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1、2018/9/1,机械工程,第五章 系统的稳定性,系统首要条件:系统稳定。分析系统稳定性是经典控制理论的重要组成部分，经典控制理论对于判定一个定常线性系统是否稳定提供了多种方法。 着重介绍几种定常线性系统的稳定性判据及其使用，以及提高系统稳定性的方法。 1.介绍线性系统稳定性的初步概念。 2.介绍Routh与Hurwitz判断； 3.阐述Nyquist稳定判据，即如何通过系统的开环频率特性的Nyquist图来判断相应的闭环系统的稳定性。 4.介绍Bode判据，进而讨论系统相对稳定性的问题。,2018/9/1,机械工程,5.1 系统稳定性的初步概念,5.1.1 系统不稳定现象的发生如图5.1.1
2、所示的液压位置随动系统，从油源来的压力为Ps的压力油，经伺服阀和两条软管以流量进入或流出油缸，阀芯相对于阀体获得输入位移 后，活塞输出位移 ，此输出再经活塞与阀体的刚性联系，即经反馈联系B反馈到阀体上，从而改变了阀芯与阀体的相对位移量，这样就组成一个闭环系统，它保证活塞跟随阀芯的运动而运动。,2018/9/1,机械工程,2018/9/1,机械工程,阀芯受外力右移，即输入位移 后，控制口2、4打开，控制口3，1关闭，压力油进入左缸，右缸接通回油，活塞向右移动。当外力去掉后，阀芯停止运动,活塞滞后于阀芯,继续右移,直至控制口2关闭，回到原来的平衡位置。因移动的活塞有惯性，在伺服阀的平衡位置，活塞仍
3、不能停止，继续右移。因而使控制口1，3打开，2，4关闭，压力油反过来进入右缸，左缸接能回油，这使活塞反向（向左）移动，并带动阀体左移，直至阀体与阀芯回复到原来的平衡位置。,2018/9/1,机械工程,但活塞因惯性继续左移，使油路又反向这样，阀芯在原位不动的情况下，活塞与阀体相对阀芯反复振荡。由于所选择的系统各参数（如质量、阻尼和弹性等）不同，当系统是线性系统时，这种振荡可能是衰减的（减幅的），也可能是发散的（增幅的）或等幅的，如图5.1.2（a）、（b）、（c）所示。当这种自由振荡是增幅振荡时，就称系统是不稳定的。,2018/9/1,机械工程,2018/9/1,机械工程,系统的不稳定现象值得注
4、意几点： 首先，线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。如上例，系统在输入撤消后，从偏离平衡位置所处的初始状态出发，因系统本身的固有特性而产生振动的线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构与参数，而与输入无关（非线性系统的稳定性是与输入有关的）。 其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。如原系统是稳定的，那么加入反馈后就形成为闭环系统，可能产生不稳定；如原系统是不稳定的，加入反馈后就形成为闭环系统，更可能不稳定。,2018/9/1,机械工程,2018/9/1,机械工程,当输入 撤消后，此闭环系统就以初始偏差 作为进一步运动的信号，产生输出 ，而反馈联系不断将输出 反馈回
5、来，从输入 中不断减去（或加上） 。 若反馈的结果，削弱了 的作用（即负反馈），则使 越来越小，系统最终趋于稳定； 若反馈的结果，加强了 的作用（即正反馈），则使 越来越大，此时，此闭环系统是否稳定，则视 是收敛还是发散而定。,2018/9/1,机械工程,第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。即讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即讨论系统自由振荡是收敛的还是发散的；或者：讨论系统初始状态为零时，系统脉冲响应是收敛的还是发散的。至于用激振或加外力方法施以强迫振动或运动，因而造成系统共振（或称谐振）或偏离平衡位置越来越远，这不是控制理论所要讨论的稳定性。,2
6、018/9/1,机械工程,5.1.2 稳定的定义和条件若系统在初始状态下（不论是无输入时的初态，还是输入引起的初态，还是两者之和）的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称该系统为稳定的；反之，若在初始状态影响下，由它所引起的系统的时间响应随时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称该系统为不稳定的。根据上述稳定性的定义，可以用下述两种方法，分别求得定常线性系统稳定性条件。,2018/9/1,机械工程,方法（1）：设定常线性系统的微分方程为：式中， 若记 并对式（5.1.1）作Laplace变换，得式中 为系统传递函数。,（5.1.1）,（5.1.2）,2018
7、/9/1,机械工程,是与初始条件 输出 及其各阶导数 在输入作用前 时刻的值，即系统在输入作用前的初始状态有关的多项式。 研究初始状态 影响下系统的时间响应时，可在式（5.1.2）中取 得到这一时间响应（即零输入的响应）：若 为系统特征方程 的根（或称系统的特征根，亦即系统的传递函数的极点），当 （ ）各不相同时，有：,2018/9/1,机械工程,式中，由上可知，若系统所有特征根 的实部均为负值，即Resi0,则需输入响应最终将衰减到零，即 ，这样的系统就是稳定的。反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应随时间的推移而发散，即 ，这样的系统就是不稳定的。,（5.1.3）,2018
8、/9/1,机械工程,上述结论对于任何初始状态（只要不使系统超出其线性工作范围）都是成立的，而且当系统的特征根具有相同值时，也是成立的。式（5.1.1）右端各项系数，对系统稳定性没有影响，相当于系统传递函数G（s）的各零点的稳定性没有影响。 这些参数反映系统与外界作用的关系，反映了外界输入作用于同一系统的不同处的特性，不影响系统稳定性这个系统本身的固有特性。,2018/9/1,机械工程,方法（2）： 若对线性系统在初始状态为零时输入单位脉冲函数 （这实际上是瞬间干扰），使系统具有一个初态。再由此初态出发，可得到一个输出，即单位脉冲响应 的形式与零输入响应的形式相同， 显然， 则系统稳定； 则系统
9、不稳定 。,2018/9/1,机械工程,因为因此系统的单位脉冲响应这一结论与第三章有关结论是一致的，可见只有当 系统的全部特征根 都具有负实部时，才有,(5.1.4),（5.1.5）,2018/9/1,机械工程,无论是无输入时的初态或输入所引起的初态，或只是输入所引起的初态，则系统是否稳定应由此时的过渡过程随着时间的推移是否收敛至一个稳态响应来决定，而这是与本小节开始时讲的系统的稳定性的定义是一致的；过渡过程是否收敛也仅仅取决于系统的全部特征根是否都具有负实部。,2018/9/1,机械工程,系统稳定的充要条件为：系统的全部特征根都具有负实部；反之，若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部，则系
10、统必不稳定。也就是说，若系统传递函数 的全部极点均位于s平面的左半平面，则系统稳定；反之，若有一个或一个以上的极点位于s平面的右半平面，则系统不稳定；若有部分极点位于虚轴上，而其余的极点均在s平面的左半平面，则系统称为临界稳定，即 趋于等幅谐波振荡。,2018/9/1,机械工程,由于对系统参数的估算或测量可能不够准确，而且系统在实际运行过程中，参数值也可能有变动，因此原来处于虚轴上的极点实际上可能变动到s平面的右半面，致使系统不稳定。从工程控制的实际情况看，一般认为临界实际上往往属于不稳定。应当指出，不稳定区不包括虚抽所通过的坐标原点。这一点上，相当于特征方程之根 ，系统仍属稳定。,2018/
11、9/1,机械工程,5.1.3 关于稳定性的一些提法,1、（李亚普诺夫）意义下的稳定性 由上分析可知，对于定常性系统而言，系统由一定初态此起的响应随着时间的推移只有三种：衰减到零；发散到无穷大；趋于等幅谐波振荡。从而定义了系统是稳定的；不稳的；临界稳定的。但对于非线性系统而言，这种响应随着时间的推移不仅可能有上述三种情况，而且还可能趋于某一非零的常值或作非谐波的振荡，同时还可能由初态不同，这种响应随着时间推移的结果也不同。,2018/9/1,机械工程,俄国学者A.M.在统一考虑了线性与非线性系统稳定性问题后，于1882年对系统稳定性提出了严密的数学定义，这一定义可以表述如下如图5.1.4所示，若
12、o为系统的平衡工作点，扰动使系统偏离此工作点心起始偏差（即初态）不超过域 ，由扰动引起的输出（这种初态引起的零输入响应）及其终态不超过预先给定的某值，即不超出域 ，则系统称为稳定的，或称为意义下稳定。,2018/9/1,机械工程,2018/9/1,机械工程,这也就是说，若要求系统的输出不能超出任意给定的正数，能在初态为式中 则系统称为在意义下稳定；反之，若要求系统的输出不能超出任意给定的正数 ，但却不能找到不为零的正数来满足式(5.1.6)，则系统称为在意义下不稳定。,(5.1.6),2018/9/1,机械工程,2、渐近稳定性渐近稳定性就是前面对线性系统定义的稳定性，它要求由初态引起的响应最终
13、衰减到零，一般所讲的线性系统的稳定性，也就是渐近稳定性，当然，也是意义下的稳定性；但对非线系统而言，这两种稳定性是不同的。比较渐近稳定性与意义下的稳定性可知，前者比后者对系统的稳定性的要求高，系统若是渐近稳定的则一定是意义下稳定的，反之则不尽然。,2018/9/1,机械工程,3、“小偏差”稳定性“小偏差”稳定性又称“小稳定”或“局部稳定性”。 由于实际系统往往存在非线性，因此系统的动力学方程往往是建立在“小偏差”线性化的基础之上的。在偏差较大时，线性化带来的误差太大，因此，用线性化方程来研究的稳定性时，就只限于讨论初始偏差（初态）不超出某一微小范围时的稳定性，称之为“小偏差”稳定性。初始偏差大
14、时，就不能用来讨论系统的稳定性。,2018/9/1,机械工程, 5.2 Routh（劳斯）稳定判据,判别系统的稳定性，也就是要解出系统特征方程的根，看这些根是否均具有负实部。 在实际工程系统中，根的求解就较困难，通过讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，以此来判别系统的稳定性，由此形成了一系列稳定性判据。 其中最重要的一个判据就是1884年由E.J.Routh提出的Routh判据。,2018/9/1,机械工程,5.2.1 Routh判据,Routh判据是基于方程根和系数的关系建立的，它是判别系统稳定性的充要条件-代数判据。 1.系统稳定的必要条件 设系统特征方程为：将式（5.2.1）中各项
15、同除以an并分解因式，得式中， 为系统的特征根，再将式（5.2.2） 右边展开，得:,（5.2.1）,（5.2.2）,（5.2.3）,2018/9/1,机械工程,比较式（5.2.2）与式（5.2.3）可看出根与系数有 如下的关系：,（5.2.4）,2018/9/1,机械工程,从式（5.2.4）可知，要使全部特征根 均具有负实部，就必须满足以下两个条件，即系统稳定的必要条件:（1）特征方程的各项系数 都不等于零，因为若有一系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足式（5.2.4）中各式。 （2）特征方程的各项系数 的符号都相同，这样才能满足式（5.2.4）中各式。,2018/9/1,机械工程,按习惯，一般取 为正值，因此，上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即当然，由式（5.2.4）还可看出，仅仅有各项系数 ,还不一定能判定 均具有负实部，也就是说，系统要稳定，必须满足式（5.2.5）；而满足(5.2.5），系统可能稳定，也可能不稳定。,
