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1、第二章 曲线和曲面造型基础,2.1 微分几何基础,2.3 NURBS曲线与曲面,2.2 图形变换,2.4 曲线与曲面造型方法,2.1 微分几何基础,1、矢量代数,空间三维点P（x1,y1,z1)的矢量表示：,2.1 微分几何基础,矢量加法：,矢量点乘：,点乘的几何表示形式为第一个矢量向第二个矢量方向（假设第二个矢量为单位矢量）的投影长度。,2.1 微分几何基础,矢量叉乘：,2.1 微分几何基础,叉乘大小的几何意义表示为两个矢量为矢量a和b所构成的平行四边形的面积。,2、曲线几何 曲线的表示方法：隐式曲线：显式曲线：参数曲线：,2.1 微分几何基础,隐式：,显式：,参数:,2.1 微分几何基础,
2、有理多项式参数形式：,以直线PQ与x轴的夹角为参数：,2.1 微分几何基础,隐式曲线便于判定点与曲线的关系，不便于求值；而显式曲线便于求值，但不便于判断内外关系。,2.1 微分几何基础,参数曲线：容易通过指定参数的范围来定义一段曲线。因此，在课程中的曲线无特殊说明的都是指参数曲线。推而广之，曲面是指参数曲面。参数曲线的矢量表示：,2.1 微分几何基础,曲线的性质：速率、单位切矢、曲率、主法矢、曲率半径。,2.1 微分几何基础,速率：,2.1 微分几何基础,单位切矢：不依赖于参数化的曲线性质被称为曲线的内蕴属性。 单位切矢和曲率是曲线最重要的两个内蕴属性。,弧长 ：,单位切矢：,链式法则：,2.
3、1 微分几何基础,曲率：,曲率的定义 ：,链式法则后：,二维显式曲线 y = y(x) 的曲率：,2.1 微分几何基础,法矢：,主法矢的定义 ：,副法矢：,切矢、主法矢和副法矢定义了一个坐标系。,2.1 微分几何基础,曲率半径： 定义为密切圆的半径，即,2.1 微分几何基础,例：求单位圆的单位切矢和曲率半径。,2.1 微分几何基础,空间曲线的挠率：,空间曲线Serret-Frenet公式 ：,2.1 微分几何基础,3、曲面几何 曲面表示的分类：,隐式曲面：,显式（非参）曲面：,参数曲面：,或,2.1 微分几何基础,参数域上的二维曲线：,映射为空间中曲面上的曲线：,注意等参线的定义。,2.1 微
4、分几何基础,曲面的切矢：,2.1 微分几何基础,曲面的法矢：,2.1 微分几何基础,2.1 微分几何基础,第一基本式矩阵：,切矢的模：,切矢：,第一基本式矩阵：,2.1 微分几何基础,应用：计算曲面的面积,单位切矢：,2.1 微分几何基础,2.1 微分几何基础,第二基本式矩阵：,点乘单位法氏 n ，有,第二基本式矩阵：,2.1 微分几何基础,法曲率：,点乘单位法氏 n ，有,法曲率：,2.1 微分几何基础,法曲率：,2.1 微分几何基础,主曲率：,2.1 微分几何基础,2.1 微分几何基础,2.2 图形变换,在CAD/CAM系统中，几何图形是最基本的元素，无论采用何种几何建模方法表达设计对象，
5、最终都要转化为几何图形显示在屏幕上。无论是二维或三维图形，都是由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表达模型所决定的。图形的几何变换只改变图形的顶点坐标和面、线的表达模型的参数，不会改变他们的拓扑关系，且面、线的表达模型参数也是由相关的顶点坐标所确定的。因此，从原理上讲，图形的几何变换就是将图形上的点的坐标变换成新图形上对应点的坐标点的坐标变换。,2.2 图形变换,齐次坐标的概念：,2.2 图形变换,齐次坐标下的图形变换：,2.2 图形变换,1、二维变换 基本变换,比例变换（缩小与放大）、对称变换（或映射变换）、旋转变换、平移交换、错切变换、透视变换等。,变换矩阵：,2.2
6、 图形变换,2.2 图形变换,2.2 图形变换,2.2 图形变换,2、三维变换 基本变换,比例变换（缩小与放大）、平移变换、旋转变换、对称变换（或映射变换）、错切变换、投影变换和透视变换等 。,变换矩阵：,2.2 图形变换,基本变换,2.2 图形变换,2.2 图形变换,组合变换,2.2 图形变换,2.2 图形变换,2.2 图形变换,Bzier曲线的定义,为曲线的控制顶点,Bernstein基函数,2.3 NURBS曲线与曲面,1、Bzier曲线,2.3 NURBS曲线与曲面,Bernstein基函数的性质,非负性权性对称性递推性导数递推性,端点处：,2.3 NURBS曲线与曲面,非负性权性对称
7、性递推性导数递推性,证明：,2.3 NURBS曲线与曲面,非负性规范性对称性递推性导数递推性,2.3 NURBS曲线与曲面,非负性规范性对称性递推性导数递推性,证明：,2.3 NURBS曲线与曲面,非负性规范性对称性递推性导数递推性,证明：,2.3 NURBS曲线与曲面,端点性质几何不变性对称性凸包性变差减小性保凸性,通过首、末控制顶点,2.3 NURBS曲线与曲面,端点性质几何不变性对称性凸包性变差减小性保凸性,因为,所以,类似地有：,跟首末各一条边有关,跟首末各两条边有关,2.3 NURBS曲线与曲面,端点性质几何不变性对称性凸包性变差减小性保凸性,曲线的形态与坐标系的选取无关，由其控制多
8、边形唯一地确定。原因可以从基函数的权性得到解释。,2.3 NURBS曲线与曲面,端点性质几何不变性对称性凸包性变差减小性保凸性,由基函数的对称性决定。只要控制顶点顺序颠倒一下，即可实现对曲线的反向。,因为,颠倒控制多边形顶点的顺序，即,则新曲线为：,2.3 NURBS曲线与曲面,端点性质几何不变性对称性凸包性变差减小性保凸性。, Bzier曲线的实质是一系列绝对矢量的凸组合（加权组合）。此性质便于确定Bzier 曲线的范围。,凸包示意图,2.3 NURBS曲线与曲面,端点性质几何不变性对称性凸包性变差减小性保凸性, Bzier曲线比其控制多边形更光滑，拐折减少。,2.3 NURBS曲线与曲面,
9、端点性质几何不变性对称性凸包性变差减小性保凸性, 是变差减小性的推论。,2.3 NURBS曲线与曲面,1. 几何作图法,2. 递归分割算法,Bzier曲线的递推定义,2.3 NURBS曲线与曲面,用递推算法求出曲线上的一点p(t*)，该点把曲线分为两段Bzier曲线，它们的控制顶点分别如图所示。,Bzier曲线的分割,2.3 NURBS曲线与曲面,张量积Bzier曲面,给定空间点阵bi,j , i=0,1,m; j=0,1,n。构造张量积曲面：,2.3 NURBS曲线与曲面,B-样条曲线示例。,三次均匀B-样条曲线,2、B-样条曲线,2.3 NURBS曲线与曲面,1. 三次均匀B-样条曲线段,
10、其中：,2.3 NURBS曲线与曲面,三次均匀B-样条曲线段的端点性质:,2.3 NURBS曲线与曲面, 均匀B-样条曲线的几何性质：直观性。局部性。比Bezier曲线更强的凸包性。保凸性。对称性 曲线易于反向。与Bezier曲线一样具有几何不变性、变差减小 性。,2.3 NURBS曲线与曲面, 讨论几种退化情况：三点共线四点共线两顶点重合三顶点重合,2.3 NURBS曲线与曲面,二次均匀B样条曲线：,端点性质：,2.3 NURBS曲线与曲面,非均匀B样条曲线,1. 均匀B样条存在的问题,2. 非均匀B样条基函数的定义:,2.3 NURBS曲线与曲面, B-样条基函数的支撑区间为u i , u
11、 i+m+1,2.3 NURBS曲线与曲面, 节点重复度增加1，支撑区间中减少一个非零节点区间，该节点处的可微性降低1次。例：,零阶连续,零阶不连续,！根据Ck-r连续性的结论，可在B-样条曲线内部构造尖点和尖角甚至断点。,2.3 NURBS曲线与曲面, 端节点重复度为m1时，B-样条曲线具有与Bzier曲线相同的端点性质。, 端节点重复度为m1，其它内部节点的重复度均为1，且均匀分布时，称为准均匀B-样条曲线。,2.3 NURBS曲线与曲面,次B样条曲面可以表达为：,其中， 为呈拓扑矩形排列的曲面的控制顶点阵列。B-样条曲面为张量积曲面。,2.3 NURBS曲线与曲面,NURBSNon-Un
12、iform Rational B-SplineBezier方法、B样条方法回顾与分析，有待解决的一个重要问题是自由曲线曲面和解析曲线曲面（二次曲线弧与二次曲面）的精确统一表示。1974 ，美国的K. J. Versprille以博士论文的形式发表了第1篇有关NURBS的文章，以后L. Piegl 和W. Tiller对NURBS进行了深入研究，使之在理论和应用上趋于成熟。IGES和STEP标准分别将其列为优化类型和唯一的自由曲线曲面表示方法。,2.3 NURBS曲线与曲面,学习NURBS重点掌握的问题：1. NURBS的定义2. 权因子的意义3. 圆锥截线的NURBS表示4. NURBS的各种
13、算法5. 各种构型曲面的NURBS表示,2.3 NURBS曲线与曲面,有理分式表示:,其中，wi , i=0,1,n 为与控制顶点 相联系的权因子。 w0， wn0 其余wi 0。 N i,k为k次规范B样条基函数。,2.3 NURBS曲线与曲面,有理基函数表示,有理B-样条基函数的性质： 局部支撑性质规范性可微性节点区间内 ,节点 区间上 若 ，则 若 ，则 若 ，则 若 ，则,2.3 NURBS曲线与曲面,齐次坐标表示,2.3 NURBS曲线与曲面,NURBS的定义步骤：,确定带权控制顶点,2. 用带权控制顶点定义一条齐次空间中的K次B-样条曲线,将齐次空间中的K次B-样条曲线投影到 的平面上，得,2.3 NURBS曲线与曲面,权因子的几何意义,权因子的几何意义示意图,共线四点的交比：,讨论：权因子对曲线形状的影响,2.3 NURBS曲线与曲面,圆锥截线的NURBS表示,三段圆弧表示整圆,四段圆弧表示整圆,2.3 NURBS曲线与曲面,用如图所示的标准型二次有理Bzier曲线（NURBS的一个特例）表示给定的圆锥截线，主要任务是确定w1。,所以，当w1为任意值时，曲线上的p(1/2)点在mb1的连线上。,二次曲线弧的形状因子,2.3 NURBS曲线与曲面,对于圆弧，可以证明,可以根据形状因子确定二次曲线弧的类型：,讨论： 负权因子； 节点插入；,
