《2018_2019高中数学第一章立体几何初步1.6.1垂直关系的判定学案北师大版必修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018_2019高中数学第一章立体几何初步1.6.1垂直关系的判定学案北师大版必修（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 6.16.1 垂直关系的判定垂直关系的判定 学习目标 1.掌握直线与平面垂直的判定定理(重点)；2.理解二面角的有关概念，会求简 单的二面角的大小(重、难点)；3.掌握两平面垂直的判定定理(重点). 知识点一 直线与平面垂直的判定定理 文字 语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 符号 语言 la，lb，a，b，abPl 图形 语言 【预习评价】 (1)线面垂直判定定理中，平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗？ 提示 用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交 直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共
2、点，则是无关紧要的. (2)在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在 移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？ 提示 不变，90. (3)下列说法中正确的个数是( ) 若直线l与平面内一条直线垂直，则l； 若直线l与平面内两条直线垂直，则l； 若直线l与平面内两条相交直线垂直，则l； 若直线l与平面内任意一条直线垂直，则l； 若直线l与平面内无数条直线垂直，则l. A.1 B.2 C.3 D.4 解析 对，由于缺少“相交”二字，不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可 能平行，可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的.正确的是
3、，故选 B. 答案 B 知识点二 二面角 概念一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半 2 平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.这条直线叫作 二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面. 图示 文字 以二面角的棱上任一点为端点，在两个平面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 图示 符号 OA，OB，l，Ol，OAl，OBlAOB是二面角的平面 角 范围 0180 平 面 角 规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这 个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫作直二面角 记法 棱为l、面分别为，
4、的二面角记为l.如图所示，也可在 ，内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角 PlQ. 【预习评价】 (1)二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？ 提示 无关.如图，OAl，OBl，OAl，OBl，根据等 角定理可知，AOBAOB，即二面角的平面角的大小与角的 顶点的位置无关，只与二面角的大小有关. (2)平时，我们常说“把门开大一点” ，在这里指的是哪个角大一点？ 提示 二面角的平面角. 知识点三 平面与平面垂直 3 1.定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面 与平面垂直，记作. 2.画法：两个互相垂直的平面通常把直
5、立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图所示. 3.平面与平面垂直的判定定理 文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 图形语言 符号语言l，l 【预习评价】 (1)建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤” ，用这种方法来检查墙与地面是否 垂直.当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？ 此时铅锤线与地面什么关系？ 提示 都是垂直. (2)两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？ 提示 不一定.平行，相交，垂直都有可能. (3)已知l，则过l与垂直的平面( ) A.有 1 个 B.有 2 个 C.有无数
6、个 D.不存在 解析 由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面，这样的平面有无数个. 答案 C 题型一 线面垂直的判定 【例 1】 如图所示，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径， C是O上任意一点，过点A作AEPC于点E.求证：AE平面PBC. 证明 PA平面ABC，BC平面ABC， PABC. 又AB是O的直径，BCAC. 而PAACA，BC平面PAC. 又AE平面PAC，BCAE. PCAE，且PCBCC， 4 AE平面PBC. 规律方法 证明线面垂直的方法： (1)由线线垂直证明线面垂直：定义法；判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相 交直线(有时作辅助线)；结合平面图
7、形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及 一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直. (2)平行转化法(利用推论)： ab，ab； ，aa. 【训练 1】 如图，在三棱锥SABC中，ABC90，D是AC的中点，且SASBSC. (1)求证：SD平面ABC； (2)若ABBC，求证：BD平面SAC. 证明 (1)因为SASC，D是AC的中点， 所以SDAC.在 RtABC中，ADBD， 由已知SASB，SDSD， 所以ADSBDS，所以ADSBDS， 所以SDBD.又ACBDD， 所以SD平面ABC. (2)因为ABBC，D为AC的中点， 所以BDAC.由(1)知
8、SDBD. 又因为SDACD，所以BD平面SAC. 题型二 面面垂直的判定 【例 2】 如图，已知AB是圆O的直径，C是圆周上不同于A、B的点，PA圆O所在的平 面，AFPC于F，求证：平面AEF平面PBC. 证明 因为AB为圆O的直径，所以BCAC. 因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC. 因为PAACA，所以BC平面PAC. 5 而AF平面PAC，所以BCAF. 又AFPC，BCPCC，所以AF平面PBC. 又因为AF平面AEF，所以平面AEF平面PBC. 规律方法 1.由面面垂直的判定定理知，要证两个平面互相垂直，关键是证明其中一个平 面经过另一个平面的垂线，本题中证明平面A
9、EF经过平面PBC的垂线AF较容易些. 2.证明面面垂直的常用方法：(1)面面垂直的判定定理；(2)所成二面角是直二面角. 【训练 2】 已知三棱锥ABCD中，BCD90，BCCD1，AB平 面BCD，ADB60，E，F分别是AC，AD上的动点，且 (01). AE AC AF AD (1)求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC； (2)当为何值时，平面BEF平面ACD? (1)证明 BCD90，BCCD. AB平面BCD，ABCD. 又ABBCB，CD平面ABC. (01)， AE AC AF AD EFCD，EF平面ABC. 又EF平面BEF， 平面BEF平面ABC. 故不论为何值，总
10、有平面BEF平面ABC. (2)解 由(1)，得EF平面ABC，BE平面ABC， EFBE. 要使平面BEF平面ACD，只需BEAC. BCD90，BCCD1，BD. 2 又AB平面BCD，ADB60， AB，AC， 67 BE，AE， ABBC AC 42 7 6 7 7 . AE AC 6 7 故当 时，平面BEF平面ACD. 6 7 6 【探究 1】 如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 1 的菱形，BCD60，E 是CD的中点，PA底面ABCD，PA. 3 (1)证明：平面PBE平面PAB； (2)求二面角ABEP的大小. (1)证明 连接BD，由ABCD是菱形且BCD60
11、知，BCD是等边三角形. 因为E是CD的中点，所以BECD. 又ABCD，所以BEAB. 因为PA平面ABCD，BE平面ABCD， 所以PABE.又PAABA， 因此BE平面PAB. 又BE平面PBE， 所以平面PBE平面PAB. (2)解 由(1)知，BE平面PAB，PB平面PAB，所以PBBE. 又ABBE，所以PBA是二面角ABEP的平面角. 在 RtPAB中，tanPBA，所以PBA60. PA AB3 故二面角ABEP的大小是 60. 【探究 2】 如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在平面，C是 圆周上不同于A、B的一点，且AB2，PABC1. (1)求证：平面PAC平面PBC；
12、(2)求二面角PBCA的大小. (1)证明 A，B，C在O上， O所在平面可记为平面ABC， PA平面ABC，BC平面ABC， PABC. C在圆周上，且异于A、B，AB是O的直径， BCAC. 又ACPAA，BC平面PAC. 又BC平面PBC，平面PAC平面PBC. (2)解 由(1)知，BC平面PAC，PC平面PAC， 7 PCBC，又ACBC， PCA为二面角PBCA的平面角. 在 RtPAC中，PA1，AC，PAC90， 3 tanPCA，PCA30， 3 3 所以二面角PBCA的大小是 30. 【探究 3】 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，P是AD的中点.求二面角ABD1
13、P的大 小. 解 过点P作BD1、AD1的垂线，垂足分别是E、F，连接EF.AB平面AA1D1D，PF平面 AA1D1D， ABPF. PFAD1，且ABAD1A， PF平面ABD1，BD1平面ABD1，PFBD1， 又PEBD1，且PEPFP， BD1平面PEF，EF平面PEF. EFBD1，PEF为所求二面角的平面角. RtADD1RtAFP， . PF DD1 AP AD1 而AP ，DD11，AD1，PF. 1 22 2 4 连接PB.在PBD1中，PD1PB. 5 2 PEBD1，BEBD1. 1 2 3 2 在 RtPEB中，PE. PB2BE2 2 2 在 RtPEF中，sinP
14、EF ， PF PE 1 2 PEF30. 二面角ABD1P为 30. 【探究 4】 在直角梯形ABCD中，DBAD90， ADDCABa(如图所示)，将ADC沿AC折起，将D翻到D，记 1 2 平面ACD为，平面ABC为，平面BCD为.若二面角AC为直二面角，求 二面角BC的大小. 8 解 在直角梯形ABCD中，由已知，DAC为等腰直角三角形，ACa，CAB45. 2 如图所示，过C作CHAB，垂足为H，则AHCHa. 由AB2a，可得BCa， 2 ACBC. 取AC的中点E，连接DE，则DEAC. 二面角AC为直二面角，DE. 又BC平面，BCDE. ACDEE，BC. 而DC，BCDC， DCA为二面角BC的平面角. 由于DCA45， 二面角BC为 45. 规律方法 (1)求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.再把平面角放在三角形中，利 用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角证明计算. (2)为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角 形等. 课堂达标 1.对于直线m，n和平面，能得出的一个条件是( ) A.mn，m，n B.mn，m，n C.mn，n，m D.mn，m，n 解析 n，mn，m，又m，由面面垂
