《毕业论文各类积分之间的关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《毕业论文各类积分之间的关系（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、I 目录1.引言2 2.积分的概念2 2.1 定积分的概念2 2.2 曲线积分的概念3 2.3 二重积分的概念4 2.4 曲面积分的概念4 2.5 三重积分的概念6 3.各类积分的关系6 3.1 各类积分的共同属性7 3.2 各类积分计算的一致性7 3.3 几个积分公式9 4.几个积分公式之间的联系9 4.1 积分公式的介绍9 4.2 牛顿莱布尼兹公式与格林公式的关系10 4.3 格林公式与高斯公式的关系10 4.4 格林公式与斯托克斯公式的关系10 4.5 小结11 4.6 积分公式在积分计算中的应用11 结II 论13 参考文献 14 致谢15 1 各类积分之间关系的研究某某, 某某学院摘
2、 要:本文从积分的本质属性和积分计算的一致性两个方面探讨了重积分、曲 线积分、曲面积分与定积分之间的关系, 进而讨论了几个重要的积分公式, 即牛顿 - 莱布尼茨公式、格林公式、 高斯公式、 斯托克斯公式以及它们之间的联系, 最后 通过举例说明了这几个积分公式在积分计算中的重要作用.关键词 :定积分 ; 重积分; 曲线积分 ; 曲面积分 ; 牛顿-莱布尼茨公式 ; 格林公式 ; 高斯公式 ; 斯托克斯公式On the relationship between various types of integral Siting Liang, School of mathematics and com
3、puter science Abstract:This paper discusses the relationship between the triple integral, curve integral, surface integral and definite integral from the perspective of the essence of integral and the consistency of the integral calculation. Then we discuss several important integral formulas, namel
4、y the Newton Leibniz formula, Green formula, Gauss formula, Stokes formula and the relationship between them. Finally, we explain the important roles of these integral formulas in integral calculation through some examples. Key words: Definite integral; Triple integral; Curve integral; Surface integ
5、ral; Newton-Leibniz formula; Green formula; Gauss formula; Stokes formula. 2 1.引言微积分是数学研究中的重点课题,不定积分和定积分是两大基本问题.其中,定积分、重积分、曲线积分和曲面积分等概念都是通过实际的问题引入,最终又用于解决实际问题 .各积分在计算上也存在着一致性,所有多元函数积分的计算最终都转化为计算定积分1,所以研究各类积分之间的关系在数学研究中显得尤为重要. 2.积分的概念2.1 定积分的概念定义 12 设闭区间上ba,上有1n个点,依此为bxxxxxann1210, 它们把ba,分成 n 个小区间nix
6、xiii, 2, 1,1.这些分点或这些闭子区间构成对ba,的一个 分割 ,记为nxxxT,10或.,21n小区间i的长度为1iiixxx,并记inixT 1max,称为分割T的模. 定义 22设f是定义在ba,上的一个函数 .对于ba,的一个分割nT,21,任取点niii,2 , 1,并作和式niiixf1. 称此和式为函数f在ba,上的一个 积分和 ,也称黎曼和 . 定义 32设f是定义在ba,上的一个函数 ,J是一个确定的实数 .若对任给的正数,总存在某一正数,使得对ba,的任何分割T,以及在其上任意选取的点集i,只要 T,就有niiiJxf1, 则称函数f在区间ba,上可积或黎曼可积
7、；数J称为f在ba,上的定积分 或黎曼积分 ,记作3 badxxfJ. 其中 ,f称为被积函数 , x称为 积分变量 , ba,称为积分区间 ,a、b分别称为这个定积分的 下限 和上限 . 2.2 曲线积分的概念2.2.1 第一型曲线积分定义 43设L为平面上可求长度的曲线段,yxf,为定义在L上的函数 .对曲线L作分割T,它把L分成 n个可求长度的小曲线段niLi, 2 , 1,iL 的弧长记为is ,分割T的细度为 niisT 1max,在iL 上任取一点niii,2, 1,.若有极限JsfniiiiT10,lim且J的值与分割T与点ii,的取法无关 ,则称此极限为yxf,在L上的 第一型
8、曲线积分 ,记作Ldsyxf,. 若L为空间可求长曲线段 , zyxf,为定义在L上的函数 ,则可类似地定义zyxf,在空间曲线L上的第一型曲线积分 ,并且记作Ldszyxf,. 2.2.2 第二型曲线积分定义 53设函数yxP,与yxQ,定义在平面有向可求长度曲线L: AB 上.对L的任一分割T,它把L分成 n个小曲线段niMMii, 2, 11, 其中BMAMn,0.记各小曲线段iiMM1的弧长为is ,分割T的细度niisT 1max. 又设T的分点iM 的坐标为iiyx ,并记1iiixxx,niyyyiii, 2, 11,在每个小曲线段iiMM1上任取一点ii,若极限4 niiiiT
9、niiiiTxQxP1010,lim,lim存在,且与分割T与点ii,的取法无关 ,则称此极限为函数yxP,yxQ,沿有向曲线L上的第二型曲线积 分,记为LdyyxQdxyxP,或ABdyyxQdxyxP,. 2.3 二重积分的概念设D为xy平面上可求面积的有界闭区域,yxf,为定义在D上的函数 .用任意的曲线把D分成 n 个可求面积的小区域n,21.以i表示小区域i的面积 ,这些小区域构成D的一个分割T,以id 表示小区域i的直径 ,称 niidT 1max为分割T的细度.在每个i上任取一点ii,作和式niiiif1,. 称它为函数yxf,在D上属于分割T的一个积分和 . 定义 63设yxf
10、,是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数 . J是一个确定的数 ,若对任给的正数,总存在某个正数,使对于D的任何分割T,当它的细度T时,属于T的所有积分和都有Jfiniii 1, 则称yxf,在D上可积,数J称为函数yxf,在D上的二重积分 ,记作DdyxfJ, 其中yxf,称为二重积分的被积函数 , x,y称为积分变量 , D称为积分区域 . 2.4 曲面积分的概念2.4.1 第一型曲面积分类似于第一型曲线积分,当质量分布在某一曲面块S(设密度函数),(zyx在S上连续 )时,曲面块S的质量为5 iniiiiTS10),(lim, 其中nSSST,21为曲面块的分割 ,iS 表示小曲面块iS
11、 的面积 , ),(iii为iS 中任意一点 , T 为分割T的细度,即为诸iS 中的最大直径 . 定义 73设S是空间中可求面积的曲面, ),(zyxf为定义在S上的函数 .对曲面S做分割T,它把S分成 n个小曲面块),2, 1(niSi,以iS 记小曲面块iS 的面积 ,分割T的细度的直径iniST 1max,在iS 上任取一点), 2, 1)(,(niiii,若极限iniiiiTSf 10),(lim存在 ,且与分割T与), 2, 1)(,(niiii的取法无关 ,则称此极限为),(zyxf在S上的第一型曲面积分 ,记作dSzyxfS),(. 2.4.2 第二型曲面积分定义 83设P,Q
12、,R为定义在双侧曲面S上的函数 ,在S所指定的一侧作分割T,它 把S分 成 n 个 小 曲 面nSSS,21,分 割T的 细 度的直径iniST 1max,以xyzxyziiiSSS,分别表示iS 在三个坐标面上的投影区域的面积,它们的符号由iS的方向来确定 .若iS 的法线正向与 z轴正向成锐角时 , iS 在xy平面的投影区域的面积xyiS为正.反之,若iS 法线正向与 z轴正向成钝角时 ,它在xy平面的投影区域的面积xyiS为负.在各个小曲面iS 上任取一点),(iii.若xyzzxyziniiiiTiniiiiTiniiiiTSRSQSP 101010),(lim),(lim),(li
13、m存在 ,且与曲面 S 的分割T和),(iii在iS 上的取法无关 ,则称此极限为函数P,Q,R在曲面S所指定的一侧上的 第二型曲面积分 ,记作6 SdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP,或SSSdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP,2.5 三重积分的概念类似于第一型曲线积分,求一个空间立体V的质量M就可导出三重积分 .设密度函数为zyxf,为了求V的质量 ,我们把V分割成 n个小区域nVVV,21,在每个小块iV 上任取一点iii,则niiiiiTVfM 10,l i m, 其中iV 为小块iV 的体积 , 的直径iniVT 1max. 设zyxf,是定义在三维空间
14、可求体积 的有界区域V上的有界函数 .现用若干光滑曲面所组成的曲面网T来分割V,它把V分成 n个小区域nVVV,21.记iV的体积niVi,2, 1,的直径iniVT 1max,在每个iV 中任取一点iii,作积分和niiiiiVf1,. 定义 93设zyxf,为定义在三维空间可求体积的有界区域V上的函数 , J是一个确定的数 ,若对任给的正数,总存在某一正数,使对于V的任何分割T,只要 T时,属于分割T的所有积分和都有JVfiniiii 1, 则称zyxf,在V上可积 ,数J称为函数zyxf,在V上的三重积分 ,记作VdVzyxfJ,或VdxdydzzyxfJ, 其中zyxf,称为被积函数 , x,y, z称为积分变量 , V称为积分区域 . 3.各类积分的关系3.1 各类积分的共同属性7 yxy2Dx1 0 设在某一区域D定义了点函数Pf,我们
