《北航自控b-3(2005)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北航自控b-3(2005)（163页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 时域分析法,控制系统的数学模型，是分析、研究、设计控制系统的基础。一旦建立起合理的、便于分析的控制系统数学模型，就可以运用适当的方法对系统的控制性能进行全面的分析和计算。对于线性定常系统，常用的工程方法有时域分析法、根轨迹法和频率法。后两种方法都是以时域分析法为基础，并且应用了时域分析法中的许多结论。,时域分析法是根据系统的微分方程，以拉普拉斯变换作为数学工具，直接解出控制系统的时间响应。然后，依据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的控制性能，如稳定性、快速性、稳态精度等，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。,时域分析法是一种直接分析法，还是一种比较准确的方法，可以提供系统时间响
2、应的全部信息。,时域分析法的特点：,3.1 典型输入信号及性能指标,一个系统的时间响应，不仅取决于系统本身的结构与参数，而且还与系统的初始状态以及加在系统上的外作用信号有关。,为了分析和比较控制系统的优劣，通常对初始状态和外作用信号做一些典型化处理。,初始状态：零状态,即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。,外作用：,一、典型输入信号,1单位阶跃函数,其数学表达式为,其拉氏变换为,2单位斜坡函数,其数学表达式为,其拉氏变换为,3单位加速度函数,其数学表达式为,其拉氏变换为,4单位脉冲函数,其数学表达式为,其拉氏变换为,5正弦函数,其数学表达
3、式为,其拉氏变换为,二、阶跃响应的性能指标,分析时假定控制系统是单位反馈的、初始条件为零、给定输入为单位阶跃函数。,控制系统的时间响应，从时间顺序上，可以划分为过渡过程和稳态过程。,过渡过程是指系统从初始状态到接近最终状态的响应过程。,稳态过程是指时间趋于无穷时系统的输出状态。,td,延迟时间td,tr,上升时间tr,峰值时间tp,tp,超调量%,%,调节时间ts,误差带,ts,振荡次数N,稳态误差ess,控制系统的典型单位阶跃响应,ess=1-h(),快速性,稳态误差,平稳性,最终(稳态)精度,3.2 一阶系统分析,由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。,一、一阶系统的数学模型,一阶系统的
4、微分方程为,其闭环传递函数为,惯性环节,惯性环节,惯性环节,惯性环节,惯性环节,二、一阶系统的单位阶跃响应,单位阶跃输入的拉氏变换为,取C(s)的拉氏变换，可得一阶系统的单位阶跃响应,则,或写成,一阶系统中的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线。响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。,css=1 代表稳态分量,代表动态分量,没有超调 量；,调节时间ts=3T(5%)ts=4T(2%),没有稳态误差，即,初始斜率：,解：,(1) 由结构图写出闭环传递函数,从(s)的分母多项式看出时间常数T=0.1秒，故调节时间,(2) 计算ts0.1秒的反馈系数值,设反馈系数为
5、Kh，则系统闭环传递函数,故,要求ts=0.1秒，代入上式得,所以,调节时间,练习：,根据定义，求一阶系统的动态性能指标：td= ?tr= ?,3.3 二阶系统分析,由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。,一、二阶系统的数学模型,二阶系统的微分方程一般式为：,n称为无阻尼自然频率或固有频率 称为阻尼比,阻尼比符号 ,闭环传递函数为,其闭环特征方程为,方程的特征根为,特征根分析：二阶系统的特征根(闭环极点) 在s平面上的分布,欠 阻 尼状 态,临界阻尼 状 态,过 阻 尼状 态,零 阻 尼状 态,负 阻 尼状 态,负 阻 尼状 态,二、二阶系统的单位阶跃响应,1.过阻尼1的情况,系统闭环特征方
6、程有两个不相等的负实根。,式中,于是闭环传递函数为,因此，过阻尼二阶系统可以看成两个时间常数不同的惯性环节的串联。,当输入为单位阶跃信号时,系统的输出,取C(s)的拉氏反变换，得到单位阶跃响应,稳态分量为1，动态分量为两项指数项。,过阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线,过阻尼二阶系统调节时间特性,取相对变量ts/T1及T1/T2经机器解算后制成曲线。 当T1=T2(=1的临界阻尼情况): 调节时间ts=4.75T1； 当T1=4T2(=1.25)时:ts3.3T1； 当T14T2(1.25)时:ts3T1。,2.临界阻尼=1的情况,取C(s)的拉氏反变换，得临界阻尼下二阶系统的单位阶跃响应,3.欠
7、阻尼01的情况,欠阻尼二阶系统具有一对实部为负的共轭复根，时间响应呈衰减振荡特性，故又称为振荡环节。,系统闭环传递函数的一般形式为,特征根为一对共轭复根, 衰减系数 d 阻尼振荡频率,当输入信号为单位阶跃作用时,取C(s)的拉氏变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应,或者写成,系统的响应由稳态分量和动态分量两部分组成，稳态分量的值等于1，动态分量是一个随时间t的增长而衰减的振荡过程。,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线,采用无因次时间nt作为横坐标，则时间响应就仅仅是阻尼比的函数。,阻尼正弦振荡的滞后角为, =0.707时的单位阶跃响应曲线,二阶系统单位阶跃响应的通用曲线,平稳性：阻尼比越大，超调
8、量越小，响应的振荡倾向越弱，平稳性越好。反之，阻尼比越小，振荡越强，平稳性越差。,当 =0时，零阻尼响应为,响应为具有频率为n的不衰减(等幅)振荡。,结论：要使系统单位阶跃响应的平稳性好，就要求阻尼比大，自然频率n小。,阻尼比和超调量%的关系曲线,快速性： 过大，系统响应迟钝，调节时间ts长，快速性差； 过小，虽然响应的起始速度较快，但因为振荡强烈，衰减缓慢，所以调节时间ts也长，快速性差。,对于一定的阻尼比 ，所对应的无因次时间的响应是一定的。因此，当一定时，n越大，调节时间ts也就越短，即快速性越好。,稳态精度：瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1。因此，欠阻尼二阶系统的单位阶
9、跃响应不存在稳态误差。,三、欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标,1.上升时间tr：单位阶跃响应曲线第一次到达稳态值的时间就是上升时间。,因为,所以,所以,即,2.峰值时间tp ：响应曲线达到第一峰值所需的时间。,对时间t求导并令其为零，可得到峰值时间。,则,到达第一个峰值时应满足,所以,峰值时间等于阻尼振荡周期的一半。,3.超调量%,超调量的定义,将峰值时间表达式代入单位阶跃响应表达式，得到输出量的最大值,所以,超调量只是阻尼比的函数。,阻尼比和超调量%的关系曲线,4.调节时间ts,无因次调节时间nts与阻尼比之间的关系曲线:如n一定，则ts先随的增大而减小,达到最小值之后，随的增大而又增大。
10、,无因次调节时间nts与阻尼比的关系曲线,曲线的不连续性解释： n一定，不同,由图看出： 实际响应的收敛速度总是比包络线要快。,根据调节时间的定义，调节时间满足下列不等式,即,而h(t)的稳态值 h()=1,因此,而,将条件改为,解得,若取=5%得,若取 =2%得,当阻尼比 0.8时，近似取为,设计二阶系统时，一般取0.707作为最佳阻尼比。,5.振荡次数N,振荡次数N是在0tts时间间隔内，系统的单位阶跃曲线h(t)穿越其稳态值直线h()的次数之半,即,若取2误差带, ,则,若取5误差带, ,则,则振荡次数,振荡次数N与的关系,例 设位置随动系统的开环传递函数 当给定位置为单位阶跃时，试计算
11、放大器增益KA=200时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间tp、调节时间ts和超调量 。如果将放大器增益增大到KA=1500或减小到KA=13.5，那么对响应的动态性能有何影响？,解：由于系统是单位负反馈，所以环传递函数,将KA=200代入上式,对照标准形式,得到,故峰值时间,调节时间,超调量,如果KA增大到KA=1500，同样可计算出,则,当KA减小到13.5时，可以算出,系统成为过阻尼二阶系统，峰值和超调量不复存在，而调节时间ts等效为大时间常数T1的一阶系统来计算，得到的值为,不同KA时的阶跃响应曲线,例 设系统结构图如图所示，若要求系统具有性能指标20， tp=1(s)，试确定系统
12、参数K和，并计算 单位阶跃响应的td， tr和ts。,解: 由图知，系统闭环传递函数为,由与 的关系式解得,与传递函数标准形式相比，可得,再由峰值时间计算式，算出,从而解得,由于,故可计算得到,四、二阶系统响应性能的改善措施,1比例微分控制,系统的开环传递函数为,闭环传递函数为,Tds的设置等效于加大了阻尼比，从而使超调减弱，改善了系统的平稳性。,2测速反馈控制,系统的开环传递函数为,系统的闭环传递函数为,式中 称为等效阻尼比。,3.4 高阶系统分析,用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。,由于求高阶系统的时间响应很困难，所以通常总是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。 通常对于高阶系统来
13、说，离虚轴最近的一个或两个闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点，他们在时间响应中相应的分量衰减较快，只起次要作用，可以忽略。,一、二阶系统极点分布,这时，高阶系统的时域分析就转化为相应的一、二系统。这就是所谓的主导极点的概念，将在第四章中详细介绍。,3.5 稳定性及代数判据,一、稳定性的概念,摆的平衡,小球的稳定域,二、稳定性的定义和数学条件,如果控制系统在初始条件影响下，其响应过程随时间的推移而逐渐衰减并趋于零，则称这样的系统具有渐进稳定性，简称为具有稳定性。,在初始条件影响下，若控制系统的响应过程随时间推移而发散，则称这样的系统具有不稳定性。,稳定性是系统的一种固有特性，
14、它只取决于系统的结构和参数，而与初始条件及外作用无关。,设系统的线性化增量微分方程为,对上式进行拉氏变换得,或简写成,称为输入端算子式。,R(s)为输入信号；C(s)为输出信号。,M0(s)是与系统的初始状态有关的多项式。,输出C(s)可写成,假定特征方程D(s)=0具有n个互异特征根si(i=1,2,n) ,则,假定R(s)具有l个互异极点srj(j=1,2, ,l)，则,因此系统要稳定，只需式中的动态分量随时间的推移渐近为零即可。,故稳定性定义为,所以应有,故系统的稳定性仅取决于特征根si的性质。,系统稳定的充分必要条件为：系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于s平面的虚轴之左。,
15、三、代数判据,1.赫尔维茨 (Hurwitz)稳定性判据,系统稳定的充要必要条件：特征方程的赫尔维茨行列式Dk(k=1，2，3，n)全部为正。,各阶赫尔维茨行列式为, ,式中脚注大于n的系数或负脚注系数，均以零代之。,解：,由特征方程知各项系数为,稳定的充分必要条件,由于D20或D偶0。,(1)系统特征方程的各项系数大于零， 即 ai0 (i=0，1，2，3，n)。,说明：(1)是系统稳定的必要条件；如果满足ai0 ，则根据(2)继续计算。,例 系统特征方程为 利用林纳得-奇帕特判据，判别系统稳定性。,解：,稳定的充分必要条件为,(1) ai0 即a00，a10，a20，a30；,(2),事实上,系统的闭环特征方程,解：,特征方程各项系数为,稳定的充分必要条件,(1) ai0，则要求K0；,(2) D20 即,所以保证系统稳定，增益的稳定域为0K14,3劳斯(Routh)判据,
