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1、动量定理和动量矩定理完整描述外力系对质点系效应.但不反映内力效应。,第六章 质点系动能定理,动能定理揭示了质点系动能的改变量与作用力(内、外力)的功之间的关系 。,6-1-1 力的功,6-1 功与动能,6-1 功与动能,6-1-2 质点系的动能,时,功为零。,功是标量,有正负。,力的作用点不变时,1) 元功,则有,2) 功,物理中力对质点元功,1.功的一般概念,6-1-1 力的功,6-1 功与动能,图示绕线轮沿斜面下滑S距离,计算所受外力的功。,6-1-1 力的功,6-1 功与动能,一对内力,两点距离变化时,内力功不为零,且引力变化时,距离减小。内力功为正,反之为负。,变形体中内力功不为零,刚
2、体中内力功为零。,可见:,2.内力的功,6-1-1 力的功,6-1 功与动能,1)弹力的功,初、末状态两质点之距离,2)万有引力的功,可见 时, ,内力作正功,释放能量。 反之,功为负。,初、末绝对伸长量,6-1-1 力的功,6-1 功与动能,发动机内力作正功,汽车加速行驶;机器中内摩擦作负功;人骑自行车,内力作功;弹性体中,外力使弹性体变形,内力作负功。,内力功实例:,6-1-1 力的功,6-1 功与动能,3.力对刚体的功,可得:,合力FR 在刚体平移中做功, 合力偶在刚体绕C转动中做功。,力向质心简化:,6-1-1 力的功,6-1 功与动能,2.重物由平衡位置下移 ,求弹簧力的功。,6-1
3、-1 力的功,6-1 功与动能,3.均质轮滚动S后静止,求摩擦阻力的功。,6-1-1 力的功,6-1 功与动能,6-1-2 质点系的动能,1. 质点系动能一般概念,1) 正的标量,柯尼西定理,6-1 功与动能,只能随质心平移分解,其它基点不成立。,故,求坦克履带动能。已知 。,6-1-2 质点系的动能,6-1 功与动能,由柯氏定理:,6-1-2 质点系的动能,6-1 功与动能,1) 平移,2) 定轴转动,3) 平面运动,2. 刚体的动能(由柯氏定理),6-1-2 质点系的动能,6-1 功与动能,1. 均质轮滚动,已知 ,求 。,6-1-2 质点系的动能,6-1 功与动能,应考虑 是否变化!,6
4、-1-2 质点系的动能,6-1 功与动能,6-2 质点系动能定理,(包括内、外力功),6-2-1 动能定理的三种形式,第六章 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,1 .微分式,2 .积分式,对于理想约束,约束力功为零(如光滑铰,光滑面),外主动功,内 功,约束功,6-2-1 动能定理的三种形式,6-2 质点系动能定理,3.守恒式,故,即,势力场中,主动力有势,6-2 质点系动能定理,6-2-1 动能定理的三种形式,1. 动能定理与动量矩定理数学上独立吗?,一般不独立,例如均质轮纯滚,,故,动量矩定理,即,6-2 质点系动能定理,6-2-1 动能定理的三种形式,2. 子弹射入后 求T与W
5、。,射入后瞬时,设,系统质心在中点C,,在质心系中考察A,B运动:,A,B分别以2k弹簧,在各自初始条件下,作简谐振动。,6-2 质点系动能定理,6-2-1 动能定理的三种形式,弹簧内力作负功,弹簧内力作功为:,由柯尼西定理:,6-2 质点系动能定理,6-2-1 动能定理的三种形式,对!弹簧静力与重力在转动时仍平衡,其功之和为零,可同时不考虑。又如图(b),6-2 质点系动能定理,6-2-1 动能定理的三种形式,已知力求加速度,由 , 对t求导数。,6-2-2 动能定理的应用,1. 特点,(3)常结合动量定理,动量矩定理某些分量方程求解。,(2)对一个自由度理想约束系统,整体研究,方程 中不出
6、现约束力。,已知力求速度,由,已知运动求力,由,(1)与位形变化有关 (突出空间过程),(4) 计入内力功,可广泛用于变形体静,动力问题。,6-2 质点系动能定理,1.绞接机构已知 均质轮由图(a)位置开始滚动.求A,B,C水平时, 。,图(b)示瞬时,C为BC杆瞬心,由,而,6-2 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,代入式(a)得,1)如何求任意 位置时, ?,6-2 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,题型:,已知各构件质量为m,OA=l在 力偶M作用下,n转后,求 。,类似:,若已知 常数,判断轮受摩擦力方向?,已知力求运动,再考虑:,功,6-2 质点系动能定理,6-2
7、-2 动能定理的应用,在任意位置 时,轮与杆的 速度瞬心分别为 和 ,且有,(a),6-2 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,(b),由 ,有 ,将式(b)代入,有,再将式(a)代入上式,并经整理得,(c),6-2 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,将 ,代入式(c)得,若 时, ,则,(2)本题若将动能定理积分形式或机械能守恒式 两边对时间t求导,可获同样结果。,(1)若取AB与水平方向的夹角 为变量时, 与 正方向相同,而与实际 方向相反。,6-2 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,2. 为何值时,杆端B离开墙面?离墙后运动如何?,1.如何求运动中杆端B的约束
8、力?,6-2-2 动能定理的应用,6-2 质点系动能定理,3.已知滑块A,均质轮B,质量均为 ,均质杆长 ,质量为m,三者铰接,f=0,由 静止释放, 求 时,研究整体,因,研究轮B,轮B平移,6-2 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,时,速度如图,6-2 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,1. 如何求 时,,由,2. 如何求任意位置时 与 及铰B处约束力?,3. 若将轮与杆固结,情形有何不同?,4. 若改变初始位置,情形如何?,6-2 质点系动能定理,6-2-2 动能定理的应用,碰撞与冲击的实例,6-3 碰 撞,第六章 质点系动能定理,飞行员座椅弹射装置,第六章 质点系动
9、能定理,6-3 碰 撞,汽车碰撞实物试验,第六章 质点系动能定理,6-3 碰 撞,汽车碰撞虚拟试验,研究的问题:,车体间的碰撞、人体与车体的碰撞、人体内脏的碰撞。,第六章 质点系动能定理,6-3 碰 撞,6-3-1 碰撞过程特点与简化,2.简化:,时间短、速度突变、受力大且复杂。,不计非碰力;, 不计碰撞过程位移。,(绕过复杂受力过程并简化),1.特点:,6-3 碰 撞,1. A、B相碰后,C怎样运动?,B向前运动,靠B、C间摩擦力,使C加速。,碰后瞬时 。,2. 子弹水平射入物A,子弹与物A沿斜面方向动量守恒吗?,物A受斜面法向冲量,同时受斜面方向摩擦力 冲量,故不守恒。,若水平面光滑,则整
10、体 守恒;,若水平面不光滑,出现摩擦力冲量, 不守恒。,6-3-1 碰撞过程特点与简化,6-3 碰 撞,6-3-2 材料对碰撞的影响恢复系数,6-3 碰 撞,(1)挤压变形,(2)弹性恢复,1.两个阶段,2.恢复系数,(1) 正碰:,v沿法向,定义:,6-3 碰 撞,6-3-2 材料对碰撞的影响恢复系数,e=0 完全非弹性 或 塑性,e=1 完全弹性,一般 0e1,为材料常数。,(2) 斜碰: (不计摩擦),6-3-2 材料对碰撞的影响恢复系数,6-3 碰 撞,(3) 一般情形,6-3 碰 撞,6-3-2 材料对碰撞的影响恢复系数,1. , 小车突然以 运 动,求碰后小球相对车的速度。,相对速
11、度仍为 。,(a),(c),(b),6-3 碰 撞,6-3-2 材料对碰撞的影响恢复系数,6-3-3 碰撞过程的动能损耗,1.正碰过程的动能损耗,已知 ,求 。,有,设碰后速度为,而,6-3 碰 撞,2.锻压与打桩的能量损失,故“重锤打桩,大砧打铁”。,要大 大铁砧 ,,1) 锻压:,2) 打桩:,6-3-3 碰撞过程的动能损耗,6-3 碰 撞,研究A,B杆,碰撞前后速度如图。,有,6-3-3 碰撞过程的动能损耗,6-3 碰 撞,有,又,故,6-3-3 碰撞过程的动能损耗,6-3 碰 撞,由式(a),(b),(c)得,1. 本题是否有更简捷的求解途径?,2. 若考虑水平面摩擦,情况怎样?,6-
12、3-3 碰撞过程的动能损耗,6-3 碰 撞,6-3-4 碰撞对定轴转动刚体作用,由冲量定理:,设冲击后速度如图。,1.图为对称面 已知 为质心, 起始静止,,如何消除或减少受冲击时轴承的约束冲量?,撞击中心,6-3 碰 撞,由冲量矩定理:,解之得:,6-3 碰 撞,用锄头,挥大锤,击棒球,若碰点与撞击中心接 近,手感轻松。,6-3-4 碰撞对定轴转动刚体作用,1. 何时不可避免约束冲量?,6-3 碰 撞,6-3-4 碰撞对定轴转动刚体作用,2. 求图示刚体撞击中心。,6-3 碰 撞,6-3-4 碰撞对定轴转动刚体作用,6-3-5 碰撞系统的动能定理,碰撞过程,不计位移。只有碰撞力的功为有限值。
13、(非碰撞力功无限小)。有,6-3 碰 撞,这里 既含有外碰撞冲量,也含约束碰撞冲量。,故,对于理想约束刚体系统,只含速度实变方向外冲量的功。,设冲击后速度如图, 由碰撞系统动能定理有,2.已知匀质轮m,r,均质杆m,AB=2r,铰接不计滑块B质量和摩擦,D处受水平冲量I,求,得,6-3 碰 撞,6-3-5 碰撞系统的动能定理,1. 试用冲量定理和冲量矩定理求解,并比较两种方法特点。,2. 如何求铰O及滑块B所受约束力冲量?,3. 若改变AB杆倾角为30,并设滑块B质量亦为m,如何求解?,6-3 碰 撞,6-3-5 碰撞系统的动能定理,动力学普遍定理,三者都可由对质点的牛顿定理推导出来,因而这些
14、定理的数学方程具有某种等价性。,6-4 动力学普遍定理的综合应用,动量定理,动能定理,动量矩定理,动力学问题的题型,碰撞,非碰撞,选用冲量定理和冲量矩定理求解。,第六章 质点系动能定理,又碰撞,稳态问题,初瞬时问题,非稳态问题,单自由度系 统的运动问题,(突然解除约束力问题) 可直接用动量矩定理求解。,加速度不变,可直接用动量方法求解。,加速度变化,宜先用动能定理求出速度和加速度,再用动量方法求解。,宜先用动能定理整体分析,求出速度和加速度,再用动量方法求力。,第六章 质点系动能定理,6-4 动力学普遍定理的综合应用,求解中还要注意应用动量,动量矩与机械能的守恒条件以及运动学的补充关系。,6-4 动力学普遍定理的综合应用,第六章 质点系动能定理,图示均质杆长2l, 重G,细绳长l,f =0,不计摩擦杆 由静止滑到虚线位置时,求vB及A, B处反力。,