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1、数的发展和演变,数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分。 数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。 一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。今天，我们所应用的数系，已经构造得如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时，是否想到在数系形成和发展的历史过程中，人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢？,今天就由我向大家讲述数的发展和演变。,数是个神秘的领域，人类最初对数并没有概念。但是，生活方面的需要，让人类脑海中逐渐有了“数量”的影子。你知道数是如何发展称
2、为今天这个模样的吗？,有理数的发展大概可以分为以下几个阶段：,远古时期,罗马数字,0的引进和阿拉伯数字,筹算,让我们穿越时空，了解一下吧！,远古时期,远古时期的人类在生活中遇到了许多无法解决的困难：如何表示一棵树、两只羊等等。而在当时并没有符号或数字表示具体的数量，所以他们主要以结绳记事或在石头上刻痕迹的方法计数。,罗马数字,罗马数字想必大家很熟悉不过了。这些数字常在钟表里出现，想想看，你见过它们吗？I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1000）。如果你细心观察的话，会发现罗马数字中没有“0”。其实在公元5世纪时，“0”已经传入
3、罗马，但罗马教皇凶残而且守旧。他不允许任何人使用“0“。有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用“0“的一些好处和说明，就被教皇召去，施行了拶刑，使他再也不能握笔写字。,筹算,我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算。筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的。按规定的横竖长短顺序摆好，就可用来记数和进行运算。随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了。算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字。 从算筹数码中没有“10”这个数可以清楚地看出，筹算从一开始就严格遵循十位进制。9位以上的数就要进一位。同一个数字放在百位上就是几百，放在万位上就是几万。这样的计算法在当时是很先进的。但筹算数码中开始没有“
4、零”，遇到“零”就空位。比如“6708”，就可以表示为“ ”。数字中没有“零”，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错。,0的引进和阿拉伯数字,0这个数是公元六世纪的印度人发明的，他们用黑点“”表示，最终演变成现在我们熟悉的“0”。当然，阿拉伯数字也是印度人创造的，之后流传到阿拉伯，后人误认为是阿拉伯人发明，故称之为“阿拉伯数字”。由于它们便于书写，被沿用至今。,发展到阿拉伯数字为止，我们发现这些数字都是自然数。出现分数以后，又解决了人们许多难题。但是，在生活中我们还见到过不少具有相反意义的量：前进和后退，向上和向下等等。这些又怎么表示呢？于是，人类又将这些具有相反意义的数
5、称为“负数”。,又有学者发现了一些无法用自然数和负数表示的数。有这样一个故事：一个叫希帕索斯的学生画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理x2=12+12=2，可见对角线的长度是存在的，可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数。其实，这就是后来人们发现的“无理数”，这些数无法用准确的数字表示出来，它们是无限不循环小数，所以就用“根（ ）”来表示。下面我们就来讲一讲无理数。,在古希腊，有一个很了不起的数学家，叫做毕达哥拉斯，他开了一间学校，教了很多学生，他的学校的名字叫“毕达哥拉斯学园”。别的人也给它起了个名字，叫“毕达哥拉斯学派”，他
6、们认为，数是世界的法则，是主宰生死的力量，他们就像崇拜天神一样崇拜数。毕达哥拉斯和他的学生们在学园里研究数学，做出了好多的数学发现，比如“毕达哥拉斯定理”就是这么发现的。这个定理，在我们中国叫“勾股定理”。,背景故事,毕达哥拉斯认为，世界上只存着整数和分数，除此之外，就再也没有什么别的数了，可是，他有一个学生，叫希伯索斯，就发现了这样的一种数，比如，一个边长是1的正方形，从一个角到对着它的一个角之间的线段长度是多少呢？ 毕达哥拉斯知道了学生的这个发现，大惊失色，因为如果承认了这个发现，那他们学派的基础就没有了，毕达哥拉斯这位伟大的数学家，在这上面的表现却很不光彩；他禁止希伯索斯把这个发现传出去
7、，否则就要用学园的戒律来处置他活埋。毕达哥拉斯兴师问罪，然而希伯索斯事先已经得知了消息，他抢先一步逃走了。毕达哥拉斯学派是不会放过他的，他们在一条海船上发现了他，把希伯索斯装进了口袋，扔进了大海，希伯索斯就这样被害死了！”。希伯索斯虽然被害死了，但是他发现的“新数”却还存在着，后来，人们从他的发现中知道了除去整数和分数之外，世界上还存还着一种“新数”。,这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的“危机”，从而产生了第一次数学危机。 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的
8、权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命。 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。,假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B， A中的每一个元素都小于B中的每一个元素，任何一种分类方法称为有理数的一个分割。对于任一分割, 必有3
9、种可能, 其中有且只有1种成立:A有一个最大元素a，B没有最小元素。例如A是所有1的有理数，B是所有1的有理数。 B有一个最小元素b，A没有最大元素。例如A是所有1的有理数。B是所有1的有理数。 A没有最大元素，B也没有最小元素。例如A是所有负的有理数，零和平方小于2的正有理数，B是所有平方大于2的正有理数。显然A和B的并集是所有的有理数，因为平方等于2的数不是有理数。注:：A有最大元素a，且B有最小元素b是不可能的，因为这样就有一个有理数不存在于A和B两个集合中，与A和B的并集是所有的有理数矛盾。第3种情况，戴德金称这个分割为定义了一个无理数，或者简单的说这个分割是一个无理数。前面2种情况中
10、，分割是有理数。这样，所有可能的分割构成了数轴上的每一个点，既有有理数，又有无理数，统称实数。,戴德金分割,16世纪意大利米兰学者卡当（15011576）在1545年发表的重要的艺术一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成=40，尽管他认为 这个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺。,复数的历史,由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意就
11、是指它是虚假的；莱布尼兹则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。”欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说：“一切形如,-1，-2的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”,继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a+bi）用平面上的点来表示。后来高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。现 在，复数一般用来表示向量（有方向的量），这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内容。,数字是个神秘的领域，它们的家庭也在日益壮大着即使是简单的数字的组合，也会带给我们神奇的美感。,美丽的数,美丽的数学公式,fin,
