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1、2.3.2 抛物线的几何性质（1）,07.01.05,1、抛物线的定义：,我们把平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线.,复习与巩固：,你还知道抛物线的标准方程 还有哪些不同的形式吗？,前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质,它们都是通过标准方程的形式研究的,现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么?,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,一次项的变量如果为x（或y）则轴x（或y轴）是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向。 例如
2、抛物线x2 =-3y，则y为对称轴，开口方向和y轴的正方向相反。,练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）,开口向右,开口向左,开口向上,开口向下,一、抛物线的几何性质,抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。,1、范围,由抛物线y2 =2px（p0）,所以抛物线的范围为,2、对称性,定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线 的顶点。,由y2 = 2px （p0）当y=0时,x=0, 因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。,注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。,、顶点,4、离心率,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离 之比，叫做抛物线的离
3、心率，由抛物线的定义，可知e=1。,5、开口方向,抛物线y2 =2px（p0）的开口方向向右。,+X，x轴正半轴，向右,-X，x轴负半轴，向左,+y，y轴正半轴，向上,-y，y轴负半轴，向下,补充（1）通径：,通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P,P越大,开口越开阔,（2）焦半径：,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,焦半径公式：,（标准方程中2p的几何意义）,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延
4、伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的e=1;,5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P越大,开口越开阔-本质是成比例地放大！,特别注意：,（二）归纳：抛物线的几何性质,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,例：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（， ），求它的标准方程，并用描点法画出图形。,所以设方程为：,因此所
5、求抛物线标准方程为：,（三）、例题讲解：,作图：,(1)列表（在第一象限内列表）,(2)描点：,(3)连线：,思考：已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（， ），求它的标准方程。,想一想,方法探究：,答案：,课本例4P61：斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。,（三）、例题讲解：,课本例题推广： 直线l 经过抛物线y2=2px的焦点,且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长|AB|=x1+x2+P.,练习2：若直线l 经过抛物线y2=4x的焦点, 与抛物线相交于A，B两点,且线段AB的中点的横坐标为2,求线段AB的长
6、.,（三）、例题讲解：,这时，直线 与抛物线只有一个公共点.,于是，当 且 时，方程（）有2 个解，从而，方程组（）有两个解，这时，直线 与抛物线有2个公共点.,解得,由 即,解得,于是，当 时，方程没有实数解，从而方程组（）没有解，这时，直线 与抛物线没有公共点.,综上可得：,当 时 ，直线 与抛物线只有一个公共点;,当 时，直线 与抛物线有两个公共点;,当 时，直线 与抛物线没有公共点.,练习5：已知直线y=kx+2与抛物线y2=8x恰有一个公共点,则实数k的值为,（三）、例题讲解：,判断直线与抛物线位置关系的操作程序：,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的 对称轴平行,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,总结：,巩固与练习：,1)过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线截得的弦长为 ;,3）抛物线 上的点到直线 的距离的最小值是（ ）,16,小结:,1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径; 2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;,谢谢！,
