《2018高中数学初高中衔接读本专题5.2三角形的重心垂心外心和内心高效演练学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018高中数学初高中衔接读本专题5.2三角形的重心垂心外心和内心高效演练学案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 2 2 讲讲 三角形的重心、垂心、外心和内心三角形的重心、垂心、外心和内心三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心） 、三条高线交点（垂心） 、三条边的垂直平分线交点
2、（外心）及三条内角平分线交点（内心）的问题，因而有必要进一步了解它们的性质。【知识梳理知识梳理】三角形三角形的四心的四心(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等(2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心(3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心(4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等【高效演练高效演练】1如图所示，在ABC中，点P是ABC的内心，则PBCPCAPAB 度2设M为ABC的重心，且3AM ，4BM ，5CM ，则ABC的面积为 2【解析】
3、由3AM ，4BM ，5CM ，有222AMBMCM，知两中线 AD ， BE 垂直于是3182ABCSAMBM【答案】183已知H、O分别为锐角ABC的垂心和外心，ODBC，垂足为 D ，则AH OD _【解析】可延长BO交ABC的外接圆于E，证明四边形AHCE为平行四边形即可【答案】214. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，在 OB 上任取一点 P，连结 AP，过 D 作 AP 垂线交 OA 于 Q 点求证：OPOQ【解析】 在APD 中，由 AOPD，DQAP 可知，点 Q 是APD 的垂心，连结 PQ，必有 PQADABAD，PQBA，OPOQ OBOA又O
4、AOB，OPOQ5. 如图 3，在ABC 中，ABAC，过 BC 的中点 D 作 DEAC 于点 E，G 是 DE 的中点，求证：AGBE36.求证：三角形的三条高交于一点.已知 ABCV中，,ADBCD BEACE于于，AD与BE交于H点.求证 CHAB.证明 以CH为直径作圆，,90 ,oADBC BEACHDCHEC = =QDE、在以CH为直径的圆上，FCBDEH = .同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得BEDBAD= .BCHBAD = ，又ABDV与CBFV有公共角B，90oCFBADB = =，即CHAB.7.（1）设 G 是ABC 的重心，证明：GBC，GAC，GAB 的面
5、积相等（2）利用（1）的结论，证明：三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的 2 倍4【分析】 （1）设三条中线为 AD，BE，CF，三中线交于 G 点，G 是重心，由同底等高得到 SGBC=2SGCD，SGAC=2SGCD，由此能证明GBC，GAC，GAB 的面积相等（2）设三条中线为 AD，BE，CF，三中线交于 G 点，G 是重心，由 SGBC=SGAC，SGBC=2SGCD，得到 SGAC=2SGCD，由此能证明三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的 2 倍（2）证明：设三条中线为 AD，BE，CF，三中线交于 G 点，G 是重心，GBC，GAC，GAB 的面积相
6、等，SGBC=SGAC，BD=CD，SGBC=2SGCD，SGAC=2SGCD，AGC 和DGC 在分别以 AG 和 DG 为底时，高都是点 C 到边 AD 的距离，AG=2GD，同理可证 CG=2GF，BG=2GE，三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的 2 倍【点评】本题考查三角形面积相等的证明，考查三角形重心定理的证明，解题时要注意三角形面积公式的合理运用58.已知三角形的三边 a，b，c，三角形的重心到外接圆的距离为 d，外接圆半径为 R，求证：a2+b2+c2+9d2=9R2【分析】以ABC 的外心为原点建立坐标系，可令 A、B、C 的坐标依次是：（Rcos，Rsin）
7、、（Rcos，Rsin） 、 （Rcos，Rsin） 令 AB 中点为 D、ABC 的重心为 G（m，n） ，求出 m，n，进而可证明 a2+b2+c2+9d2=9R2于是：a2=（RcosRcos）2+（RsinRsin）2=R2（22coscos2sinsin）b2=（RcosRcos）2+（RsinRsin）2=R2（22coscos2sinsin） ，c2=（RcosRcos）2+（RsinRsin）2=R2（22coscos2sinsin） 9d2=9（m0）2+（n0）2=9R（cos+cos+cos）02+R（sin+sin+sin）02=R2（cos+cos+cos）2+（si
8、n+sin+sin）2=R2（3+2coscos+2coscos+2coscos+2sinsin+2sinsin+2sinsin） a2+b2+c2+9d2=9R29.一条直线截三角形，把周长l与面积S分为对应的两部分：1l 与2l ，1S 与2S求证：直线过三角形内心的充要条件是1122lS lS6图 12-3ABCPQnIm【解析】证明： 必要性：如图 1，设 I 是ABC的内心，过 I 的直线交 AB 于P，交AC于Q记BCa，CAb， ABc，APm，AQn，内切圆半径为r ，则1()2ABCSabcrs，1()2APQAPIAQISSSmnr由111()2 1()2abcrSabcl Smnlmnr，有1122lS lS充分性：设直线PQ把ABC的周长l与面积S分为对应的两部分成等比1122lS lS，且与 AB 交于P，与AC交Q，与A 的平分线交于 I 记BCa，CAb，ABc，APm，AQn，I 到 AB ，AC的距离为r ， I 到BC的距离为d由1211()2 1()2abcrllabc lmnmnr得121111 222 11 22b rc ra dSS Sm rn r 注意到121211llSS lS，从而有adar，即dr，故 I 为ABC的内心，即直线PQ过内心
