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1、1破解天体质量和密度的相关计算破解天体质量和密度的相关计算一、考点突破一、考点突破知识点知识点考纲要求考纲要求题型题型分值分值万有引力的 理论成就会利用万有引力定律求解天体的质量、密 度等参数选择题6 分一、计算天体的质量基本思路一、计算天体的质量基本思路 1.1. 地球质量的计算地球质量的计算 利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg2GMm R，则M2gR G，由于g、R已经测出，因此可计算出地球的质量。2.2. 太阳质量的计算太阳质量的计算 利用某一行星：由于行星绕太阳的运动，可看作匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G2M
2、m rm2r，而2 T，则可以通过测出行星绕太阳运转的周期和轨道半径，得到太阳质量M2324r GT。3.3. 其他行星质量的计算其他行星质量的计算 利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半径，同样可得出行 星的质量。 二、计算天体的质量的具体方法（以地球是中心天体，月球是环绕卫星为例）二、计算天体的质量的具体方法（以地球是中心天体，月球是环绕卫星为例） 如果不考虑地球自转的影响，地球上的物体所受重力等于地球对它的万有引力。由万有引力定律mg2GMm R得M2gR G，其中g为地球表面的重力加速度，R为地球半径，G为万有引力常量。从而得到地球质量M5.961024 kg。 通
3、过上面的过程，我们可以计算地球的质量，通过其他的方法，或者说已知另外的一 些条件能否测出地球质量。 （1）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即2MmGr月地m月r22 T，可求得地球质量M地2324r GT。（2）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运动的线速度v，由于地球对 月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得2MmGr月地m月2v r解得地球的质量为M地2rv G （3）若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀2速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得2MmGr月地m月v2 T2MmG
4、r月地m月2v r以上两式消去r，解得32v TMG地【规律总结】由以上论述可知，求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根据天体表面的重力加速度来求天体质量，即mg2RMmG，gG2M R，则M2gR G，题目中常见的如利用在天体表面的平抛或自由落体运动来计算 g 的值。另一种方法是根据天体的圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，列出 方程：G2Mm rm224 Trm2v rm2r来求得质量M2324r GT2v r G23r G用第二种方法只能求出圆心处天体质量（即中心天体） 。 三、天体密度的计算三、天体密度的计算 1.1. 利用天体表面的重力加速度，来求天体的自身密
5、度。利用天体表面的重力加速度，来求天体的自身密度。由mg2GMm R和M4 3R3，得3 4g GR 其中g为天体表面重力加速度，R为天体半径。 2.2. 利用天体的卫星来求天体的密度利用天体的卫星来求天体的密度 设卫星绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体半径为R，则可列出方程：G2Mm rm224 Tr，M4 3R3，得 34 3MR232344 3r GTR3233 r GT R当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度为：23 GT技巧点拨：技巧点拨：在已知重力加速度求天体质量或密度时，通常可以利用重力等于万有引力， 重力就是环绕天体运动的向心力以及圆周运
6、动的规律求解。 在行星表面的物体的重力等于行星对它的万有引力，在行星附近飞行的飞船，由万有 引力提供其做圆周运动的向心力。例题例题 1 1 一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员 在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示 数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为（ ）3A. 2mv GNB. 4mv GNC. 2Nv GmD. 4Nv Gm思路分析：思路分析：设卫星的质量为m，行星半径为R，由于是近行星表面做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，得G2 RMmmRv2由重力提供向心力，得mRv2mg由已知条件：m的重力为N得
7、 Nmg由得gmN，代入得：R2mv N代入得M4mv GN，故 B 项正确。答案：答案：B例题例题 2 2 一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引 力常量为G，则（ ）A. 恒星的质量为32v T GB. 行星的质量为2324r GTC. 行星运动的轨道半径为2vT D. 行星运动的加速度为2 v T思路分析：思路分析：由rTmrmv rGMm22224，得MGTv Grv 232 ，A 对；无法计算行星的质量，B 错；r22vTTvv，C 对；a2rvT2v，D 对。答案：答案：ACD例题例题 3 3 宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过
8、时间t小 球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大为原来的2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G，求该星球的质量M。 思路分析：思路分析：设抛出点的高度为h，第一次水平位移为x，则 x2h2L2同理，对于第二次平抛过程有（2x）2h2（3L）2由解得h3L。设该行星上重力加速度为g，由平抛运动规律得h21gt2由万有引力定律与牛顿第二定律，得G2RMmmg4由以上各式可解得M22332 GtLR答案：答案：22332 GtLR例题例题 4 4 宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t，
9、小球落回原处； 若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间 5t小球落回原处。 （取 地球表面重力加速度g10m/s2，空气阻力不计） （1）求该星球表面附近的重力加速度g； （2）已知该星球的半径与地球半径之比为R星:R地1:4，求该星球的质量与地球质 量之比M星：M地。思路分析：思路分析：（1）在地球表面tgv02在某星球表面 5t20 gv由联立可解得g51g5110m/s22m/s2；（2）设m为物体质量，则对星球表面的物体2 地地 RmGMmg对地球表面的物体2 地地 RmGMmg由联立可解得22241 51地地地地 RR gg MM1:80。答案：答案：（1）2m/
10、s2 （2）1:80【方法提炼方法提炼】 求中心天体质量的途径 依据万有引力等于向心力，可得以下四种求中心天体质量的途径（1）若已知卫星在某一高度的加速度g和环绕的半径r，可得M2gr G；（2）若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的线速度v和半径r，可得M2rv G；（3）若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r，可得M2324r GT；（4）若已知卫星运行的线速度v和周期T，可得M32v T G。天体近似可看作正球体，其体积可表示为34 3VR，故计算天体密度时，求出天体质量并且知道天体的半径，即可求得密度。【满分训练满分训练】有一宇宙飞船到了某行星上空（不考虑该行星自转运动）表面附近以v做匀 速圆周运动，测出该宇宙飞船运动的周期为T，已知引力常量为G，则可以计算出（ ） A. 该行星的半径 B. 该行星的平均密度 C. 该宇宙飞船的质量 5D. 该行星表面的重力加速度思路分析：思路分析：根据圆周运动的规律vT2R，可求得该行星的半径为R2vT，选项 A正确；根据GRTmRMm2224，可得M3 224RGT，可求出该行星的质量，但无法求出宇宙飞船的质量，又由23334GTRM可求得该行星的密度，选项 B 正确，选项 C 错误；该行星表面的重力加速度等于宇宙飞船的向心加速度，gvTv2，选项 D 正确。答案：答案：ABD
