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1、,1.1差分方程 1.2 市场经济中的蛛网模型 1.3 减肥计划节食与运动 1.4 差分形式的阻滞增长模型 1.5 按年龄分组的种群增长,差分方程模型,1.1差分方程,给定一个数列,，如果,和数列中在,它面的若干项联系起来的一个方程对所有大于某一个整数,的整数,都有效，则称这个方程为差分方程。,例1 汉诺塔问题：n个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在,桩A上，大的在下，小的在上。现要将此n个盘移到空桩B或C上，,但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小,盘在上。移动过程中桩A也可利用。设移动n个盘的次数为,试建,立关于,的差分方程。,解：先将桩A上的n-1个盘按题意盘移到空桩
2、B或C上，这需要,移动,次，再将桩A上最大的盘移动到空桩C或B 上，这需要移动,1次，最后将桩B或C上的n-1个盘按要求移动到桩C或B 上，这又要,移动,次，于是得差分方程：,例2 设第一月有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，,同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增的小,兔也按此规律繁殖。设第n月末共有,对兔子，试建立关于,的差分方程。,解：第n月末兔子包括两部分，一部分为上月留下来的，另外,一部分为当月新生的，而由题设知当月新生的兔子对数等于上上月,兔子对数，所以,一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法,形如,的差分方程称为k阶常系数线性齐次差分方程，其中,是常数，
3、且,方程,(2),称为差分方程（1）的特征方程。,方程（2）的k个根,称为差分方程（1）的特征根。,定理1 设差分方程,的特征根,互不相同，则该差分方程的通解为：,其中,为任意常数。,定理2 设,是差分方程,的特征方程相异的根，且,是特征方程的,重根，则该,差分方程的通解为：,其中,定理3 设差分方程,的特征根出现一对共轭复根,和k-2个不同实根,则差分方程的通解为：,其中,例3.设初始值为,，求差分方程,的特解 .,解：该差分方程对应的特征方程为,其根为：,，所以,故通解为,代入初始条件有,解之得:,故所求初值问题的特解为：,二 .常系数线性差分方程的Z变换解法,设有离散函数（数列）,，则,
4、的Z变换,定义为,其中z是复变量，因此级数,的收敛域为某个圆的外部。,的Z反变换记作,(1)单位脉冲函数,的Z变换为,1.几个常用离散函数的变换,(2)单位阶跃函数,的变换为,(3)单边指数函数,的变换为,2. Z变换的性质,(1)线性性,设,则,其中,为常数，收敛域为,的公共收敛域。,(2)平移性,设,，则,a.,特别地,证 ：,b.,特别地,证：,例4.求齐次差分方程,的解。,解：令,，对差分方程求变换得：,对上式求Z的反变换得：,这就是所求方程的解。,二、常系数线性非齐次差分方程的求解,形如,的差分方程称为k阶常系数线性非齐次差分方程，其中,是常数，且,定理4 方程（3）的通解等于它对应
5、的齐次差分方程（1）的通,解加上它本身的一个特解，即,其中,是（1）的通解，,是（3）的一个特解。,注意：求常系数线性非齐次差分方程的特解可参照求常系数,线性非齐次微分方程的特解的方法。,例5 求非齐次差分方程,的通解。,解：对应的齐次差分方程的特征方程为,特征根为,所以对应的齐次差分方程的通解为,由所给非齐次差分方程的右端，可设其特解为,代入原方程得,故所求方程的通解为,有些非齐次差分方程还可以化为齐次方程求解或用观察法求特解,例6 求解汉诺塔问题：,解：方法一 由,得,两试相减得,其特征方程为,特征根为,故通解为,由,知,将,代入,得,故所求问题的解为,方法二 对应的齐次差分方程的通解为,
6、观察有特解,故通解为,由初始条件,得,所求问题的解为,例7 求差分方程,的通解。,对应的齐次差分方程的通解为,观察有特解,故通解为,三、差分方程的平衡点及稳定性,1.一阶线性差分方程的平衡点及稳定性,一阶线性常系数差分方程,的平衡点由,解得，为,则平衡点是稳定的，否则,是不稳定的。,易知，可以用变量代换将（4）的平衡点的稳定性问题转换为,的平衡点,的稳定性问题。,而方程（5）的解为,所以当且仅当,时，方程（5）的平衡点（从而方程（4）的,平衡点）才是稳定的。,对于n 维向量,常数矩阵A构成的方程组,其平衡点稳定的条件是矩阵A特征根,2.二阶线性差分方程的平衡点及稳定性,考察二阶线性差分方程,的
7、平衡点,的稳定性.(6)的通解为,其中常数,由初始条件,确定,由(7)得,当且仅当,时方程（6）的平衡点才是稳定的.,与一阶线性差分方程一样,二阶线性非齐次差分方程,的平衡点的稳定性与方程（6）相同.,二阶线性方程的上述结果可以推广到n阶线性方程,即n阶线性,方程平衡点的稳定的条件是特征方程的根,3.一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性,一阶非线性差分方程,的平衡点,由代数方程,解出,现分析,的稳定性.将,方程(9)的右边在,点作泰勒展开,只取一次项,(9)近似为,(10)是(9)的近似线性方程,也是(10)的平衡点,而当,时,方程(9)与(10)的平衡点的稳定性相同,因此,对于方程(9),是稳
8、定的;,对于方程(9),是不稳定的.,1.2 市场经济中的蛛网模型,问 题,供大于求,现 象,商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定,当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定,描述商品数量与价格的变化规律,数量与价格在振荡,蛛 网 模 型,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,消费者的需求关系,生产者的供应关系,减函数,增函数,f与g的交点P0(x0,y0) 平衡点,一旦xk=x0，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0,设x1偏离x0,x1,P0是稳定平衡点,P0是不稳定平衡点,曲线斜率,蛛 网 模 型,在P0点附近用直线近似曲线,P0稳定,P0不稳
9、定,方 程 模 型,方程模型与蛛网模型的一致, 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度, 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量,考察 , 的含义, 消费者对需求的敏感程度, 生产者对价格的敏感程度,小, 有利于经济稳定, 小, 有利于经济稳定,结果解释,xk第k时段商品数量；yk第k时段商品价格,结果解释,经济不稳定时政府的干预办法,1. 使 尽量小，如 =0,以行政手段控制价格不变,2. 使 尽量小，如 =0,靠经济实力控制数量不变,结果解释,模型的推广,生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。,生产者管理水平提高,设供应函数为,需求函数不变,二阶线性常系数差分方程,x0为平衡点
10、,研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件,方程通解,(c1, c2由初始条件确定),1, 2特征根，即方程 的根,平衡点稳定，即k, xkx0的条件:,平衡点稳定条件,比原来的条件 放宽了,模型的推广,1.3 减肥计划节食与运动,背景,多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持,通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标,分析,体重变化由体内能量守恒破坏引起,饮食（吸收热量）引起体重增加,代谢和运动（消耗热量）引起体重减少,体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.525 超重; BMI30 肥胖.,模型假设,1）体重增加正比于吸收的热量每8000千卡增加
11、体重1千克；,2）代谢引起的体重减少正比于体重 每周每公斤体重消耗200千卡 320千卡(因人而异), 相当于70千克的人每天消耗2000千卡 3200千卡；,3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；,4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。,某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。,第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；,第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标,2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。,1）在不运动的情况下安排一个两
12、阶段计划。,减肥计划,3）给出达到目标后维持体重的方案。,确定某甲的代谢消耗系数,即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡,基本模型,w(k) 第k周(末)体重,c(k) 第k周吸收热量, 代谢消耗系数(因人而异),1）不运动情况的两阶段减肥计划,每周吸收20000千卡 w=100千克不变,第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡,第一阶段10周, 每周减1千克，第10周末体重90千克,吸收热量为,1）不运动情况的两阶段减肥计划,第二阶段：每周c(k)保持Cm, w(k)减至75千克,1）不运动情况的两阶段减肥计划,基本模型,第二阶段：每周c(k)保持Cm
13、, w(k)减至75千克,第二阶段19周, 每周吸收热量保持10000千卡, 体重按 减少至75千克。,运动 t=24 (每周跳舞8小时或自行车10小时), 14周即可。,2）第二阶段增加运动的减肥计划,t每周运动时间(小时),3）达到目标体重75千克后维持不变的方案,每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变,不运动,运动(内容同前),1.4 差分形式的阻滞增长模型,连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型),t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关),离散形式,x(t) 某种群 t 时刻的数量(人口),yk 某种群第k代的数量(人口),若yk=N, 则yk+1,yk+2,=
14、N,讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？,y*=N 是平衡点,离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性,一阶(非线性)差分方程,(1)的平衡点y*=N,讨论 x* 的稳定性,变量代换,(1)的平衡点 x*代数方程 x=f(x)的根,稳定性判断,(1)的近似线性方程,x*也是(2)的平衡点,x*是(2)和(1)的稳定平衡点,x*是(2)和(1)的不稳定平衡点,补充知识,的平衡点及其稳定性,平衡点,稳定性,另一平衡点为 x=0,不稳定,的平衡点及其稳定性,初值 x0=0.2,数值计算结果,b 3, x,b=3.3, x两个极限点,b=3.45, x4个极限点,b=3.55, x8个极限点,倍周期收
15、敛x*不稳定情况的进一步讨论,单周期不收敛,2倍周期收敛,(*)的平衡点,x*不稳定，研究x1*, x2*的稳定性,倍周期收敛,的稳定性,倍周期收敛的进一步讨论,出现4个收敛子序列 x4k, x4k+1, x4k+2, x4k+3,平衡点及其稳定性需研究,时有4个稳定平衡点,2n倍周期收敛, n=1,2,bn 2n倍周期收敛的上界,b0=3, b1=3.449, b2=3.544, ,n, bn3.57,b3.57, 不存在任何收敛子序列,的收敛、分岔及混沌现象,b,1.5 按年龄分组的种群增长,不同年龄组的繁殖率和死亡率不同,建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律,假设与建模,种群按
16、年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2, , n,时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象,第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi,第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di,假设 与 建模,xi(k)时段k第i 年龄组的种群数量,按年龄组的分布向量,预测任意时段种群按年龄组的分布,Leslie矩阵(L矩阵),(设至少1个bi0),稳定状态分析的数学知识,L矩阵存在正单特征根1，,若L矩阵存在bi, bi+10, 则,P的第1列是x*,特征向量,解释,L对角化,稳态分析k充分大种群按年龄组的分布, 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布, 与初始分布无关。,
