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1、20092010 学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料第 19 讲用样本估计总体及线性相关关系一 【课标要求】1用样本估计总体 通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画 频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会他们各自的特点； 通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差； 能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均 数、标准差） ，并作出合理的解释； 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布 估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布
2、和数字特征的随机性； 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过 对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的 差异； 形成对数据处理过程进行初步评价的意识 2变量的相关性 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量 间的相关关系； 经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据 给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程 二 【命题走向】“统计”是在初中“统计初步”基础上的深化和扩展，本讲主要会用样本的频率分布估计总体的分布，并会用样本的特征来估计总体的分布预测 2
3、010 年高考对本讲的考察是：1以基本题目（中、低档题）为主，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考察学生学习基础知识、应用基础知识、解决实际问题的能力；2热点问题是频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征。 三 【要点精讲】1用样本的数字特征估计总体的数字特征（1）众数、中位数在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两位数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（2）平均数与方差如果这 n 个数据是nxxx,.,21，那么niixnx 11叫做这 n 个数据平均数；如果这 n 个数据是nx
4、xx,.,21，那么)(112niixxnS叫做这 n 个数据方差；同时s)(11niixxn叫做这 n 个数据的标准差。2频率分布直方图、折线图与茎叶图样本中所有数据（或数据组）的频率和样本容量的比，就是该数据的频率。所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做频率分布，可以用频率分布直方图、折线图、茎叶图来表示。频率分布直方图：具体做法如下：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距组距频率 =频率。折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线
5、图 总体密度曲线：当样本容量足够大，分组越多，折线越接近于一条光滑的曲线，此光滑曲线为总体密度曲线。3线性回归 回归分析：对于两个变量，当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个 变量之间的关系叫相关关系或回归关系。回归直线方程：设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大 致分布在某一条直线的附近，就可以认为y对x的回归函数的类型为直线型：bxay ?。其中 2121121)()(xnxyxnyxxxyyxx bniiniiiniiniii ，xbya。我们称这个方程为y对x的回归直线方程。 四 【典例解析】 题型 1：数字特征例 1为了检查一批手榴弹的杀伤半径，
6、抽取了其中20 颗做试验，得到这20 颗手榴弹的杀伤半径，并列表如下：(1) 在这个问题中，总体、个体、样本和样本容量各是什么？(2) 求出这 20 颗手榴弹的杀伤半径的众数、中位数和平均数，并估计这批手榴弹的平均杀伤半径解析：(1) 总体是要检查的这批手榴弹的杀伤半径的全体；个体是每一颗手榴弹的杀伤半径；样本是所抽取的20 颗手榴弹的杀伤半径；样本容量是20。(2) 在 20 个数据中， 10 出现了 6 次，次数最多，所以众数是10（米）20 个数据从小到大排列，第10 个和第 11 个数据是最中间的两个数，分别为9（米）和10（米） ，所以中位数是 21（9+10）=9.5 （米）。样本
7、平均数4 .9) 112311610495817( 201x（米）所以，估计这批手榴弹的平均杀伤半径约为9.4 米。点评： (1) 根据总体、个体、样本、样本容量的概念答题要注意：总体、个体和样本所说的考察对象是一种数量指标，不能说成考察的对象是手榴弹，而应说是手榴弹的杀伤半径。(2009 山东卷理 )某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96，106，样本数据分组为96，98） ，98，100), 100，102)，102，104),104，106,已知样本中产品净重小于100 克的个数是36，则样本中净重大于
8、或等于98 克并且小于 104 克的产品的个数是( ). A.90 B.75 C. 60 D.45 答案 A 解析产品净重小于100 克的概率为 (0.050+0.100) 2=0.300,已知样本中产品净重小于100 克的个数是36,设样本容量为n, 则300.036n,所以120n,净重大于或等于98 克并且小于104 克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125) 2=0.75, 所以样本中净重大于或等于98 克并且小于104 克的产品的个数是1200.75=90. 故选 A. 【命题立意】:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据 . (2
9、) 读懂表格的意义，利用概念求众数、中位数，用样本平均数估计这批手榴弹的平均杀伤半径另外在这里要会简便计算有多个重复数据的样本的平均数。例 2为估计一次性木质筷子的用量，1999 年从某县共600 家高、中、低档饭店抽取10家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：0.6 3.7 2.2 1.5 2.8 1.7 1.2 2.1 3.2 1.0 (1) 通过对样本的计算，估计该县1999 年消耗了多少盒一次性筷子（每年按350 个营业日计算）；(2)2001 年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是10 个样本饭店，每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42 盒求
10、该县2000 年、 2001 年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率（2001 年该县饭店数、 全年营业天数均与1999 年相同）；(3) 在(2) 的条件下，若生产一套学生桌椅需木材0.07m3，求该县 2001 年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅。计算中需用的有关数据为：每盒筷子100 双，每双筷子的质量为 5g，所用木材的密度为0.5 103kg/m3；(4) 假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克频率 /组距第 8 题图要地
11、用文字表述出来。解析： (1)0.2)0.12.31.22 .17 .18.25.12 .27 .36 .0( 101x所以 , 该县 1999 年消耗一次性筷子为2600 350=420000（盒） 。(2) 设平均每年增长的百分率为X，则 2（1+X）2=2.42, 解得 X1=0.1=10%，X2=2.1 （不合题意，舍去） 。所以 , 平均每年增长的百分率为10% ；(3) 可以生产学生桌椅套数为7260 07.0105.035060010042.2005.03（套） 。（2009 四川卷文）设矩形的长为a，宽为b，其比满足ba618.0 215，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金
12、矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次： 0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次： 0.618 0.613 0.592 0.622 0.620 根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618 比较，正确结论是A. 甲批次的总体平均数与标准值更接近B. 乙批次的总体平均数与标准值更接近C. 两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D. 两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定答案A 解析甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613 (4) 先抽取若干个县（或市、州）作样本，再分别从这
13、些县（或市、州）中抽取若干家饭店作样本，统计一次性筷子的用量点评：本题是一道统计综合题，涉及的知识点很多，需要灵活运用各种知识分析解决问题对于第 (1) 小题，可先求得样本平均数，再利用样本估计总体的思想来求得问题的解对于第 (2) 小题，实际是一个增长率问题的应用题，可通过设未知数列方程的方法来解对于第(3) 小题，用到了物理公式m v，体现了各学科知识之间的联系，让学生触类旁通，在解决实际问题时能综合运用多种知识灵活地解决问题第(4) 小题只要能够运用随机抽样方法，能体会到用样本估计总体的统计思想就可解决，在文字表述上要注意简洁、明了、正确。题型 2：数字特征的应用例 3甲、乙两种冬小麦试
14、验品种连续5 年的平均单位面积产量如下（单位：t/ hm2）品种第 1 年第 2 年第 3 年第 4 年第 5年甲9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 其中产量比较稳定的小麦品种是甲。解析： x甲= 1 5( 9.8 + 9.9 + 10.1 + 10 + 10.2) = 10.0 ，x乙= 1 5( 9.4 + 10.3 + 10.8 + 9.7 + 9.8) = 10.0；s2 甲= 1 5( 9.82 + ,+ 10.22) 102 = 0.02，s2 甲= 1 5( 9.42 + ,+ 9.82) 102= 0.244 0.02 。点评
15、：方差与平均数在反映样本的特征上一定要区分开例 4在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A）9.4, 0.484 （B）9.4, 0.016 （C）9.5, 0.04 （ D）9.5, 0.016 答案： D；解析：7 个数据中去掉一个最高分和一个最低分后，余下的 5 个数为：9.4, 9.4, 9.6, 9.4, 9.5。则平均数为：5 .946.9 55.94.96.94.94.9x，即5.9x。方差为：016.0)5 .95.9()5.94 .9()5.94.9
16、( 512222s即016.02s，故选 D。点评：一定要根据实际的题意解决问题，并还原实际情景题型 3：频率分布直方图与条形图例 5为检测 ,某种产品的质量,抽取了一个容量为30 的样本 ,检测结果为一级品5 件 ,而极品 8 件,三级品 13 件,次品 14 件. （1）列出样本频率分布表; （2）画出表示样本频率分布的条形图; （3）根据上述结果,估计辞呈商品为二极品或三极品的概率约是多少解析： (1) 样本的频率分布表为产品频数频率一级晶 5 017二级晶 8 027三级晶 13 043次品 4 013(2) 样本频率分布的条形图为：(3)此种产品为二极品或三极品的概率约为0.27+0.43=0.7。点评：条形图中纵坐标一般是频数或频率例 6为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100 名年龄为17.5 岁岁
