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1、1 题型之四：矩阵相似与可对角化的讨论知识点、题型、解题技巧综述1相似的概念：设A与B都是同阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得BAPP1，则称矩阵A与B相似 . 记作：BA . 2若BA ，则A与B有相同的特征多项式；相同的特征值；相同的秩；相同的迹；相同的行列式值；相同的可逆性（特别地，若BA 且A与B都可逆时，11 BA）. 3若BA ，则mmBA及BfAf. （其中：Af和Bf都是关于A与B的多项式） . 4矩阵可对角化的概念：若n阶矩阵A能与一个对角矩阵相似，则称矩阵A可对角化 . 5设A为n阶矩阵，则A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. 6设A是n阶方阵，则当A有n个互
2、不相同的特征值时，A必可对角化 .（逆命题不真）. 7设A为n阶方阵，i是其in重特征根（mi, 2, 1） ，则矩阵A可对角化的充分必要条件是iinnAEr或者： 齐次线性方程组0xAEi基础解系中含有in个线性无关的特征向量. 8实对称矩阵必可对角化. 它既可由可逆矩阵对角化，又可由正交矩阵对角化. 9实对称矩阵互异特征值所对应的特征向量必正交. 10正交的向量组必线性无关. 11任何一组线性无关的向量组必可经Schmidt 正交法化为一组正交的向量组. 12 Schmidt正 交 法 : 设s,21是 一 组n维 正 交 向 量 组 ， 令11，11112 22TT，22223 1111
3、3 33TTTT，11ikkkT kkT i iisi, 2, 1. 13正交矩阵的概念：设Q为n阶实矩阵，若满足EQQT，则称之为一个正交矩阵. 14正交矩阵的主要性质：若Q为正交矩阵，则其行列式的值为1;1QQT；Q的行（列）向量组都是单位正交向量组. 15若A为实对称矩阵， 则存在可逆阵P及正交矩阵Q，使得APP1且AQQ1. 例题精解例 1 （04 数 1 9）设51341321aA的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化. 2 解 ：0318822aAE， 若2是 特 征 方 程 的 二 重 根 ， 则203182822aa. 此时，6, 2321. 因为1)2(A
4、Er, 所以A可对角化 . 若2不是二重特征值，则031882a有二重根. 即0)318(464a，32a. 此时，4, 2321. 因为122)4(nAEr，所以此时A不可对角化 . 例 2 （03 数 310）若60028022aA相似于，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使APP1. 解：2,6016263212AE. 对于621，解方程组06xAE，得1001，0212. 对 于23， 解 方 程 组02xAE， 得0213. 令321,P， 则041 21041211001P，故2661APP. 例 3 （ 05 数413）设A为三阶矩阵，321,是线性无关的三维列向量，且满足321
5、1A，3222A，32332A. （ 1 ） 求B， 使 得BA321321,； （2）求A的特征值；（3）求可逆阵P，使得APP1为对角阵. 解： （1）311221001,321321A，故311221001B. 3 （2）在BA321321,中，令321,C，因为321,线性无关，所以C可逆 . 于是，BACCCBAC1. 即BA . 又因为412BE，所以B的特征值为：1，1，4. 于是，A的特征值也为：1，1， 4. 解 方 程 组0xAE和04xAE， 得110,102,011321. 令321,P，则41111 1BPP. 即411111 1ACPCP, 令1CPP，则4111A
6、PP. 例4 设A为 三 阶 实 对 称 矩 阵 ， 且 存 在 可 逆 矩 阵,1125121aabP使 得.1211APP又A的伴随矩阵A有特征值00,所对应的特征向量为152求： （1）0的值； （2）1A； （3）行列式.EA解：本题关键条件是A为实对称矩阵，而1211APP，相当于已知A的三个特征值，且P的每列为对应特征向量，再根据不同特征值对应特征向量是正交的，可确定参数ba,. 然后利用特征值与特征向量的定义可求出0. 至于,2111AAAA只需求出A即可 . 而行列式.EA利用特征值或相似矩阵均可计算. （1）由题设，有121PAP，令321,P, 其中11,2121aba，4
7、 ,1,2,1,1523322113AAA则即321,分别是属于三个不同特征值1,2, 1321的特征向量 . 而A为三阶实对称矩阵，其不同特征值对应的特征向量必正交，即 20, 01) 1(52,0252, 0, 03231 baabaTT又0A，而3，于是有)()(303A，即,303A从而,303303AAAAA可见,2 3 03 03AA因此有, 123 0故.20由,1,2,1332211AAA及11,2121aba，1523有,2,321321A故101121512121151157112510221122520241,2,11 321321A于是，.201141101414121
8、10121107212111AAAAA（3）当A有特征值时，A有对应的特征值A；EA有对应的特征值1A即：-1， 0，3. 故.0301EA点评： （1）当A有特征值时，A有对应的特征值A； （2）A为三阶实对称矩5 阵，其不同特征值对应的特征向量必正交；（3）当1211APP成立时，A的特征值分别为：1, 2, 1321； （4）与A有关的问题，一般均可考虑利用关系式EAAAAA进行化简 . 例 5设A是三阶实对称矩阵，其主对角线元素都是0，并且T12 , 1满足2A.（1）求矩阵A； （ 2）求正交矩阵Q，使得AQQT为对角矩阵 . 解： （1）注意到A为实对称矩阵， 主对角线上的元素全为
9、零，则设,000231323121312aaaaaaA由2A得，22422231323121312aaaaaa.02220222022,2231312 Aaaa（2）要求正交矩阵，需先求出A的各特征值与特征向量. 由),4()2(2AE得A的特征值为.4, 2321解齐次线性方程组,0)2(xAE得基础解系.101,12121解齐次线性方程组,0)4(xAE得基础解系.1113容易验证21,已正交，只需将其标准化，有.10121,1216122 2 11 1同理，.1113133 3令321,Q, 且400020002AQQT. 点评：实对称矩阵必可对角化；在求变换矩阵Q时，若同一特征值下有多
10、个特征向量，则应将其用Schmidt 正交法化为正交向量组后，再化其为单位向量组.本题中的21,正交属巧合，非一般情形.6 例6 已 知 -2是 矩 阵32422423aA的 一 个 特 征 值 ， 求a的 正 交 矩 阵Q使AQAQ21解：因为 -2 是矩阵A的特征值，有02AE)6(95242224252aaAE从而6a，由于)2()7(3242624232AE知矩阵A的特征值是2, 7321.对0)2,7xAE由（得基础解系Ta)2, 1 , 2(3即特征值2的特征向量 .因为21.aa不正交， 故需 schmidt 正交化， 而3a只需单位化先正交化：02111a52451021511
11、01)()( 1 1112 22aa再单位化，得21231,524531,02151 321那么令32 35031532523253451)(321Q则有2771AQQ于是44949)(1121AQQAQQQAQ. 例7 （ 06数3,4-13 ） 设 三 阶 实 对 称 矩 阵A的 各 行 元 素 之 和 均 为3 ， 向 量110,12121是线性方程组0Ax的两个解向量. （I）求A的特征值与特征向量；（II ）求正交矩阵Q和对角矩阵，使得AQQT； （III ）求A及623EA，其中E7 为三阶单位矩阵. 解： （I）由于A的各行元素之和均为3，所以1113111A，因为0,021AA
12、，则021，33是A的三个特征值，1113为A的属于33的特征向量 . 综上，A的特征值为3 ,0,0.属于特征值0的特征向量为：2211kk（21,kk不全为零），属于特征值3的特征向量为：0333kk. （II ）对21,正交化 .令12111，10121, 1 1112 22. 再将321,单位化，得：11131,10121,1216133 3 22 2 11 1. 令312161310 62312161,321Q，300，那么Q为正交矩阵，且AQQT. （III ）因AQQT，且Q为正交矩阵，故111111111313131210 21616261300312161310 623121
13、61TQQA. 由TQQA，得TQEQEA2323，8 所以QE623EQET6623 23. 例 8已知2是矩阵2242224aaaA的二重特征值，求a的值并求正交矩阵Q使AQQT. 解：因为A是实对称矩阵，2是二重特征根，故2必有二个线性无关的特征向量，且12AEr，由此可以推出2a.于是，422242224A. 显然，8124442233iiia. 对于特征值221，可求得对应的特征向量为：101,01121. 对于特征值83，可求得对应的特征向量为：1113. 为构造正交矩阵21,需 Schmidt 正交化，3需单位化 . 于是，得正交矩阵31620316121316121Q，且822
14、1AQQAQQT. 点评：本题考查了特征值的性质将矩阵正交对角化的过程. 例 9 （I ）求证：如果矩阵BA,有相同的特征多项式且都可对角化，则存在矩阵P，使BAPP1. （II ）设422132221A，322121101B，求可逆矩阵P，使BAPP1. 证明： （I ） 因为A与B有相同的特征多项式，所以它们有相同的特征值，设为n,21，9 又因为它们都可以对角化，则存在可逆矩阵21,PP，使得nAPP2111 1，且nBPP2121 2.即1112112PPAPPB.令1 12PPP， 则BAPP1. （II ）容易求得A的特征值为：3,2, 1321. 对应的特征向量为：201,110
15、,011321. B的特征值为：3,2, 1321，且对应的特征向量为：211,212,011321. 于 是 ， 由 （ I ） 可 知1P),(321，2P),(321, 4663454671111221122201111211 12PPP, 有BAPP1. 点评：本题考查矩阵的相似与可逆. 例 10已知aA20251011与61bB相似 . 求ba,的值，并求正交矩阵P使BAPP1. 解：因为相似矩阵有相同的迹和相同的行列式，则 baBAba644,6151即，解之得0, 1 ba. 那么，矩阵A的特征值是：1， 0，6. 10 容易求得这三个特征值所对应的特征向量分别为：251,211
16、,102321. 特征值不同，特征向量已正交，只须单位化即可. 上述向量经单位化后得：302305301,626161,51052321. 令321,P，则BAPP1. 点评：利用相似的必要条件求参数时，iiiiba是比较好用的一个 . 搭配另一个建立方程组时可以用BEAE，现在1是A的特征值，故01120241010aaAE. 亦能立即求出参数的值.A是实对称矩阵可以用正交矩阵来实现相似对角化，考生要掌握这个方法. 例 11已知实矩阵baA1110111有特征向量211.（1）求a和b； （2）说明A必能相似于一个对角矩阵的理由，并写出与A相似的一个对角矩阵B，以及求出可逆矩阵P使BAPP1.（3）求一个正交矩阵U，使BAUU1. 解： （1）由定义A可得：00121120121baba. （2）因为A是实称矩阵，从而A必有 3 个线性无关的特征向量321,XXX，于是A必可对 角 化 .容 易 求 得A有 特 征值2,
