间t的增加而变大，即电场 与x轴的夹角将随时间t的增加而变大，这时电磁波在传播方向上以z轴为旋转轴，在空间向右旋转着螺旋前进，因此，将这种波称为右旋圆极化波。,分析,情况4 左旋圆极化,左旋圆极化波,当 ，并且 ，则椭圆方程变为,这也是一个以 为半径的圆的方程，故为圆极化波。,电场 与x方向的夹角将由动点坐标 和 决定,即,从上式可以看出，由于kz是一个与时间无关的常量，所以 角将随时间t的增加而减小，即电场 与x轴的夹角将随时间t的增加而变小，这时电磁波在传播方向上以z轴为旋转轴，在空间向左旋转着螺旋前进，因此，将这种波称为左旋圆极化波。,