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1、1,三、用函数的零点判断极点的类型,2,1、函数的零点,例,定义,若函数,定义,若函数,在点,的某个邻域,内解,析，,；且除了点,外，在,内，,处处不为零，则称,为,孤立零点,.,在点 解析，并且,3,4,m 级零点的判别方法,零点的充要条件是：,定理1 如果,在,解析, 那末,为,的,级,证明：对于在点 解析函数 来说，它在该点的邻域内的Taylor 级数展开式的系数是唯一的，并且有，从而根据函数零点的定义：前m项为零，有,5,定理2,其中,在点,解析，且,为,的,m级零点的充要条件为,另外，我们有,我们下面仅证明其必要性。充分性自己思考。,6,证明：如果 是函数 的m级零点，则,此处展开式
2、的前m项系数都为零。,若记,则有,其中： 在 处解析，并且,7,8,9,10,推论：,设,在区域,D,内解析，,(,n,=1,2,),是,在,D,内的一列零点，且,，,当,则 在 中必恒为零。,11,12,练习,求,的奇点, 如果是极点, 指出它的,级数.,答案,13,推论1 点 为 的 级极点的充要条件为 是 的 级零点。,推论2 若点 为函数 的 级零点 ，则 z0为函数 的 级零点；当 时， z0为函数 的 级极点。,14,推论3(LHospital法则) 设函数 不恒为 零，若 为函数 和 的零点(极点)，则当 时，函数 的极限一定存在或为 ， 且有,注意： 若函数 在点 解析， ，则
3、当 为函数 的 级零点或 级极点时， 也分 别是函数 的 级零点或 级极点。,15,(1)由于,练习,是五级零点,是二级零点.,解,(2)由于,答案,16,解,这些奇点是,孤立奇点.,推论1为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.,17,例3求下列函数孤立奇点的类型，并指出极点级数（2） 解： 显然 和 是函数 的孤立奇点，分别取和,则可见 和 分别是 的二级极点和三级极点。,18,（4）解： 点 为 的一级零点; 函数 的零点为 ， 且 在这些点处不为零，由定理1，这些点为函数 的一级零点。由定理2的推论2， 为函数 的二级零点，又由推论1及其注意， 它为 的二级极点，而 为 的简单极点。,
