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1、第三章 单自由度系统的强迫振动,振动理论与测试技术 88学时 讲课教师 殷祥超,中国矿业大学 力学与建筑工程学院 力学与工程科学系 二一年八月,第三章 单自由度系统的强迫振动,持续激励：,持续激振力；,位移激励；,速度激励；,加速度激励；,简谐激励，非简谐的周期激励，任意激励。,强迫振动响应：由初始条件引起的自由振动、伴随振动以及等幅的强迫振动三部分组成。,自由振动、伴随振动称为瞬态振动，也称为系统的瞬态响应；,第三部分是与简谐激励频率相同、与激励同时存在的简谐振动，称为稳态振动，也称为系统的稳态响应。,瞬态响应很快衰减为零，只在振动的开始阶段出现，该阶段称为过渡阶段。,实际系统存在阻尼，自由
2、振动将很快衰减。,本章主要讨论： 系统对简谐激励所引起的系统响应以及周期激励和任意激励的响应；,介绍强迫振动理论在工程实际问题中的一些应用。,3.1 简谐激励引起的强迫振动,简谐激振力,激振力幅值,激振频率,令：,简谐激振力作用下振动方程的标准形式,通解,特解,通解：,令特解为：,B为强迫振动振幅，,为相位差,通解：,瞬态振动,稳态振动,令：,静位移,解出：,令：,频率比,简谐激励下的强迫振动稳态响应解为：,简谐激励下的强迫振动稳态响应解为：,强迫振动稳态响应的基本特点：,1、系统在简谐激励的作用下，其强迫振动稳态响应是简谐振动，振动的频率与激励频率相同。,2、强迫振动稳态响应的相位比激励的相
3、位滞后 。,无阻尼系统：,3、强迫振动稳态响应振幅 B与相位差 只取决于系统本身的特性,（质量m、刚度k、阻尼c）,初始条件只能影响系统的瞬态振动解。,和激振力的频率 、力幅 ，,与振动的初始条件无关。,影响稳态响应幅值B的因素：,静位移,频率比,阻尼比,强迫振动稳态响应的幅值 B 与激振力幅值 P0 成正比。,无量纲形式,振幅放大因子,动力放大系数,放大因子：,1、频率比,稳态响应的振幅B近似等于激振力幅P0作用下的静位移B0 。,系统的振幅主要由弹簧控制；,称为弹性控制区。,放大因子：,2、频率比,系统的振幅B主要取决于系统的惯性 。,称为惯性控制区。,和,时，,阻尼对稳态响应幅值的影响很
4、小,放大因子：,3、频率比,无阻尼时，振幅B趋于无穷大。,系统共振：激振力频率与系统的固有频率相等。,在 时：,系统阻尼 c 的大小对稳态响应的幅值 B 有着极为重要的影响。,3、频率比,系统阻尼 c 的大小对稳态响应的幅值 B 有着极为重要的影响。,当,附近的区域，被称为阻尼控制区。,振动过程中的动态平衡关系,1、,弹性控制区,2、,惯性控制区,3、,阻尼控制区,放大因子：,4、最大值,如果：,振幅放大因子没有峰值。,位移与激振力在相位上接近同相；,相频特性曲线,1、小阻尼,位移与激振力在相位上接近反相；,2、,在 前后相位差发生突变现象。,3、相位差随着频率比的增大而逐渐增大。,4、阻尼对
5、相位差的影响：,4、阻尼对相位差的影响：,随着 的增大而增大；,随着 的增大而减小；,即共振时位移与激振力在相位滞后90 。,在振动测试中，常常利用相位差的变化来确定共振点。,振动响应的幅值急剧增大的现象称为共振。,在小阻尼情况下，,定义共振频率为：,激振力的频率等于系统的固有频率。,共振区：,共振时：,有：,定义品质因子：,q1、q2 称为半功率点。,系统的带宽,系统的带宽为：,当,求出：,实验测试系统的相对阻尼比：,作出幅频特性曲线图，找出半功率点；,计算出相对阻尼比。,由实验测出系统的固有频率 ，,半功率点q1、q2的相位角：,品质因子：,共振区内的幅频特性曲线称为共振峰。,阻尼增大，带
6、宽就增宽，共振峰则较为平坦；阻尼减小时，带宽就变窄，共振峰则较为陡峭；品质因子反映了系统阻尼的大小和共振峰的陡峭程度。,在实际的振动分析中，常常利用速度和加速度来研究共振现象。,速度响应的幅值：,速度响应的相位差：,速度放大因子：,加速度响应幅值：,加速度响应的相位差：,加速度放大因子：,速度放大因子：,加速度放大因子：,可以作出速度响应的幅频特性曲线和加速度幅频特性曲线。,速度放大因子 加速度放大因子,位移放大因子,即：,速度放大因子：,位移共振,速度共振,加速度共振,速度共振时激振力的频率总是等于系统的固有频率；,只要能准确找到速度共振点，则此时的激励频率即为系统的固有频率。,速度共振时激
7、振力的频率总是等于系统的固有频率；,所以阻尼系数为：,只要测出激励力力幅 P0 和最大速度值(Bv)max ，即可确定系统的阻尼系数，这是工程上常用的测定阻尼的方法之一。,统一定义共振点为：,共振区的定义方法：,1、,2、,带宽,简谐激励下的强迫振动微分方程复数求解方法：,特解：,复振幅：,特解带入方程得到：,令：,将激振力改写为：,强迫振动的稳态响应为：,即：,复频响应函数，,也称为频率响应函数；,它是系统的响应和激励之比，即系统的输出和系统的输入之比。,频率响应函数,是一个复数。,的模：,的幅角：,频率响应函数既反映了系统响应的幅频特性，又反映了系统响应的相频特性。,例3-1,质量为1.9
8、5kg的物体，在粘性阻尼介质中振动，已知激振力,牛顿，,（1）.如果测出系统共振时的振幅为,1.27cm ，周期为0.20s ，试求出系统的相对阻尼比和阻尼系数c。,(2).当 f =4Hz时,求除去阻尼后的振幅是有阻尼时的振幅的几倍?,解：,(1). 振动周期为T=0.2s ,系统的固有频率为,共振时：,因为：,相对阻尼系数：,例3-1,质量为1.95kg的物体，在粘性阻尼介质中振动，已知激振力,牛顿，,（1）.如果测出系统共振时的振幅为,1.27cm ，周期为0.20s ，试求出系统的相对阻尼比和阻尼系数c。,(2).当 f =4Hz时,求除去阻尼后的振幅是有阻尼时的振幅的几倍?,解：,(
9、2). 振动频率为 f =4Hz,频率比：,无阻尼时系统振幅为：,有阻尼时系统振幅为：,无阻尼与有阻尼时振幅之比为：,3.2简谐激励引起的强迫振动瞬态响应过程,方程的解：,先考虑无阻尼系统：,无阻尼系统的特解为：,由,得到：,由,得到：,自由振动,自由伴随振动,稳态响应,伴随振动的特点：,1、振动频率为系统的固有频率； 2、振幅与初始条件无关，而与系统本身的特性和激励有关。,外界的激振力不但激起强迫振动，同时还要引起自由振动。,时：,考虑无阻尼系统出现共振时的情况：,共振时,不定型,采用罗必塔法则求出共振时的响应：,短暂时间后,自由振动和自由伴随振动都将随时间逐渐衰减而趋于零，所以它们都是瞬态
10、响应，而系统将在外界激励的作用下保持稳定的等幅振动。,工程中的实际系统都存在着一定的阻尼,对有阻尼系统：,得到：,解出：,因为：,方程的解：,有阻尼自由振动解,自由伴随振动,稳态响应,有阻尼自由振动和自由伴随振动都是瞬态响应，它们将随时间逐渐衰减直到消失，系统将保持稳态的强迫振动。,偏心质量：m,偏心矩：e,法向惯性力：,me 称为不平衡量,令：,3.3 偏心质量引起的强迫振动,系统的稳态响应：,稳态响应的幅值：,改写为无量纲形式：,动平衡试验机,例3-2,惯性激振器安装在机器或结构上,共振时Bmax=2.5cm，,稳定状态时B=0.4cm,（2）若已知激振器偏心质量m=15kg ,（1）试求
11、系统的阻尼比 。,偏心矩e=10cm , k=950N/cm , n=450 r/min,试求出机器的振动幅值。,解：（1）,共振时的振幅：,时,解出阻尼比：,（2）当偏心质量m=15kg ,偏心矩e=10cm , k=950N/cm ,求出：,系统的固有频率：,由转速n=450 r/min，求出激振力的频率：,频率比：,求得振幅：,3.4 支承运动引起的强迫振动,支承的运动规律：,整理：,弹簧传递过来的激振力,阻尼器传递过来的激振力,采用复数解法：,支承运动,系统的稳态响应解,稳态响应的幅值：,求,相位差：,改写为无量纲量：,振幅放大因子,支承速度：,支承加速度：,例3-3,汽车的拖车,已知
12、：满载时m1=1000kg，,空载时m2=250kg，,k=350kN/m，,车速v=100km/h，l =5m,求：汽车的拖车在满载和空载时的振幅之比。,解：,拖车匀速行驶,路面的激振频率为：,空载时拖车的相对阻尼比：,满载时的频率比：,空载时的频率比：,满载时,空载时,汽车的拖车在满载和空载时的振幅比：,3.5 振动的隔离,振动的隔离分为两种：,主动隔振和被动隔振。,1、主动隔振 （振源是机器）,（根据振源情况）,将振动的机器与地基隔离开，以减少振源对周围的影响。,主动隔振的目的是减小由于振动传递到地基上的力。,隔振效果：,力传递率TF,主动隔振系数,P0：隔振前传到地基上的力的幅值。,P
13、T：隔振后传到地基上的力的幅值。,力传递率TF,P0：隔振前传到地基上的力的幅值。,PT：隔振后传到地基上的力的幅值。,通过弹簧传到地基上的力的幅值为,通过阻尼器传到地基上的力的幅值为,稳态响应幅值：,得到力传递率：,2、被动隔振,（振源来自地基的运动）,隔振效果采用位移传递率 TD表示。,定义为隔振后机器设备的振动幅值与地基运动的幅值之比。,地基的运动：,位移传递率：,被动隔振系数,1、主动隔振 （振源是机器）,力传递率,力传递率TF,位移传递率TD,统称为传递率:,隔振演示,传递率：,传递率的特性：,1、只有当频率比 时才有隔振效果。,2、当 以后,传递率下降很慢。,工程中常取：,3、当
14、后，,即增加阻尼反而降低了隔振的效果。,在设计隔振系统时，一般先按设计要求取定传递率TF或TD，,最后计算出隔振弹簧的刚度k。,再确定频率比 和相对阻尼比 ，,例3-4,机器重1000kg，安装在四个支承弹簧上，弹簧的总刚度为k=65000N/cm，其相对阻尼比,当机器的转速为2400r/min，不平衡力的幅值为P0=2000N，求此时机器振动的幅值B、力传递率TF以及传到地基上的力PT。,解：,系统的固有频率：,系统的频率比：,机器振动的幅值：,力传递率：,实际传递到地基上的力为：,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔
15、振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,工程中的隔振的实例,3.6 惯性测振仪的基本原理,设：振动物体的运动,惯性质量 m 的运动方程为：,令：,稳态振动的解：,稳态振动的幅值：,1-测振仪 2-振动物体,1、位移计,测振仪的指针所指的位移振幅Y作为输出，则输出Y与被测物体的振幅a 成正比。,当,即,有：,1-测振仪 2-振动物体,位移计,要求固有频率比较低。,位移计是一种低固有频率的仪器。,取,当,位移计的缺点：本身体积大而笨重，对质量不大的振动物体的测量结果影响较大，因而测量范围小。,2、加速度计,改写为：,被测振动物体的加速度,
