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1、三垂线定理,磐安中学 卢章洪,复习目标:,三垂线定理是反映三种垂直之间关系定理,要求熟练掌握三垂线定理及逆定理,并据此能够进行推理、论证和解决有关问题。,一、课题引入 引例:如图,已知PA平面ABC,ABC=90,求证:BCPB。,思考: (1)证明线线垂直的方法有哪些? (2)三垂线定理及其逆定理的主要内容。,证明:,PA平面ABC,BC在平面ABC内,PABC,又ABC=90, BCAB,BC平面PAB,PB在平面PAB内,BCPB,线线垂直的方法 : (1)a ,b在 内,则ab (2)ab,mb,则am,(3)三垂线定理及其逆定理,三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜
2、线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 三垂线逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面内的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。,二、定理内容阐述: 1、三垂线定理包括5个要素:一面“垂面”;四线(斜线、垂线、射影和平面内的直线。 顺口溜:一定平面,二定垂线,三找斜线,射影可见,直线随便。,2、“三垂线”的含义: (1)垂线与平面垂直 (2)射影与平面内的直线垂直 (3)斜线与平面内的直线垂直,三、定理巩固性练习: 1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直,则这条直线 与斜线的位置关系是( ) (A)垂直 (B)异面 (C)相交 (D)不能确定,2、在一个四面体中,如果它有一
3、个面是直角三角形,那么它的另外三个面( ) (A)至多只能有一个直角三角形 (B)至多只能有两个直角三角形 (C)可能都是直角三角形 (D)一定都不是直角三角形,D,C,四、例题分析: 例1:如图所示,已知PA 平面ABC,ACB= 90, AQPC,ARPB,试证PBC、 PQR为直角三角形。,证明:PA 平面ABC, ACB= 90, ACBC,AC是斜线PC在平面ABC的射影,BCPC(三垂线定理),PBC是直角三角形;,BC平面PAC,AQ在平面PAC内,BCAQ,又PCAQ,AQ平面PBC,QR是AR在平面PBC的射影,又ARPB,QRPB(三垂线逆定理),PQR是直角三角形。,小结
4、:凡用三垂线定理或逆定理证明的结论,都能由线面垂直的性质证明,我们的学习目标应该是直接熟悉这两个定理的应用。,例题2、空间四边形ABCD中,AB垂直于CD,BC垂直于AD,求证:AC BD。,证明:如图,若AB是平面BCD的斜线,过A作AO平面BCD于O,连结BO,ABCD,CDBO(三垂线逆定理),同理可得BCOD,则O为BCD的垂心,BDOC,OC是AC的射影,BDAC(三垂线定理)。,若AB 平面BCD,垂线即是AB,由条件BCAD,则BCBD(三垂线逆定理),而BC是AC的射影, BDAC(三垂线定理),小结:运用三垂线定理及逆定理,必然要涉及平面的斜线,此题的讨论是必要的。,例题3、
5、如图示,已知DB、EC都垂直于正三角ABC所在的平面,且BC=EC=2DB,求平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角。,F,解:,延长ED、BC交于F,连AF,则AF为二面角的棱,由已知DB、EC都垂直正三角ABC, DB/EC,又BC=EC=2DB FB=BC=AB, FAC为Rt ,且FAAC,而EC 平面ABC, AFAE(三垂线定理),于是EAC为平面ABC与平面ADE的平面角,又EC=AC, EAC= 45, 二面角的平面角为45。,思考:本题还可以用什么方法求二面角的平面角?,(用 ),小结:求二面角往往是作出二面角的平面角,先确定二面角的棱,再设法过棱上一点在二面角的二个半平面
6、上做棱的两条垂线以找到平面角,从而转化为平面问题来解决。作二面角的平面角的方法有(1)定义法,(2)三垂线定理法,(3)作垂面法。此外射影面积定理也是求二面角大小的一种常用方法。,例题4、直角三角形ABC中,B= 90, C= 30,D是BC的中点,AC=2,DE平面ABC且DE=1,求E到斜线AC的距离?,解:,过点D作DF AC于F,连结EF, DE平面ABC,由三垂线定理知EFAC,即E到斜线AC的距离为EF,在Rt ABC中, B= 90,C= 30,AC=2, BC= ,DFAC, 在Rt EDF中 为所求,小结:求点到直线的距离,常运用三垂线定理(或逆定理)把它作出,按“一作、二证
7、、三计算”的步骤求解。,方法规律:,三垂线定理及其逆定理的应用:(1)证明两条异面直线垂直;(2)确定二面角的平面角;(3)确定点到直线的垂线段。,运用定理时要习惯非常规位置图形上应用,不能只习惯于水平放置的平面上运用。,能力拓展:,1、如图所示:已知直三棱柱ABC-DEF中, ACB= 90,BAC=30,BC=1, ,M是CF的中点,求证AEDM。,证明:连结AF, Rt AFC Rt MDF, AFC= MDF , DMF+AFC=DMF+MDF= 90, DM AF,又ABC-DEF为直三棱柱, CFEF,又EFDF, EF平面AF,由三垂线定理知AEDM,能力拓展:,2、过Rt BP
8、C的直角顶点P作线段PA 平面BPC,求证: ABC的垂心H是P点在平面ABC内的射影。,证明:H是ABC的垂心,连结AH延长交BC于D,连结BH延长交AC于E,ADBC,BEAC,AP平面PBC,BCPD,ADPD=D,BC平面ADP,BCPH,又AP面PBC,APPB,由已知BPPC,PB面APC,又BEAC,PEAC,AC面PBE,PHAC,ACBC=C,PH面ABC,H是P点在平面ABC的射影。,; http:/ 老司机看片 老司机资源 老司机盒子 suc85rvt 他一个人活了下来。小沙弥还说,这人神智不太清醒,一直将小沙弥当成了自己的小儿子,总是喊小直子,爹长爹短的。据我看,这人就
9、是小沙弥寻找的那个人!”李长善说:“看来应该是了!你经常行医到处走的,如果再见到小沙弥寻找这个人,就告诉他,这人在我们家。他救了我的小儿子,是我们家的大恩人,我们会好好照顾他的!叫小沙弥放心,我们家里的条件比寺庙里好,我也会想办法给他治病的!”王郎中说:“倘若我再见到小沙弥还寻找这个人,一定转告您的话。我也会尽力救治他的。唉,这个人太可怜了!”认真瞧完病后,王郎中回到李长善夫妻的房内开了三付草药,对这夫妻二人说:“你们先给他服服这几付草药吧,看看效果如何。然后,我再决定下一步的方案!”李长善说:“多谢先生!你看能治得好吧?”王郎中沉吟一刻,说:“我尽力吧,估计需要时间!”李长善赶快说:“时间长
10、不打紧,只要能治好就行!”王郎中想一想,又对李长善夫妻说:“如果他非要把你们的三个娃儿认成了自己的娃儿,就不妨让他这样认吧。这样做,肯定对他的康复会有好处的!”李妻说:“我们这两天也没有敢硬跟他说些什么,只是一味地顺着他呢!那就听您的话,让他认了吧!”李长善也说:“只要对他的康复有好处,就让他认了吧!再说了,我们那宝贝老疙瘩的命,本来就是他给的,他想让娃儿叫他声爹,这个要求说起来也不算过分啊!”87第五十五回 耿老爹救人误认儿|(意识糊涂耿老爹,擅自走出小寺庙;十多里远山镇外,救了孩童又认“儿”。)转眼之间,耿老爹在青松山上的小寺庙里已经住了三个多月了。这期间,老和尚看到这个不幸的落难人身体逐
11、渐恢复了,就开始想方设法地通过针灸和草药,给他做一些力所能及的医治和调理,但却总也不见有多少效果。耿老爹依然还是把小沙弥当作自己的小儿子耿直,一天到晚寸步不让离开。一天,小沙弥问他:“你成天喊我小直子,可我的名字到底叫什么啊?”耿老爹说:“咱姓耿啊,你叫耿直,爹娘和哥哥姐姐都喊你小直子。你当爹傻啊,还能把自家个儿的姓儿给忘了!”小沙弥听了,自言自语地小声说:“原来我叫耿直!”耿老爹问:“小直子啊,你念叨什么呢?”小沙弥笑着说:“我说,我终于知道我姓耿名直了!”耿老爹也笑了,说:“你就逗爹哇,我的儿子怎么能忘记了自家个儿姓什么叫什么呢!”此时已经是深秋时节,天气一早一晚的逐渐有了一些凉意,寺庙后院里的几棵泡桐树不断地脱落着舒展了多半年的阔叶。那日午后,小沙弥见耿老爹睡着了,就悄悄地掩上屋门退了出来,拿起一把大扫帚去后院儿里打扫落叶。哪里想到,他刚刚去了不久,耿老爹就大汗淋漓地惊醒了。他刚才做了一个非常,