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1、第九章刚体的平面运动,主要内容,9.1 刚体平面运动的概述和运动分解,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度,9.5 运动学综合应用举例,一、刚体平面运动的概念,在运动过程中，刚体上所有各点到某一固定平面的距 离始终保持不变，刚体的这种运动称为刚体的平面运动。,二、刚体平面运动的简化,对于刚体所作的平面运动的研究，可以不必考虑它的 厚度，而简化为以一个截面代表的平面图形在其自身平面 内的运动来研究。研究刚体的平面运动，就是要确定代表 刚体的平面图形的运动，确定图形上各点的速度和加速度。,9.1 刚体平面运动的概述和运
2、动分解, 动画,刚体平面运动实例, 动画,刚体平面运动实例, 动画,刚体平面运动实例, 动画,刚体平面运动简化, 动画,刚体平面运动简化实例,三、刚体平面运动的方程,S,为了确定平面图形的运动，取静系 ，在图形 上任取一点 （称为基点），并取任一线段 ，只要确定了 的位置， 的位置也就确定了,9.1 刚体平面运动的概述和运动分解,刚体平面运动方程,刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。,四、刚体的平面运动分解为平动和转动,刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点的转动，平面图形随同基点平动的速度和加速度与基点的选取的有关。绕基点转动的角速度和角加速度则与基点的选择无关。,9.1 刚
3、体平面运动的概述和运动分解, 动画,刚体平面运动分解, 动画,平面运动, 动画,平面运动, 动画,平面运动分解, 动画,平面运动, 动画,平面运动分解, 动画,平面运动分解,一基点法（合成法）,A,取A为基点, 将动系铰接于A点,牵连运动是随同基点A的平动，相对运动是绕基点A的转动。所以B点的牵连速度等于基点A的速度，B点的相对运动是以基点A为圆心，为半径的圆周运动，则动点B点的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成。,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,求平面图形内任一点速度的基点法,B,定理：刚体作平面运动时，其上任一点的速度等于该瞬时基点的速度与该点随图形绕基点作圆周运动时
4、的速度的矢量和。,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,二、速度投影定理,速度投影定理：刚体上任意两点的速度在过这两点的直线 上的投影相等。,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,椭圆规尺的A端以速度vA沿 x 轴的负向运动，如图所示，AB=l。试求B端的速度以及规尺AB的角速度。,例 题 9-1,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,运 动 演 示,例 题 9-1,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,解：,规尺AB作平面运动 。以A点为基点，应用速度合成定理，B点的速度可表示为,基点法,其中， vA的大小已知。由速度合成矢量图可得,故规尺AB的角速度,（顺时针）,例 题 9-1,9.2 求
5、平面图形内各点速度的基点法,如图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300 mm。在图示位置时，BDAE。杆AB的角速度为=5 rads1。试求此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C 的速度。,例 题 9-2,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,运 动 演 示,例 题 9-2,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,解：,1. 求杆DE的角速度。,其中，D 点绕 B 的转动速度 vDB 的方向与BD垂直，D点的速度 vD与DE 垂直。,基点法,以B点为基点，应用速度合成定理，D点的 速度可表示为,杆BD作平面运动， vB大小为,方向与AB垂直。,vD,vDB,vB,例 题 9-2,9.2 求平面
6、图形内各点速度的基点法,由速度合成矢量图可得,于是可得此瞬时杆BD的角速度为,vDB 为D点绕B的转动速度，应有,转向为逆时针,例 题 9-2,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,2. 求杆BD中点C的速度。,仍以B点为基点，应用速度合成定理，C点的速度可表示为,vB,vC,vCB,其中vB大小和方向均为已知，vCB 方向与BD杆垂直，大小为,由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时vC的方向恰好沿杆BD，大小为,例 题 9-2,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,曲柄连杆机构如图所示，OA= r ， 。如曲柄OA以匀角速度转动，求当 ， 和 时点B的速度。,例 题 9-3,9.2 求平面图形内
7、各点速度的基点法,运 动 演 示,例 题 9-3,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,连杆AB作平面运动，以A为基点，B点的速度为,vA,vB,vBA,其中，vA方向与OA垂直， vB沿BO方向，vBA与AB垂直。,此时OA恰与AB垂直，由速度合成矢量图可得,解：,基点法,vB = vA+ vBA,例 题 9-3,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,vA,vBA,vA, 当 时， vA与vBA均垂 直OB，,vB = 0,vA,vB,vA,此时杆AB 的角速度为零。A，B两点的速度大小与方向都相同。,由速度合成矢量图可得,例 题 9-3,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,如图所示的行星
8、系中，大齿轮固定，半径为r1；行星齿轮沿轮只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度O。试求轮的角速度及上B，C两点的速度。,例 题 9-4,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,运 动 演 示,例 题 9-4,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,行星轮作平面运动，A点的速度,以A为基点，则轮上与轮接触的点 D的速度可表示为,由于齿轮固定不动，接触点D不滑动，所以vD=0 ，因而有,解：,vDA为D点绕基点A的转动速度，应有,1. 求轮的角速度 。,基点法,例 题 9-4,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,行星轮作平面运动，A点的速度可由系杆OA的转动求得,以A为基点，B点的速度为,方向与
9、vA垂直，如图所示。,vA,vBA,vB,2. 求轮上B点的速度。,因此， vB 与 vA 的夹角为45o，指向如图，大小为,其中,例 题 9-4,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,以A为基点，C点的速度,方向vA与一致，由此,vCA,vA,vC,行星轮作平面运动，A点的速度可由系杆OA的转动求得,3. 求轮上C点的速度。,例 题 9-4,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,图所示平面机构中，曲柄OA=100 mm，以角速度 = 2 rads1转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E 沿水平面滚动。已知CD = 3CB，图示位置时A，B，E 三点恰在一水平线上，且CDED，试求此瞬时E点的
10、速度。,例 题 9-5,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,运 动 演 示,例 题 9-5,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,解：,由速度投影定理，杆AB上 A，B点的速度在 AB 线上投影相等，即,摇杆 CD绕C点作定轴转动,轮E沿水平面滚动，轮心E的速度水平，由速度投影定理，D，E 两点的速度关系为,vA,vB,速度投影法,求得,例 题 9-5,9.2 求平面图形内各点速度的基点法,一、问题的提出,若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？,二、速度瞬心,每一瞬时，任何平面图形内部或其扩大
11、部分内总存在一点其绝对速度为零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,三、速度瞬心法,在任一瞬时，平面图形上各点的速度方向垂直于该点与该瞬时的速度瞬心P的连线，其指向由 的转向决定，其大小与该点到速度瞬心P的距离成正比，等于该点到速度瞬心的距离与图形转动的角速度的乘积。,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,注意：速度瞬心的加速度不为于零。,四、确定速度瞬心位置的方法,P,A,1、已知图形上一点A的速度 和图形角速度，则从 开始，沿的方向转过90，作直线PA ，使 , 则P点即为该瞬时的速度瞬心。,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,2
12、、当一个图形沿另一个固定不动的图形轮廓作无滑动的滚动（即纯滚动）时，图形上的接触点P即为图形的速度瞬心。,A,B,P,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法, 动画,速度瞬心的确定,A,B,P,A,B,P,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法, 动画,速度瞬心的确定, 动画,速度瞬心的确定,A,B,A,B,5、已知某瞬时图形上A,B两点的速度平行且同向 ，并且 不垂直于AB，则由速度投影定理知，必有 ，该瞬时图形作瞬时平动，速度瞬心不存在，角速度为0，该瞬时图形上各点的速度相等，瞬时平动的图形上各点的加速度一般来说是不相等的（大小不等，方向也不相同）,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法, 动画
13、,速度瞬心的确定,椭圆规尺的A端以速度vA沿 x 轴的负向运动，如图所示，AB=l。试求B端的速度以及规尺AB的角速度。,用瞬心法解例1,例 题 9-6,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,运 动 演 示,例 题 9-6,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,O,B,A,x,y,对作平面运动的规尺AB ，分别作A和B两点速度的垂线，可得其速度瞬心Cv 。,B点的速度,用瞬心法也可求得规尺AB上任一点的速度。例如中点D的速度为,速度瞬心法,从而知规尺AB的角速度为,其方向垂直于DCv，且朝向图形转动的一方。,例 题 9-6,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,如图所示，节圆半径为r的行星齿轮
14、II由曲柄OA带动在节圆半径为R 的固定齿轮 I 上作无滑动的滚动。已知曲柄OA以匀角速度O 转动，求在图示位置时，齿轮II节圆上M1，M2，M3和M4各点的速度。图中线段M3M4垂直于线段M1M2。,例 题 9-7,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,解:,所以轮 II 上 M1，M2 ，M3 和 M4 各点的速度分别为：,各点的速度方向如图所示。,因为A点的速度,行星齿轮 II 上与固定齿轮 I 的节圆相接触的C点是齿轮II的速度瞬心，所以可利用瞬心法求齿轮 II 上各点的速度。为此先求轮 II 的角速度。,例 题 9-7,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,车厢的轮子沿直线轨道滚动而
15、无滑动，如图所示。已知车轮中心O的速度为vO。如半径R和r都是已知的，求轮上A1，A2，A3，A4各点的速度，其中A2，O，A4三点在同一水平线上，A1，O，A3三点在同一铅直线上。,例 题 9-8,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,因为车轮只滚动无滑动，故车轮与轨道的接触点C 就是车轮的速度瞬心。令为车轮转动的角速度，则,计算各点的速度,这些速度分别垂直于A1C ， A2C ， A3C 和A4C ，指向如图。,解：,速度瞬心法,例 题 9-8,9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法,已知：某瞬时平面图形的角速度为 ，角加速度为 ，以及图形上某点A的加速度,求：图形上任意一点B的加速度。,A点加速度已知，所以选取A点为基点意味着以A为原点建立了一个随同基点A一起运动的平动坐标系，则平面图形在其所在平面内的绝对运动可以看成随同基点A的平动和绕基点A的转动的合成。把图形上的B点选为动点，则 B点的绝对加速度,
