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1、三垂线定理,磐安中学 卢章洪,复习目标：,三垂线定理是反映三种垂直之间关系定理，要求熟练掌握三垂线定理及逆定理，并据此能够进行推理、论证和解决有关问题。,一、课题引入 引例：如图，已知PA平面ABC，ABC=90，求证：BCPB。,思考： （1）证明线线垂直的方法有哪些？ （2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。,证明：,PA平面ABC，BC在平面ABC内，PABC，又ABC=90， BCAB，BC平面PAB，PB在平面PAB内，BCPB,线线垂直的方法 ： （1）a ,b在 内，则ab （2）ab，mb，则am,（3）三垂线定理及其逆定理,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜
2、线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。,二、定理内容阐述： 1、三垂线定理包括5个要素：一面“垂面”；四线（斜线、垂线、射影和平面内的直线。 顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随便。,2、“三垂线”的含义： （1）垂线与平面垂直 （2）射影与平面内的直线垂直 （3）斜线与平面内的直线垂直,三、定理巩固性练习： 1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线 与斜线的位置关系是（ ） （A）垂直 （B）异面 （C）相交 （D）不能确定,2、在一个四面体中，如果它有一
3、个面是直角三角形，那么它的另外三个面（ ） （A）至多只能有一个直角三角形 （B）至多只能有两个直角三角形 （C）可能都是直角三角形 （D）一定都不是直角三角形,D,C,四、例题分析： 例1：如图所示，已知PA 平面ABC，ACB= 90， AQPC，ARPB，试证PBC、 PQR为直角三角形。,证明：PA 平面ABC， ACB= 90， ACBC，AC是斜线PC在平面ABC的射影，BCPC（三垂线定理），PBC是直角三角形；,BC平面PAC，AQ在平面PAC内，BCAQ，又PCAQ，AQ平面PBC，QR是AR在平面PBC的射影，又ARPB，QRPB（三垂线逆定理），PQR是直角三角形。,小结
4、：凡用三垂线定理或逆定理证明的结论，都能由线面垂直的性质证明，我们的学习目标应该是直接熟悉这两个定理的应用。,例题2、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC垂直于AD，求证：AC BD。,证明：如图，若AB是平面BCD的斜线，过A作AO平面BCD于O，连结BO，ABCD，CDBO（三垂线逆定理），同理可得BCOD，则O为BCD的垂心，BDOC，OC是AC的射影，BDAC（三垂线定理）。,若AB 平面BCD，垂线即是AB，由条件BCAD，则BCBD（三垂线逆定理），而BC是AC的射影， BDAC（三垂线定理）,小结：运用三垂线定理及逆定理，必然要涉及平面的斜线，此题的讨论是必要的。,例题3、
5、如图示，已知DB、EC都垂直于正三角ABC所在的平面，且BC=EC=2DB，求平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角。,F,解：,延长ED、BC交于F，连AF，则AF为二面角的棱，由已知DB、EC都垂直正三角ABC， DB/EC，又BC=EC=2DB FB=BC=AB， FAC为Rt ，且FAAC，而EC 平面ABC， AFAE（三垂线定理），于是EAC为平面ABC与平面ADE的平面角，又EC=AC， EAC= 45， 二面角的平面角为45。,思考：本题还可以用什么方法求二面角的平面角？,（用 ）,小结：求二面角往往是作出二面角的平面角，先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在二面角的二个半平面
6、上做棱的两条垂线以找到平面角，从而转化为平面问题来解决。作二面角的平面角的方法有（1）定义法，（2）三垂线定理法，（3）作垂面法。此外射影面积定理也是求二面角大小的一种常用方法。,例题4、直角三角形ABC中，B= 90， C= 30，D是BC的中点，AC=2，DE平面ABC且DE=1，求E到斜线AC的距离？,解：,过点D作DF AC于F，连结EF， DE平面ABC，由三垂线定理知EFAC，即E到斜线AC的距离为EF，在Rt ABC中， B= 90，C= 30，AC=2， BC= ，DFAC， 在Rt EDF中 为所求,小结：求点到直线的距离，常运用三垂线定理（或逆定理）把它作出，按“一作、二证
7、、三计算”的步骤求解。,方法规律：,三垂线定理及其逆定理的应用：（1）证明两条异面直线垂直；（2）确定二面角的平面角；（3）确定点到直线的垂线段。,运用定理时要习惯非常规位置图形上应用，不能只习惯于水平放置的平面上运用。,能力拓展：,1、如图所示：已知直三棱柱ABC-DEF中， ACB= 90，BAC=30，BC=1， ，M是CF的中点，求证AEDM。,证明：连结AF， Rt AFC Rt MDF， AFC= MDF ， DMF+AFC=DMF+MDF= 90， DM AF，又ABC-DEF为直三棱柱， CFEF，又EFDF， EF平面AF，由三垂线定理知AEDM,能力拓展：,2、过Rt BP
8、C的直角顶点P作线段PA 平面BPC，求证： ABC的垂心H是P点在平面ABC内的射影。,证明：H是ABC的垂心，连结AH延长交BC于D，连结BH延长交AC于E，ADBC，BEAC，AP平面PBC，BCPD，ADPD=D，BC平面ADP，BCPH，又AP面PBC，APPB，由已知BPPC，PB面APC，又BEAC，PEAC，AC面PBE，PHAC，ACBC=C，PH面ABC，H是P点在平面ABC的射影。,； http:/ 老司机看片 老司机资源 老司机盒子 suc85rvt 他一个人活了下来。小沙弥还说，这人神智不太清醒，一直将小沙弥当成了自己的小儿子，总是喊小直子，爹长爹短的。据我看，这人就
9、是小沙弥寻找的那个人！”李长善说：“看来应该是了！你经常行医到处走的，如果再见到小沙弥寻找这个人，就告诉他，这人在我们家。他救了我的小儿子，是我们家的大恩人，我们会好好照顾他的！叫小沙弥放心，我们家里的条件比寺庙里好，我也会想办法给他治病的！”王郎中说：“倘若我再见到小沙弥还寻找这个人，一定转告您的话。我也会尽力救治他的。唉，这个人太可怜了！”认真瞧完病后，王郎中回到李长善夫妻的房内开了三付草药，对这夫妻二人说：“你们先给他服服这几付草药吧，看看效果如何。然后，我再决定下一步的方案！”李长善说：“多谢先生！你看能治得好吧？”王郎中沉吟一刻，说：“我尽力吧，估计需要时间！”李长善赶快说：“时间长
10、不打紧，只要能治好就行！”王郎中想一想，又对李长善夫妻说：“如果他非要把你们的三个娃儿认成了自己的娃儿，就不妨让他这样认吧。这样做，肯定对他的康复会有好处的！”李妻说：“我们这两天也没有敢硬跟他说些什么，只是一味地顺着他呢！那就听您的话，让他认了吧！”李长善也说：“只要对他的康复有好处，就让他认了吧！再说了，我们那宝贝老疙瘩的命，本来就是他给的，他想让娃儿叫他声爹，这个要求说起来也不算过分啊！”87第五十五回 耿老爹救人误认儿|（意识糊涂耿老爹，擅自走出小寺庙；十多里远山镇外，救了孩童又认“儿”。）转眼之间，耿老爹在青松山上的小寺庙里已经住了三个多月了。这期间，老和尚看到这个不幸的落难人身体逐
11、渐恢复了，就开始想方设法地通过针灸和草药，给他做一些力所能及的医治和调理，但却总也不见有多少效果。耿老爹依然还是把小沙弥当作自己的小儿子耿直，一天到晚寸步不让离开。一天，小沙弥问他：“你成天喊我小直子，可我的名字到底叫什么啊？”耿老爹说：“咱姓耿啊，你叫耿直，爹娘和哥哥姐姐都喊你小直子。你当爹傻啊，还能把自家个儿的姓儿给忘了！”小沙弥听了，自言自语地小声说：“原来我叫耿直！”耿老爹问：“小直子啊，你念叨什么呢？”小沙弥笑着说：“我说，我终于知道我姓耿名直了！”耿老爹也笑了，说：“你就逗爹哇，我的儿子怎么能忘记了自家个儿姓什么叫什么呢！”此时已经是深秋时节，天气一早一晚的逐渐有了一些凉意，寺庙后院里的几棵泡桐树不断地脱落着舒展了多半年的阔叶。那日午后，小沙弥见耿老爹睡着了，就悄悄地掩上屋门退了出来，拿起一把大扫帚去后院儿里打扫落叶。哪里想到，他刚刚去了不久，耿老爹就大汗淋漓地惊醒了。他刚才做了一个非常,
