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1、1,从上一章可以看出,利用将函数f(z)在其解析的环域R1|z-z0|m2时, z0为函数f1(z)/f2(z) 的m1-m2级零点.,26,m 级零点的判别方法,零点的充要条件是,证 (必要性),由定义:,27,其中,展开式的前m项系数都为零 ,由Taylor级数的系数,公式知:,并且,充分性证明略 .,28,(1)由于,练习,是五级零点,是二级零点.,解,(2)由于,答案,29,定理,的 m 级零点.,证明,当 时 ,反过来也成立.,三、用函数的零点判断极点的类型,30,由于,只要令,那末,当 时,解析且,31,说明,简便的方法.,解,这些奇点是,孤立奇点.,此定理为判断函数的极点提供了一
2、个较为,32,解,注: 不能以函数的表面形式作出结论 .,33,例10求下列函数孤立奇点的类型，指出极点级数 (1),解：z=1和-1为函数f2(z)的奇点，取和 ， z=1和-1分别为f2(z)的二级极点和二级极点。,34,(2),解：点z0=0为f(z)=z 的一级零点；函数 的零点为 ， 且 在这些点处不为零，由定理1，这些点为函数 的一级零点。由定理2的推论2，z=0为函数 的二级零点，又由推论1，它为f4(z) 的二级极点，同理， 为f4(z) 的简单极点,定义 设函数f(z)在无穷远点去心邻域内解析,则称点为f(z)的一个孤立奇点.,设点为f(z)的孤立奇点,利用变换 t=1/z,
3、 于是,在去心邻域:,四*、函数在无穷远点的性态,(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域N-,有扩充z平面上的原点的去心邻域;,(2)在对应点z与z上,函数,(3),或两个极限都不存在.,定义 若z=0为,的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点,则我们相应地称z=为 f(z)的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点.,设在去心邻域K-0:0|z|1/r内将,展成洛朗级数:,则有,其中,上式为f(z)在无穷远点去心邻域N-:0r|z|+内的洛朗展式.对应,在z=0,的主要部分.,为f(z)在z=,的主要部分.,我们称,定理 f(z)的孤立奇点z=为可去奇点的充要条件是 下列三条中的任何一条成
4、立:(1)f(z)在 的主要部分为零;(2)(3)f(z)在 的某去心邻域N-内有界.,定理 f(z)的孤立奇点z=为m级极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:,(1) f(z)在 z=的主要部分为,(2) f(z)在z=的某去心邻域N-内能表成,其中 在z=的邻域N内解析,且,(3) g(z)=1/f(z)以z=为m级零点(只要令g(z)=0).,定理 f(z)的孤立奇点为极点的充要条件是,定理 f(z)的孤立奇点为本性奇点的充要条件是下列任何一条成立: (1) f(z)在z=的主要部分有无穷多项正幂不等于零;,广义不存在(即当z趋向于时,f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).,(2),例1,例2 将多值函数,在无穷远点的某区新邻域内展成洛朗级数.,例3 求出函数,的全部奇点,并判断其类型.(含点),例4 问函数,在z1的去心邻域内能否展开为洛朗级数？,例5 设f(z)在0|z-a|R内解析, 且不恒为零; 又若f(z) 有一列异于a但却以a为聚点的零点. 试证a必为f(z)的 本性奇点.,43,本节要点,理解孤立奇点的分类（包括无穷远点） 会用充要条件或求极限的方法判断孤立奇点的具体类型.,44,第五章作业：P1831.（1） （2） （6） （7）8.（1） （2） （4） （7）9. （1）（2） 13. （1）（3） （5）,
