欣赏数学的真善美

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1、欣赏数学的真善美张奠宙柴俊世上万物， 以真善美为最高境界。数学自然也有自己的真善美。欣赏数学的真善美，就成为数学教育的一项重要任务。“教育形态的数学”与“学术形态的数学”之间的一个重大区别，就在于是否具有“数学欣赏”的内涵。但是，数学的真善美往往被淹没在形式演绎的海洋里，需要大力挖掘、用心体察才能发现、感受、体验和欣赏。欣赏，是教育的一部分。欣赏是需要指导、培育的。语文教学，旨在认识和欣赏人生的真善美；数学教育则是为了欣赏数学文化和数学思维的真善美。不过， 语文教育和数学教育有一个明显的差别。语文教育重在欣赏，比如语文课教学生欣赏古文，欣赏唐诗，却基本上不会作古诗，写古文。但是，从小学到大学，

2、数学教育的重点是“做题目” ，几乎不谈“欣赏”二字。数学教育缺少了“欣赏”环节，使得许多人无法喜欢数学，以至厌恶数学，远离数学。那么，怎样欣赏数学的真善美呢?大致有以下途径：对比分析，体察古今中外的数学理性精神；提出问题，揭示冰冷形式后面的数学本质；梳理思想，领略抽象数学模型的智慧结晶；构作意境，沟通数学思考背后的人文情景。以下我们用10 个案例加以说明。1 欣赏数学的“真” ，震撼于数学之理性精神爱因斯坦说过：“为什么数学比其他一切学科受到特殊的尊重?理由之一是数学命题的绝对可靠性和无可争辩性。至于其他各个学科的命题则在某种程度上都是可争辩的，经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中。”1 数

3、学的“真” ，是和数学所使用的逻辑演绎方法密切相关的。严密性是数学的特点。数学教学中重视逻辑推理，崇尚公理化的演绎方法是每一个数学教育工作者的共识。问题在于，既要讲推理，更要讲道理。2 如何使得学生能够体会到数学演绎的“真”?许多人认为，数学学好了，题目会做了， 思维自然就严密了。数学的“真”，也就在其中了，用不到什么特别的“数学欣赏”。其实不然。形式化表达的数学，犹如曲折表达的诗词，其背后掩蔽着的思想方法和文化底蕴，需要教师有意识地启发、点拨、解释，才能使学生有所领悟。例如，有意识地将古希腊的数学理性和日常思维进行对比分析，会使学生感到震撼。例 1 “对顶角相等”的教学欣赏点：这样明显的命题

4、为什么要证明? 这是平面几何开头的第一个定理。定理本身非常直观，无人质疑。 如果就事论事地解说一番，或者时髦地让学生“量一量”“拼一拼”那样地活动一下，都不能使学生获得数学之“真”的欣赏。事实上， 我们的主题不是 “对顶角相等” 的知识本身及其如何证明，关键点是要问：“这 样明显的命题要不要证明?”中国古代数学没有这样的命题。古希腊数学家提出这样的定理，认为需要证明，而且使用“等量减等量其差相等”的公理加以证明。两相对照，才知道自己的浅薄，古希腊理性精神的伟大。从“显然正确因而不必证明”到“崇尚理性需要证明”，是一次思想上的飞跃，可以说震撼了许多孩子们的“灵魂”，可是，现行的教材没有这样写，课

5、堂上教师也没有这样教。数学“欣赏”的这一缺失，当知我们努力之所在了。例2三角形的内角和为180 度欣赏点：“数学和物理学的区别”，数学结论的无可争辩性，绝对可靠性。这也是一个非常基础的几何命题现在的数学课程和教材，以及无数的公开课教案，都是强调让学生动手剪三个角，分别量， 再加起来得到结果；然后分组汇报，最后得到大体上是 180 度的结论。这样“活动”一番，命题就算成立了。这样做，背离了数学的“真”。可以说这不是数学，而是物理学。记得科普名作家谈祥伯先生说过这样的故事3 ：他是 1947 年上海大同中学的毕业生，60 年之后， 老同学聚会见面，几位研究物理学的“老同学”说，一个物理学定理成立，

6、只要重复做几次实验，结果都稳定地体现某一个规律，研究就算成功了。可是数学则不行。比如，哥德巴赫猜想是说“一个充分大的偶数必定可以表示为两个素数之和”，虽然我们已经用超级计算机验证过，凡小于 1013 的偶数都是两个素数之和，但是仍然不能说这个猜想已经成立。这是两种不同的思维形式。要欣赏数学的“真”，就必须挑明这两者的区别。数学地看“三角形内角和为180 度”的命题，“量一量”是不算数的。必须从平行公理出发用逻辑演绎方法加以证明。这样的认识， 不会自动产生。 只有教师把问题挑明了，学生感到数学推理的价值了，数学“欣赏”也就在其中了。总之，我们要欣赏数学的“真”，必须浓墨重彩地解说、对比、分析，不

7、能停留在形式的逻辑推演上。不要像“猪八戒吃人参果，吞到肚里却不知道是什么滋味”。数学运用符号，具有形式之美。 数学因为使用符号，显示其纯粹之真。线性相关和线性 无关是学生感到头疼的问题。例 3 线性相关与线性无关的定义欣赏点： “用数学符号形式化地定义是熟悉的特征，但是它背后的思想往往是很朴素的定义 (线性相关向量组)：如果向量组a1，a2，, ， am。中有一向量可以经其余的向量线性表出，这个向量组就叫做线性相关用符号写出来是：a1，a2，, ，am。称为线性相关，是指有 m 个不全为零的数k1，k2，, ，km，使K1a1+k2a2+ +kmam 0。如果一位教师直接把定义抄在黑板上，又逐

8、字逐句地解释了一遍，那么学生仍然不知道为什么要有这样的定义。复旦大学的张荫南教授指出，教师只要问：“这 n 个向量中哪些是必不可少的，哪些是多余的?”这就是线性相关背后的原始朴素思想。还可以更形象地问：“把 n 个向量比喻作一座房子的承重柱，哪几根是不可少的，哪几根是由其他柱子派生出来并不承重的?”那就更加清楚了。数学欣赏的语言不在多，画龙点睛地提出问题，把原始的底牌翻开来，数学之“真”，就很容易理解了。当然，最后还要过渡到符号表示的形式。以下，我们用瞬时速度来理解导数之真。例 4 “飞矢不动”与“瞬时速度”。欣赏点：“辩证精密思维的典范，微积分思维的人文意境”。微分学的精髓在于认识函数的局部

9、。如何透过微积分教材的形式化陈述，真正领略微积分的思考本质，是微积分教学的一项重要任务。把直觉的瞬时速度，化为可以言传的瞬时速度，需要克服“飞矢不动”的芝诺悖论。古 希腊哲学家芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的?”“那还用说，当然是动的。”“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的?”“不动的，老师。 ”“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢?”“也是不动的，老师” 。“所以，射出去的箭是不动的。”中国战国时代“名辩”思潮中的思想巨子惠施(约公元前370公元前310 年)提出“飞鸟之景，未尝动也” ，这句话的意思是说天空中飞着的鸟实际上是不动的，和芝诺的观点如出一辙。孤立地仅就一个

10、时刻而言，物体确实没有动。但是物体运动有其前因后果。于是就很自然地先求该时刻附近的平均速度，然后令时间间隔趋向于0，以平均速度取极限作为瞬时速度。可以意会的直觉，终于能够言传。 微积分教学把原始的思考显示出来，就会让学习者知道导数并非是天上掉下来的“林妹妹”。一点的附均速度，极限，这一连串的思考，揭开了瞬时速度的神秘面纱。以上的论断告诉我们，考察函数不能孤立地一点一点考察，而要联系其周围环境。这个就是微积分的核心思想之一：考察“局部”。微积分的 “真”，通过局部的精密分析显示出来，使人觉得“妙不可言” 。常言道，“聚沙成塔，集腋成裘”，那是简单的堆砌。其实，科学地看待事物，其单元并非一个个孤立

11、的点，而是一个有内涵的局部。人体由细胞构成，物体由分子构成，社会由乡镇构成，所以费孝通的“江村调查”，解剖一个乡村以观察整体，竟成为中国社会学的经典之作。同样，社会由更小的局部家庭构成，所以，我们的户口以家庭为单位。古语说“近朱者赤，近墨者黑”。看人，要问他(她)的身世、家庭、社会关系，孤立地考察一个人是不行的。函数也是一样，孤立地只看一点的数值不行，还要和周围点上的函数值联系起来看。微积分就是突破了初等数学“就事论事”、孤立地考察一点、不及周围的静态思考，转而用动态地考察“局部”的思考方法，终于创造了科学的黄金时代。局部是一个模糊的名词。没有说多大，就像一个人的成长，大的局部可以是社会变动、

12、乡土文化、学校影响，小的可以是某老师、某熟人，再小些仅限父母家庭，各人的环境是不同的。 最后我们把环境中的各种影响汇集起来研究某人的特征。同样， 微积分方法就是考察函数在一点的周围，然后用极限方法确定函数在该点的性态。微积分阐述的“局部”思维，是精密的思维过程，体现了数学的“真”。2 欣赏数学的“善” ，震撼于数学模型之深刻数学知识推动社会科技与文明的发展，以其独特的方式为人类文明的发展服务，这是数 学“善”的表现。钱学森在对人类知识分类时，认为“数学”应与“哲学”并列。如果说哲学是社会科学和自然科学在“规律”上的概括，那么数学就是社会科学与自然科学在“数量”上的概括。数学应用的广泛性，是数学

13、“善”的集中表现。数学应用，主要通过建立数学模型来体现。例 5 代数模型：三根导线的例子欣赏点：“在看不见数学的地方，构建数学模型，感受数学思维之深刻。什么是代数 ?中小学教材上异口同声重复着的一个习惯说法是：“代数就是用文字代表数” 。这一概括其实是不准确的。例如，小学里讲自然数的交换律，就写了AB BA，这里，用文字 A、B 代表任意的自然数，可是这和代数无关。代数建模的核心思想是“文字参与运算” 。也就是说， 代数的实质是用文字代表未知数，而且由文字代表的“未知数”和已知数可以进行运算，即进行“式”的运算。20 世纪 90 年代的一天，陈振宣先生对我说了一个“三根导线”的故事。他的一个学

14、生毕业后在和平饭店做电工。工作中发现在地下室控制10 层以上房间空调的温度不准。经过分析， 原来是空调使用三相电，而连接地下室和空调器的三根导线的长度不同，因而电阻也不同。剩下的问题是，如何测量这三根电线的电阻呢?显然，用电工万用表无法测量这样长的电线的电阻， 于是这位电工想到了数学。他想： 一根一根测很难，但是把三根导线在高楼上两两相连接，然后在地下室测量“两根电线”的电阻是很容易的。如图1，设三根导线电阻是 x、y、z。于是，他列出以下的三元一次联立方程X+y a， y+z=b， z+x=c ，解之，即得三根导线的电阻。这样的方程谁都会解。但是，能够想到在这里用方程，才是真正的创造啊!我为

15、这位电工的数学意识所折服。袁枚曾说：“学如箭镞，才如弓弩，识以领之，方能中鹄。”有知识，没有能力，就像只有箭，没有弓，射不出去。但是有了箭和弓，还要有见识，找到目标，才能打中。 上面的例子说明，解这样的联立方程，知识和能力都不成问题，难的是要具有应用联立方程的意识和眼光，在看不见数学的地方，创造性地运用数学。这使我们联想起第二次大战以后，1948 年时在美国出现的三项伟大数学成就(图 2)。这三项数学成就，不是通常我们所解决的那些数学问题。普通人无法想象：打电报传送的信息， 可以是数学研究的对象吗?用大脑控制手去拾地下的铅笔，可以构成 “数学控制论”吗?研究数字电子计算机会改变时代吗?他们三个

16、人在1948 年不约而同地做出了创造性的贡献。在别人看不见的地方，发现了数学问题，解决了数学问题，这是最大的数学创新。也是数学解决问题之深刻的集中表现。在看起来 “没有数学问题”的地方发现数学问题，那往往是“大”的数学创造，和平饭店的那位电工同志解决数学问题的可贵，也正在此。对基础教育来说，如何培养学生欣赏这样深刻而重大的“数学”之善，值得深思。例 6 坐标的价值。欣赏点： 用坐标确定位置，那是地理学的目标。坐标系的数学价值远超出“确定位置” 。近年来，平面直角坐标系的引进，成为中学数学公开课的热门课题。大量的教学案例，都是让学生用一对有序的数来确定位置。许多教案让学生站成几排，用坐标来表示位置，上上下下好不热闹。事实上， 这都不是平面坐标系的本质。用纵横交错的方法确定位置，用经纬度表示一个地点的位置，乃是常识， 准确地说是地理学的任务。数学使用坐标系，则远超于此，其实质是要用坐标表示数学对象。请看上海长宁区的教师是怎样做的。先把教室的课桌椅并拢，以某同学为原点，两条绑有箭头的塑料绳按相互垂直的方向摆放形成坐标轴。于是每个同学都