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1、第二章 静 电 场(二),2,2-1 静电场的唯一性定理及其应用 2-2 平行双电轴法 2-3 无限大导电平面的镜象法 2-4 球形导体面的镜象 2-5 无限大介质交界平面的镜象 2-6 电容与电容的计算 2-7 双输电线的电容 2-8 多导体系统的部分电容 2-9 带电导体系统的电场能量及其分布 2-10 虚位移法计算电场力,3,2-1 静电场的唯一性定理及其应用,处理静电问题总是根据一定条件去解泊松方程。静电学中许多问题都涉及到有限空间区域，在区域内可以有电荷，也可以没有电荷，但都具有确定的边界条件。现在有这样一个问题：要使区域内存在唯一的、合理的解，问适合泊松方程的边界条件是什么？唯一性
2、定理回答了这个问题。,4,一、静电问题的唯一性定理,下面研究可以均匀分区的区域V，即V可以分为若,干个均匀区域Vi，每一均匀区域的电容率为i 。,V内有给定的自由电荷分布 。,（i）电位,（ii）电位的法向导数,或,则V内的电场唯一地确定。,若给定V的边界S上,可以证明,“狄利克莱”边界条件,“诺伊曼”边界条件,或,混合边界条件，,5,域Vi内满足泊松方程，,并在V的边界S上满足给定的,值。,或,在两均匀区域分界面上满足边值关系，,也就是说，在V内存在唯一的解 ，它在每个均匀区,6,如图，设在某区域V内有一些导体，扣除导体外表面内所围区域以后剩下的区域为V 。设V 内给定电介质分布、给定自由电
3、荷分布，S上给定了,二、有导体存在时的唯一性定理,或,当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定电场，所需要条件有两种类型：一类是给定每个导体上的电位 ；另一类是给定每个导体上的总自由电量Qi。,7,对于第二种类型的问题，唯一性定理表述如下：设区域V内有一些导体，给定导体之外的电介质分布和自由电荷分布，给定各导体上的总自由电量Qi以及V的边界S上的 或/n 值，则V内的电场唯一地确定。,当每个导体上的电位i 给定时（即给出了V所有边界上的或/n值），因而由唯一性定理可知， V内的电场唯一地被确定。,8,在第i个导体上满足总自由电荷条件：,和等势面条件：,以及在V的边界S上具有给定的 |s 或
4、( /n)|s值。,也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程,在两均匀区域分界面上满足边值关系，,9,静电场唯一性定理的简明表述：,若区域V内给定电介质分布和自由电荷分布(x) ，在V的边界S上给定,（i）电位,（ii）电位的法向导数,或,（如果V的边界面上和内部的导体上没有一处给定电位，那么V内 的电场强度唯一确定，但电位不能完全确定，可以相差一个常量。）,若区域内有导体存在，还要给定各导体的电位或各导体所带的自由电量,则V内的电场唯一地确定。,10,三、唯一性定理的意义,更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程、边值关系和给定边界条件，则该解
5、就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足方程、边值关系和边界条件。满足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。,唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度指明了方向。,11,唯一性定理的应用等位面法 根据唯一性定理，若沿场的等位面的任意一侧，填充导电媒质，则等位面另一侧的电场保持不变。如图2-4为两平行输电线的电场，若沿场中任一等位面k之一侧(这里我们沿其内侧)填充导电媒质(见图2-5),则导电媒质以外之另一侧,其电场不变。,图2-4 两平行输电线的电场,图2-5 沿场的等位面一侧，填充导电媒质后的电场,12,因为
6、这样处理之后： 1.它保持了另一侧场的边界形状及介质分布不变，且对另一侧场而言，边界仍为等位面。填充导电媒质后，边界上的总电荷量等于填充导电媒质前边界上所穿过的总电通量，即 ，亦即边界条件没有变化。 2.它保持了另一侧场的电荷分布不变。因而根据唯一性定理，另一侧的场没有变化。由于这一方法是沿等位面填充介质，因而称之为等位面法。,13,例2-1 静电场唯一性定理在解静电屏蔽现象中的应用。 解 在物理学中，已知静电屏蔽现象：(1)接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场；(2)封闭导体壳无论是否接地，壳内的电场都不受壳外电荷的影响。作为唯一性定理的应用，我们来讨论上述结论。 图2-6(a)表示一种
7、情形。设封闭导体壳的外表面为S1，对于壳外区域而言，它是一个边界面。无论壳内电荷q1在数量上增减或作位置上的移动，由于导体壳接地，恒有 ，始终没有改变壳外区域边界面上的边界条件。因此在这种情况下，壳内的电荷不影响壳外的电场。,图2-6 例2-1图,14,图2-6(b)表示第二种情形。设封闭导体壳 的内表面为S2，对于壳内区域而言它是一 个边界面。首先，S2是一个等位面。其次， 若在壳内紧贴S2作一高斯面S，则有,即电位移矢量 的通量为q1。因此以S2作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量
8、时，电位函数可以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受导体壳外电荷q2的影响。如果导体壳接地，这时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。总之，在第二种情况下，导体壳内的电场不受壳外电荷的影响。,15,如图2-7所示，两平行输电线表面电荷分布是不均匀的。为了计算它们在周围空间激发的电场，人们找到了平行双电轴法。,2-2 平 行 双 电 轴 法,平行双电轴电场法,图2-7 两平行输电线表面电荷分布,图2-8 两电轴外任意一点P的电场,平行双电轴电场是一个平行平面场，在垂直于电轴的各个平面上，场有完全相同的分布图形。,16,设介质电容率为0的空间有两无限长平行电轴，两电轴所带有的电荷线密度分别为
9、,(2-1),(2-2),由高斯定理可得两电轴分别产生的电场强度表达式为,图2-8 两电轴外任意一点P的电场,17,（2-5）,图2-8 两电轴外任意一点P的电场,由叠加原理，点P的电位为,(2-4),(2-3),选取坐标轴的原点O为零电位点 ，两电轴各自在点P激发的电位分别为,在等位面上，R2/R1是一常数。,18,图2-9 平行双电轴电场,等位线的分布规律,由平面几何可知，一个 动点到两个定点距离之比 R2/R1=K(常数)，则它的轨 迹为圆。圆的半径和圆心位置由K和两个定点间的距离决定。圆心位置在两定点连线的延长线上。K1和K1的圆分别包围不同的定点。故在双电轴的电场中，等位面是两组偏心
10、的圆柱族面。通常称零电位面为中性面，它对应于K=1 。,19,设某个等位圆之半径为R0，等位圆圆心至中性面距离为x0，电轴至中性面的距离为 D/2，则R0、x0与D三者间的关系，可通过简单几何关系求得。在等位圆上选择特殊点A及B，令R2/R1=R2/R1=K(常数)，则有,图2-10 两平行同半径圆柱的等效电轴位置,(2-6),(2-7),分子为R2,分母为R1,R2,R1,20,可知： 1)若已知电轴位置，选取任意点x0为圆心，即可作出以x0为圆心R0为半径的等位圆。 2)若已知电轴位置，给定任意的R0，亦可作出以R0为半径的圆的圆心位置x0。 3)若已知R0，及圆心的位置x0，亦可推出电轴
11、所在的位置，亦即推求出距离D。,21,图2-11 两平行同半径圆柱体的几何中心轴与等效电轴的位置,具有相同半径R0的平行双输电线。设每根导线单位长度上所带的电荷量分别为+及-，求电场分布。可认为导线的圆截面是沿某待求的双电轴所形成的等位圆填充导电媒质所得，根据等位面法，此问题转化为求解双电轴的电场，而由式(2-7)，可以容易地求得双电轴的位置。,平行双电轴法,(2-8),电轴位置,圆心位置,圆的半径,22,由式(2-9)及式(2-10)可求得,(2-11),(2-10),(2-9),对于相互平行但半径不同的带电圆柱导体，半径R0与R0以及两圆柱体轴心距离d已知，由(2-8)得,(2-12),图
12、2-12 两不同半径的平行圆柱体的等效电轴的位置,由x0或x0,可确定中性面位置。再算出D/2，可定出两电轴的位置。,另外，,23,图2-13 两不同半径的偏心圆的等效电轴的位置,对于两偏心圆柱套筒的电场，在已知两圆柱套筒半径R0、R0以及圆柱轴心间距离d的情况下，由,和,得,(2-13),(2-14),24,图2-13 两不同半径的偏心圆的等效电轴的位置,可确定两电轴的位置。,电轴法在求解双输电线电容及偏心圆柱套筒等的电容问题中被广泛运用。,再由,由x0或x0,可确定中性面位置。,25,例2-2 空中两根互相平行、无限长的导体圆柱上带有等量异号电荷。设单位长度的电量=10-8C/m，圆柱的半
13、径各为R0=15cm,R0=20cm，两圆柱的几何轴线间距离为d=50cm。试求电轴的位置、零位(中性)面的位置。,解 对于两半径不等的平行导体圆柱，根据式(2-11)可确定中性面到半径为R0的圆柱面的几何中心的距离为,26,电轴到中性面的距离为,中性面到半径R0的圆柱面 的几何中心的距离为,27,所谓镜象法，是基于唯一性定理的。此方法的特点是以场域外虚拟的集中电荷代替场域边界上分布电荷的作用，使场的边界条件保持不变，从而保持被研究的场不变。由于虚拟电荷往往与场域内的集中电荷互为镜象(平面镜象或曲面镜象)，故称为镜象法。,2-3 无限大导电平面的镜象法,点电荷对无限大导电平面的镜象 若有一点电
14、荷q，它与无限大地平面(地为导电平面)相距h高度，试求上半场域中的场量。根据唯一性定理，这个问题所给的条件是齐备的：对于场域内部，除点电荷所在点(奇异点)之外，均满足拉普拉斯方程。,图2-14 地面上方h处有一点电荷q,28,对于场域边界条件而言，无限大地平面为等位面，其上总电荷(感应电荷)已知为-q。设想将无限大地平面撤去，而将下半场域亦充以电容率为0的媒质，且以地平面为镜面，在电荷q的镜象位置，放置一点电荷-q。对于上半场域，其内部未作任何变更，边界条件也没有改变。,图2-15 地面下方h处置一镜象电荷-q代替大地影响,另一种解释： 地平面的电位为零。+q和 -q在边界面激发的电位也等于零
15、，所以上半空间的电场不变。,29,图2-16 大地对点电荷电场的影响,填充导电媒质后，电荷-q即转移至无限大地平面上，根据等位面法，上半域的电场仍保持不变，即上半域的电场完全可以作为两点电荷电场进行求解。 导电平面镜象问题的特点：镜象电荷必在被研究场域边界外，所处位置与场源电荷以平面对称。镜象电荷的电量与边界面原有总电荷量相等，与场源电荷量绝对值相等、符号相反，而被研究场域边界电位值为零。,图2-17 用镜象电荷代替大地的影响,30,无限大导电平面镜象法的应用,应用(1)： 图2-18 夹角为直角的两相联导电平面的镜象(a)直角区域内的点电荷；(b)图(a)的镜象电荷,应用（2）： 图2-19
16、夹角为的两相联无限大导电平面的镜象 (a)特殊角 (2/偶数)区域的点电荷； (b)图(a)的镜象电荷,31,应用（3）： 图2-20 长直圆柱导体对导电平面的镜象 (a) 大地上方h处平行放置长直圆柱导体； (b) 图(a)的镜象,此时要求2/偶数，否则无法将整个空间划分为同一大小的均匀区域，从而不能保证被研究场域的边界电位值为零。,32,例2-3 带电的云与地面之间形成一均匀向下的电场E0，如图所示。由于大气电场的影响将导致高度为l处的高压输电线A的电位升高。若在A的上方又架设有架空地线G，半径为r0，G是经过支架接地的，则在架空地线G上感应出负电荷，地面上感应出正电荷。将这些感应电荷的电场叠加到大气电场以后可以降低A处的电位。工程上采用这种方法使得高压输电线免受雷击，试求由于架空地线的屏蔽作用而导致A处电位的变化。,
