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1、第三章 结构地震反应分析 和抗震计算,3.1 概 述,3.1.1 结构地震反应 3.1.2 地震作用 3.1.3 结构动力计算简图及体系自由度,3.1.1 结构地震反应,由地震动引起的结构内力、变形、位移及结构运动速度与加速度等统称结构地震反应。地震时，地面上原来静止的结构物因地面运动而产生强迫振动。因此，结构地震反应是一种动力反应，其大小(或振动幅值)不仅与地面运动有关，还与结构动力特性(自振周期、振型和阻尼)有关，一般需采用结构动力学方法分析才能得到。,3.1.2 地震作用,结构工程中“作用”一词，指能引起结构内力、变形等反应的各种因素。按引起结构反应的方式不同，“作用”可分为直接作用与间
2、接作用。各种荷载（如重力、风载、土压力等）为直接作用，而各种非荷载作用（如温度、基础沉降等）为间接作用。结构地震反应是地震动通过结构惯性引起的，因此地震作用（即结构地震惯性力）是间接作用，而不称为荷载。,3.1.3 结构动力计算简图及体系自由度,进行结构地震反应分析的第一步，就是确定结构动力计算简图。由于结构的惯性是结构质量引起的，因此结构动力计算简图的核心内容是结构质量的描述。描述结构质量的方法有两种，一种是连续化描述（分布质量），另一种是集中化描述（集中质量）。,如采用连续化方法描述结构的质量，结构的运动方程将为偏微分方程的形式，而一般情况下偏微分方程的求解和实际应用不方便。因此，工程上常
3、采用集中化方法描述结构的质量，以此确定结构动力计算简图。,3.1.3 结构动力计算简图及体系自由度,采用集中质量方法确定结构动力计算简图时，需先定出结构质量集中位置。可取结构各区域主要质量的质心为质量集中位置，将该区域主要质量集中在该点上，忽略其他次要质量或将次要质量合并到相邻主要质量的质点上去。 确定结构各质点运动的独立参量数为结构运动的体系自由度。 各种结构自由度的确定示例如下图。,补充：结构抗震理论的发展,1.静力理论阶段-静力法,1920年，日本大森房吉提出。 假设建筑物为绝对刚体。,地震作用:,-地震系数,将F作为静荷载，按静力计算方法计算结构的地震效应。,2.定函数理论,苏联扎夫里
4、耶夫首先提出的，他认为地震地面运动可用余弦函数来描述，也即地面位移为:,苏联的柯尔琴斯基提出地面运动可用若干个不同振幅、不同阻尼和不同频率的衰减正弦函数的和来表示，也即:,3.反应谱理论-反应谱法,1940年，美国皮奥特提出。,地震作用:,按静力计算方法计算结构的地震效应。,目前，世界上普遍采用的方法。,缺点：线弹性方法，难以正确反映结构开裂后的非弹性阶段的特性，其应用范围有一定限制；,4.直接动力分析理论-时程分析法,将实际地震加速度时程记录（简称地震记录 Earthquake Record）作为动荷载输入，进行结构的地震响应分析。,5.非线性静力分析方法（Push Over Analysi
5、s),缺点：由于需要准备包括场地地震波等在内的大量数据，且其计算繁琐，难以在实际工程应用中广泛推广。,Pushover方法又称推倒法，是一个用于预测地震引起的力和变形需求和能力的方法。其基本原理是：在结构分析模型上施加按某种方式(如均匀荷载，倒三角形荷载等)模拟地震水平惯性力的侧向力，并逐级单调加大，直到结构达到预定的状态(位移超限或达到目标位移)，然后评估结构的性能。,此外，有用随机振动理论来分析结构地震响应统计特征的，有以地震时输入结构的能量进行设计，使结构所吸收的能量不致造成结构破坏的理论等。但这些方法还没有进入抗震设计规范，因此未被抗震设计使用 。,与各类型结构相应的地震作用分析方法,
6、1、不超过40m的规则结构：底部剪力法,2、一般的规则结构：两个主轴的振型分解反应谱法,3、质量和刚度分布明显不对称结构：考虑扭转或双向地震作用的振型分解反应谱法,4、8、9度时的大跨、长悬臂结构和9度的高层建筑：考虑竖向地震作用,5、特别不规则、甲类和超过规定范围的高层建筑：一维或二维时程分析法的补充计算。,3.2 单自由度体系的 弹性地震反应,3.2.1 运动方程 3.2.2 运动方程的解,引言,某些简单的建筑结构，例如等高单层厂房，因其质量绝大部分集中于屋盖，故在进行地震反应分析时，可将该结构中参与振动的所有质量按动能等效的原理全部折算至屋盖，而将柱视作一无重量的弹性直杆，这样就形成了一
7、个单质点弹性体系。若忽略杆的轴向变形，当该体系只做水平单向振动时，质点只有单向水平位移，故为一个单自由度弹性体系。又如水塔，因其质量绝大部分集中于塔顶储水柜处，故亦可按单质点体系来分析其振动。,3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析,一、地震作用下单自由度体系的运动方程,质点位移,质点加速度,惯性力,弹性恢复力,阻尼力,运动方程,二、单自由度体系动力学分析回顾,1.单自由度体系自由振动,（1）无阻尼时,时,（2）有阻尼时,将荷载看成是连续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即 为动荷载引起的位移。,2.单自由度体系受迫振动,-冲量法,（1）.瞬时冲量的反应,a.t=0 时作
8、用瞬时冲量,b. 时刻作用瞬时冲量,(2).动荷载的位移反应,-杜哈美积分,计阻尼时：,若t=0 时体系有初位移、初速度,b. 时刻作用瞬时冲量,三、单自由度体系地震作用分析,运动方程,或,其中,由Duhamel积分可得零初始条件下质点相对于地面的位移为,最大位移反应,质点相对于地面的速度为,质点相对于地面的最大速度反应为,质点的绝对加速度为,质点相对于地面的最大加速度反应为,四、地震反应谱,最大相对速度,最大加速度,最大反应之间的关系,在阻尼比、地面运动确定后，最大反应只是结构周期的函数。,单自由度体系在给定的地震作用下某个最大反应与体系 自振周期的关系曲线称为该反应的地震反应谱。,最大相对
9、位移,位移反应谱,相对速度反应谱,绝对加速度反应谱,相对位移反应谱,绝对加速度反应谱,相对速度反应谱,地震反应谱的特点：,1.阻尼比对反应谱影响很大,2.对于加速度反应谱，当结构周期 小于某个值时幅值随周期急剧增大，大于某个值时，快速下降。,3.对于速度反应谱，当结构周期小于某个值时幅值随周期增大，随后趋于常数。,4.对于位移反应谱，幅值随周期增大。,不同场地条件对反应谱的影响,将多个地震加速度反应谱平均后得平均加速度反应谱,地震反应谱是现阶段计算地震作用的基础，通过反应谱 把随时程变化的地震作用转化为最大的等效侧向力。,结构的阻尼比和场地条件对反应谱有很大影响。,3.3 单自由度弹性体系的水
10、平地震作用与抗震设计反应谱,一、单自由度体系的水平地震作用,对于单自由度体系，把惯性力看作反映地震对结构体系影响的等效力，用它对结构进行抗震验算。,结构在地震持续过程中经受的最大地震作用为,-集中于质点处的重力荷载代表值；,-重力加速度,-动力系数,-地震系数,-水平地震影响系数,二、抗震设计反应谱,-地震影响系数；,-地震影响系数最大值；,-结构周期；,-特征周期；,-曲线下降段的衰减指数；,-直线下降段的斜率调 整系数；,-阻尼调整系数，小于0.55时，应取0.55。,解：,（1）求结构体系的自振周期,（2）求水平地震影响系数,查表确定,查表确定,（3）计算结构水平地震作用,三、重力荷载代
11、表值的确定,结构的重力荷载代表值等于结构和构配件自重标准值Gk加上各可变荷载组合值。,-第i个可变荷载标准值；,-第i个可变荷载的组合值系数；,3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析振型分解反应谱法,一.多自由度弹性体系动力分析回顾,1.自由振动分析,运动方程,设方程的特解为,-频率方程（动力特征值方程）,-振型方程（动力特征方程）,若X=0，则体系不振动，故有：,研究自由振动时不考虑阻尼的影响,X1、X2表示的是幅值,解:,例.求图示体系的频率、振型.已知:,运动方程：,频率方程：,对应第1频率,对应第2频率,对应m1,对应m2,按振型振动时的运动规律,按i振型振动时，质点的位移为,质点的加
12、速度为,质点上的惯性力为,振型可看成是将按振型振动时的惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移。,将该振型振动时的惯性力幅值作为静荷载加在相应的质点上，并计算其所引起的静位移，所得到的静位移形状即为该振型。,2.振型的正交性,i振型,i振型上的惯性力,j振型,i振型上的惯性力在j振型上作的虚功,i振型,j振型,j振型上的惯性力,j振型上的惯性力在i振型上作的虚功,由虚功互等定理,考虑到质量矩阵的对称性，得到：,振型对质量正交性的物理意义,i振型上的惯性力在j振型上作 的虚功等于0,振型对刚度的正交性:,振型对刚度正交性的物理意义,i振型上的弹性力在j振型上作的虚功等于0,振型正交性的应用,1.检验求
13、解出的振型的正确性。,例:试验证振型的正确性,2.对耦联运动微分方程组作解耦运算等等.,三.振型分解法(不计阻尼),运动方程,设,代入运动方程，得,方程两端左乘,参见P48,所以，多自由度体系的地震反应可以通过分解为各 阶振型地震反应求解，其分析计算步骤:,2.求广义质量、广义荷载;,3.求组合系数;,4.按下式求位移：,1.求振型、频率：,例一.求图示体系的稳态振幅.,解:,从结果看,低阶振型贡献大。,一般不需要用全部振型叠加, 用前几个低阶振型叠加即可。,例二.求图示体系在突加荷载作用下的位移反应.,解:,三.振型分解法(计阻尼),阻尼力,-阻尼矩阵,-当质点j有单位速度 ,其余质点速度为
14、0时,质点i上的阻尼力.,若下式成立,则将 称作正交阻尼矩阵, 称作振型j的广义阻尼系数.,运动方程,设,令,-第j振型阻尼比(由试验确定).,同前，计算步骤:,1.求振型、频率;,2.求广义质量、广义荷载;,4.求组合系数;,5.求位移;,3.确定振型阻尼比;,方法：通过实测获得两个振型阻尼比 和 来计算a 0 、a1 。,四.正交阻尼矩阵的构成,其中，a 0 、 a1由试验确定。,同理,-瑞利（Rayleigh）阻尼矩阵,通过以上（1）、（2），可以得到P50的式（3-107）、（3-108）,（1）,（2）,解.,解.,五、计算水平地震作用的振型分解反应谱法是求解多自由度弹性体系地震反应
15、的重要方法。,作用于i质点上的力有,惯性力,弹性恢复力,阻尼力,运动方程,设,代入运动方程，得,方程两端左乘,-j振型广义质量,-j振型广义阻尼系数,-j振型广义刚度,-j振型的振型参与系数,令：,对于单自由度体系,对于j振型折算体系（右图）,i质点相对于基础的位移与加速度为,i质点t时刻的水平地震作用为,-t时刻第j振型i质点的水平地震作用,又：,-体系j振型i质点水平地震作用标准值,-体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式,-t时刻第j振型i质点的水平地震作用,-相应于j振型自振周期的地震影响系数；,- j振型i质点的水平相对位移；,- j振型的振型参与系数；,- i质点的重力荷载代表
16、值。,地震作用效应 （弯矩、位移等）,-j振型地震作用产生的地震效应；,m -选取的振型数量；,-体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式,一般只取2-3个振型，当基本自振周期大于1.5s或房屋高宽比大于5时，振型个数可适当增加。,例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。抗震设防烈度为8度，类场地，设计地震分组为第二组。,解：,（1）求体系的自振周期和振型,（2）计算各振型的地震影响系数,查表得,第一振型,第二振型,第三振型,（3）计算各振型的振型参与系数,第一振型,第二振型,第三振型,（4）计算各振型各楼层的水平地震作用,第一振型,（4）计算各振型各楼层的水平地震作用,第二振型,（3）计算各振型的振型参与系数,（4）计算各振型各楼层的水平地震作用,第三振型,（3）计算各振型的振型参与系数,
