机械优化设计第四章

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1、第四章 约束问题的最优化方法,4.1 引言4.2 内点惩罚函数法4.3 外点惩罚函数法4.4 混合惩罚函数法4.5 随机方向搜索法4.6 复合形法4.7 可行方向法4.8 约束优化设计方法小结,4.1 引言,无约束优化方法是优化方法中最基本最核心的部分。但是，在工程实际中，优化问题大都是属于有约束的优化问题，即其设计变量的取值要受到一定的限制，用于求解约束优化问题最优解的方法称为约束优化方法。,根据约束条件类型的不同可以分为三种，其数学模型分别如下： 1、不等式约束优化问题（IP型）,2、等式约束优化问题（EP型）,3、一般约束优化问题（GP型）,直接解法：即直接从可行域中寻找约束最优解。如：

2、约束坐标轮换 法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法；特点：优点：算法简单、直观性强、对函数无特殊要求；缺点：计算量大、收敛慢，效率低。适用场合：维数低、函数复杂、精度要求不高的问题。间接解法：即将复杂的原优化问题转化为一系列简单的容易求解的子问题，用这一系列子问题的解去逼近原问题的解。如：简约梯度法、内点惩罚函数法、外点惩罚函数法、混合惩罚函数法。,约束优化问题解法分类： 约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。,二. 直接解法：,基本思想：合理选择初始点，确定搜索方向，以迭代公式 x(k+1)= x(k)+(k)S(k)在可行域中寻优，经过若干次迭代，收敛至最优点。,基本

3、要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。 可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足 gu(x)0, u=1,2,p,适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点是下降的，即满足 F(xk+1)F(xk),适用范围：只能求解不等式约束优化问题的最优解。,特点： 在可行域内进行； 若可行域是凸集，目标函数是定义在凸集上的凸函数， 则收敛到全局最优点；否则，结果与初始点有关。,收敛条件：边界点的收敛条件应该符合 K-T 条件；内点的收敛条件为：,目的：将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。 前提：一不能破坏约束问题的约束条件，二

4、使它归结到原约束问题的同一最优解上去。 惩罚函数法：通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而用无约束最优化方法去求解。惩罚函数法是一种使用很广泛、很有效的间接解法。 基本思想：以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函数 ( x, r1 ,r2 )，将约束优化问题转化为无约束优化问题。通过不断调整加权因子，产生一系列函数的极小点序列 x(k)* (r1(k),r2(k) k= 0,1,2 ，逐渐收敛到原目标函数的约束最优解。,三. 间接解法：,新目标函数：,加权因子（即惩罚因子）： r1 , r2,无约束优化问题：,函数的极小点序列 x (k)* ( r1 (k) ,

5、 r2 (k) ) k= 0,1,2 其收敛必须满足：,其中 和 称为加权转化项，并根据它们在惩罚函数中的作用，分别称为障碍项和惩罚项。障碍项：当迭代点在可行域内时，在迭代过程中阻止迭代点越出边界。惩罚项：当迭代点在非可行域或不满足不等式约束条件时，在迭代过程之中迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。,分类：根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函数法可分为内点法、外点法和混合罚函数法三种。这种方法是1968年由美国学者AVFiacco和GPMcormick提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。,适用范围：求解等式约束优化问题和一般约束

6、优化问题。,4.2 内点惩罚函数法（障碍函数法）,一. 基本思想：,内点法将新目标函数 ( x , r ) 构筑在可行域 D 内，随着惩罚因子 r(k) 的不断递减，生成一系列新目标函数 (xk ,r(k)，在可行域内逐步迭代，产生的极值点 xk*(r(k) 序列从可行域内部趋向原目标函数的约束最优点 x* 。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。,二. 惩罚函数的形式：,其中：惩罚（加权）因子降低系数 c： 0 c 1,例： 用内点法求,的约束最优解。,解: 首先构造内点惩罚函数:,用解析法求函数的极小值，运用极值条件：,联立求解得：,时不满足约束条件,应舍去 。,无约束极值点为：,当

7、,内点法的迭代过程在可行域内进行，“障碍项”的作用是阻止迭代点越出可行域。,三. 步骤：,选取合适的初始点 x(0) ，以及 r(0)、c、计算精度 1、2 ，令 k=0；,2. 构造惩罚（新目标）函数；,3. 调用无约束优化方法，求新目标函数的最优解 xk* 和 (xk , r(k) ) ；,4. 判断是否收敛：运用终止准则,若均满足，停止迭代，有约束优化问题的最优点为 x* = xk*； 若有一个准则不满足，则令 并转入第 3 步，继续计算。,四. 几个参数的选择：,2. 惩罚因子初始值 r(0) 的选择：,1. 初始点 x (0) 的选择：,要求： 在可行域内； 不要离约束边界太近。如太

8、靠近某一约束边界，构造的惩罚函数可能由于障碍项的值很大而变得畸形，使求解无约束优化问题发生困难.,方法： 人工估算，需要校核可行性； 计算机随机产生，也需校核可行性。,惩罚因子的初值应适当，否则会影响迭代计算的正常进行。一般而言，太大，将增加迭代次数；太小，会使惩罚函数的性态变坏，甚至难以收敛到极值点。对于不同的问题，都要经过多次试算，才能决定一个适当 r0。,3. 降低系数 c 的选择：,在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递减到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为 :,式中的c称为惩罚因子的缩减系数，c为小于1的正数。一般的看法是，c值的大小在迭代过程中不起决定性作用，通常的取值

9、范围在0.10.7之间。,4. 收敛条件：,五. 方法评价：,用于目标函数比较复杂，或在可行域外无定义的场合下：由于优化过程是在可行域内逐步改进设计方案，故在解决工程问题时，只要满足工程要求，即使未达最优解，接近的过程解也是可行的；初始点和序列极值点均需严格满足所有约束条件；不能解决等式约束问题。,六. 举例：盖板问题,b,h,ts,tf,设计一个箱形截面的盖板。已知：长度 l0= 600cm，宽度 b = 60cm，侧板厚度 ts = 0.5cm，翼板厚度为 tf(cm)，高度为 h(cm)，承受最大的单位载荷 q = 0.01Mpa。,要求：在满足强度、刚度和稳定性等条件下，设计一个最轻结

10、构。,优化方法：选用内点惩罚法，惩罚函数形式为：,调用 Powell 法求序列无约束优化极值，以逐渐逼近原问题的极值点。,设计分析：（略）,数学模型：,4. 求解过程分析：,4.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法）,一. 基本思想：,外点法将新目标函数 ( x , r ) 构筑在可行域 D 外，随着惩罚因子 r(k) 的不断递增，生成一系列新目标函数 (xk ,r(k)，在可行域外逐步迭代，产生的极值点 xk*(r(k) 序列从可行域外部趋向原目标函数的约束最优点 x* 。,4,外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。,二. 惩罚函数的形式：,外点法的迭代过程在可行域之外进行，惩罚项的作

11、用是迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。,例： 用外点法求解下列有约束优化问题,解：惩罚函数为：,对上式求偏导，得,无约束目标函数极小化问题的最优解系列为：,当惩罚因子渐增时，由下表可看出收敛情况。,三. 参数选择：,1. r (0) 的选择:r (0) 过大，会使惩罚函数的等值线变形或偏心，求极值困难。r (0) 过小，迭代次数太多。,2. x(0) 的选择：基本上可以在可行域内外，任意选择。,3. 递增系数a 的选择：通常选择 5 10，可根据具体题目，进行试算调整。,四. 步骤：,2. 构造惩罚（新目标）函数，调用无约束优化方法，求新目标函数 的最优解 xk* 和 (xk , r(k)

12、 ) ；,3.,4. 判断是否收敛：运用终止准则,若均满足，停止迭代，有约束优化问题的最优点为 x* = xk*； 若有一个准则不满足，则令 并转入第 2 步，继续计算。,1. 选择合适的初始点x(0)，并选择 r(0), a, 1, 2, 0，令 k=0 ；,五. 方法评价：,初始点原则上可任意选择;能解决等式约束问题;由于优化过程是在可行域外进行，故在解决工程问题时，过程解均不可行。,内点法: （1）始点必须为严格内点； （2）不适于具有等式约束的数学模型； （3）迭代过程中各个点均为可行设计方案； （4）一般收敛较慢； （5）初始罚因子要选择得当； （6）罚因子为递减，递减率c有01；,

13、内点法和外点法的对比,4.4 混合惩罚函数法,一. 基本思想：,采用内点法和外点法相结合的混合惩罚函数法，用内点法处理不等式约束，用外点法处理等式约束。可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。,二. 惩罚函数的形式：,一般既包括障碍项，也包括衰减项。,一、基本思想：,随机产生初始点，随机产生搜索方向 S(k) ，进行搜索。但要确保： 新迭代点在可行域中； 目标函数值的下降性。,随机方向探索法的一般迭代计算公式为：X(k+1)=X(k)+aS(k) (k=0,1,2,)式中：a为步长，S(k) 为第k次迭代的随机探索方向。因此，随机方向探索法的计算过程可归结为：,4.5 随机方向法,在约束可行

14、域S内选取一个初始点X0，在不破坏约束的条件下以合适的步长a0。沿X(0)点周围几个不同的方向（以某种形式产生的随机方向）进行若干次探索，并计算各方向上等距离（步长a0）点的函数值，找出其中的最小值f（X(l)）及点X(l)。若f（X(l)）f（X(0)），则继续沿方向（X(l)-X(0)）以适当的步长a向前跨步，得到新点X(1)，若f（X(1)）老f（X(l)）， 则将新的起点移至X(1) ，重复 前面过程。否则应缩短步长a， 直至取得约束好点。如此循环 下去。当迭代的步长已经很小时，则表明已经逼近约束最优点。达到计算精度要求时，即可结束迭代计算。,随机方向法的基本原理,基本思路：,随机方向

15、法中的两个关键问题：,初始点的选择：随机方向法的初始点 必须是一个可行点，即必须满足全部约束条件：当约束条件条件比较简单时，可在可行域内人为确定一个初始点。当约束条件条件比较复杂时，则采取随机选择方法，即利用计算机产生的伪随机数来选择可行初始点。随机搜索方向的产生：,三.初始点产生：, 估计设计变量的上、下限：xil x i xiu ，i=1,2,n； 在区间0,1中产生伪随机数列 ri ，xi(0) = xil + ri ( xiu - xil )； 判断是否 gu (xi(0) ) 0；若满足，则 x(0) = xi(0) 若不满足，则转向。,二.随机数的产生：,1. 伪随机数： 用数学模型，从计算机（的随机数发生器）中产生的随机数。,随机数的特性有较好的概率统计特性 抽样的随机性； 分布的均匀性； 前后数之间的独立性； 周期性长。,四. 可行搜索方向产生：,x(0),x(m),x(1),x(2),x(j),x(l),H(0),