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1、1 6.26.2 垂直关系的性质垂直关系的性质 学习目标 1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理(重点)；2.能运用性质定 理解决一些简单问题(重点)；3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理 间的相互联系(重、难点). 知识点一 直线与平面垂直的性质定理 文字语言如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 符号语言 Error!ab 图形语言 作用 线面垂直线线平行 作平行线 【预习评价】 (1)垂直于同一平面的两条直线一定共面吗？ 提示 共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面. (2)过一点有几条直线与已知平面垂直？ 提示 有且仅有
2、一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定 理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线. 知识点二 平面与平面垂直的性质定理 文字语言 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于 另一个平面 符号语言 Error!a 图形语言 作用 面面垂直线面垂直 作面的垂线 【预习评价】 (1)如果，则内的直线必垂直于内的无数条直线，对吗？ 提示 正确.若设l，a，b，bl，则ab，故内与b平行的无数条 直线均垂直于内的任意直线. (2)如果，过外的任意一点作与交线的垂线，则这条直线必垂直于，对 2 吗？ 提示 错误.垂直于交线的直线
3、必须在平面内才与平面垂直，否则不垂直. 题型一 直线与平面垂直的性质及应用 【例 1】 如图，正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC、A1D 都垂直相交. 求证：EFBD1. 证明 如图所示， 连接AB1、B1D1、B1C、BD， DD1平面ABCD， AC平面ABCD， DD1AC. 又ACBD，DD1BDD， AC平面BDD1B1， 又BD1平面BDD1B1， ACBD1. 同理可证BD1B1C， 又ACB1CC， BD1平面AB1C. EFA1D，A1DB1C，EFB1C. 又EFAC，ACB1CC， EF平面AB1C，EFBD1. 规律方法 证明线线平行常有如下方法： (
4、1)利用线线平行定义：证共面且无公共点； (2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线； (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行； (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直； (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 【训练 1】 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AB平 面PAD，ADAP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且 MNAB，MNPC.证明：AEMN. 证明 因为AB平面PAD，AE平面PAD， 所以AEAB，又ABCD，所以AECD. 因为ADAP，E是PD的中点，所以AEPD. 3 又CDP
5、DD，所以AE平面PCD. 因为MNAB，ABCD，所以MNCD. 又因为MNPC，PCCDC， 所以MN平面PCD，所以AEMN. 题型二 平面与平面垂直的性质及应用 【例 2】 如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为 等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点. 2 (1)求证：VB平面MOC； (2)求证：平面MOC平面VAB. 证明 (1)O，M分别为AB，VA的中点， OMVB. VB平面MOC，OM平面MOC， VB平面MOC. (2)ACBC，O为AB的中点，OCAB. 又平面VAB平面ABC， 且平面VAB平面ABCAB，OC平面ABC， O
6、C平面VAB. OC平面MOC，平面MOC平面VAB. 规律方法 (1)证明或判定线面垂直的常用方法： 线面垂直的判定定理； 面面垂直的性质定理； 若ab，a，则b(a，b为直线，为平面)； 若a，则a(a为直线，为平面)； (2)两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内 作(找)与交线垂直的直线. 【训练 2】 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是 DAB60且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直 于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD； (2)求证：ADPB. 证明 (1)连接BD， 四边形A
7、BCD是菱形且DAB60， ABD是正三角形，又G是AD的中点，BGAD，又平面PAD平 面ABCD且两平面交于AD， 4 BG平面PAD. (2)连接PG，由(1)可知BGAD，PAD是正三角形，G是AD中点，所以 PGAD，BGPGG， 所以AD平面PBG，所以ADPB. 方向 1 证明直线和直线平行 【例 31】 如图，l，PA，PB，垂足分别为 A、B，a，aAB.求证：al. 证明 PA，l，PAl. 同理PBl.PAPBP，l平面PAB. 又PA，a，PAa. aAB，PAABA，a平面PAB. al. 方向 2 证明直线和直线垂直 【例 32】 如图，在三棱锥PABC中，PA平面
8、ABC，平面PAB平面 PBC.求证：BCAB. 证明 如图，在平面PAB内，作ADPB于点D. 平面PAB平面PBC， 且平面PAB平面PBCPB. AD平面PBC. 又BC平面PBC，ADBC. 又PA平面ABC，BC平面ABC， PABC， 又PAADA， BC平面PAB. 又AB平面PAB， BCAB. 方向 3 证明直线和平面垂直 【例 33】 如图所示，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互 相垂直，AFBE，AFEF，AFEFBE.求证：EA平面ABCD. 1 2 5 证明 设AFEFa，则BE2a. 过A作AMBE于M， AFBE，AMAF. 又AFEF，AMEF.
9、四边形AMEF是正方形. AMa，EMMBa. AEABa. 2 AE2AB2EB2，AEAB. 又平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，AE平面ABEF， EA平面ABCD. 方向 4 证明平面和平面垂直 【例 34】 如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面BCD，ABAC，DCBC.求证：平 面ABD平面ACD. 证明 平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，在平面ABC内，作AEBC于点 E， 如图，则AE平面BCD. 又CD平面BCD，AECD. 又BCCD，AEBCE， AE，BC平面ABC， CD平面ABC， 又AB平面ABC，ABCD. 又ABAC，A
10、CCDC， AC、CD平面ACD. AB平面ACD.又AB平面ABD， 平面ABD平面ACD. 6 规律方法 (1)无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为“低维” 垂直的思想方法在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设入手，分析 已有的垂直关系，再从结论入手，分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的 “桥梁”. (2)在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线” “一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制 约性，所以使用这些定理时，一定要注意体现逻辑推理的规范性. 课堂达标 1.已
11、知平面平面l，平面，则( ) A.l B.l C.l与斜交 D.l 解析 如图，在内取一点O， 作OEm，OFn， 由于，m， 所以OE，因为l， 所以OEl， 同理OFl，OEOFO， 所以l. 答案 D 2.设平面与平面垂直，交线为l，直线a，直线b，a，b与l都不垂直，那 么( ) A.a与b可能垂直，但不可能平行 B.a与b可能垂直，也可能平行 C.a与b不可能垂直，但可能平行 D.a与b不可能垂直，也不可能平行 解析 由题意，当al，lb时，ab，故 A，D 错； 若ab，b与l不垂直，在b上取点A，过A作ABl，由面面垂直的性质定理得 AB， a，ABa，又ab，ABbA， aal
12、.这和a与l不垂直相矛盾. 不可能ab.故 B 错，故选 C. 答案 C 3.已知，是三个不同的平面，命题“，且”是真命题， 7 如果把，中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真 命题有_个. 解析 若，换为直线a，b，则命题化为“ab，且ab” ，此命题为真命题； 若，换为直线a，b，则命题化为“a，且abb” ，此命题为假命题；若 ，换为直线a，b，则命题化为“a，且bab” ，此命题为真命题. 答案 2 4.已知a、b为直线，、为平面.在下列四个命题中，正确的命题是_. 若a，b，则ab；若a，b，则ab；若a，a，则 ；若b，b，则. 解析 由“垂直于同一平面的两
13、直线平行”知真；由“平行于同一平面的两直线平行或 异面或相交”知假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知真；易知假. 答案 5.如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，过点A 作AFSB，垂足为F.求证：BCSA. 证明 因为平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB， AF平面SAB，AFSB， 所以AF平面SBC. 又因为BC平面SBC，所以AFBC. 因为ABBC，AFABA， 所以BC平面SAB. 又因为SA平面SAB，所以BCSA. 课堂小结 1.垂直关系之间的相互转化 2.平行关系与垂直关系之间的相互转化 8 基础过关 1.平面平面，直线a，直线b，那么直线a与
14、直线b的位置关系一定是( ) A.平行 B.异面 C.垂直 D.不相交 解析 因为平面平面，直线a，所以a或a.若a，则ab，若 a，设过a的平面与平面的交线为c，则ac，由bc知ab.综上知ab. 答案 C 2.关于直线m，n与平面，有下列四个命题： 若m，n，且，则mn； 若m，n，且，则mn； 若m，n，且，则mn； 若m，n，且，则mn. 其中真命题的序号是( ) A. B. C. D. 解析 m，n可能异面、相交或平行，m，n可能平行、异面或相交，所以错误. 答案 D 3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( ) A.A1EDC1 B.A1EBD C.A1EBC1 D.A1EAC 解析 如图，由题设知，A1B1平面BCC1B1，从而A1B1BC1，又 B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面 A1B1CD，所以A1EBC1. 答案 C 4.如图，在三棱锥PABC内，侧面PAC底面ABC，且PAC90， PA1，AB2，则PB_. 9 解析 侧面PAC底面ABC，交线为AC，PAC90(即PAAC)， PA平面ABC，
