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1、误差与不确定度,本章要点：,误差的概念与表示方法,随机误差、系统误差和粗大误差的特性和处理方法,测量不确定度的概念和评定方法,测量数据处理的方法,本章是测量技术中的基本理论，搞测量就得 与误差打交道。,误差的合成与分配,1 误差的概念与表示方法,误差=测量值-真值,例如，在电压测量中，电压真值5V，测得的电压为5.3V，则,误差= 5.3V - 5V = +0.3V,问题：5V真值怎么知道的？,真值是一个理想的概念。真值客观存在，却难以获得。,1.1 测量误差,例如：现在是什么时间？ 能准确地报出北京时刻吗？,1.误差的概念,在通用计量术语及定义（JJF1001-1998）中，量的真值 tru
2、e valueof quantity 是“与给定的特定量的定义一致的值。” 并注明： 量的真值只有通过完善的测量才有可能获得； 真值按其本性是不确定的； 与给定的特定量定义一致的值不一定只有一个。,真值是一个理想的概念，真值虽然是客观存在，但却又难以获得。因为自然界任何物体都处于永恒的运动中，一个量在不同时间、空间都会发生变化，从而有不同的真值。故真值应是指在瞬间条件下的值，一般来说是无法通过完善的测量来获得。,例如：某个5号电池，标称电压1.5v，真值是多少？-,很难确定！,实际上对“真值”的应用通常是用以下三种办法：,真值可由理论（或定义）给出 例1：三角形内角和为180度,由国际计量统一
3、定义给出（例如秒的定义为铯原子能级跃迁9192631770个周期的持续时间为1秒）。 1s=9192631770周期,误差=181-180=1,例2：秒的定义, 用“约定真值” 代替“真值”, 用“不确定度” 评定测量结果,实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际 值作为真值使用。,“实际值”“约定真值”。,在本章第2、3。4。5节中讨论误差时是基于“约定真值”己知的条件下进行的。,在本章第6节中详细讨论。逆向思维，回避真值，研究不能确定的程度。例如用卷皮尺量长度，不能确定的范围在毫米量级，而用游标卡尺测量，不能确定的范围在微米量级。,2.基本术语,测量仪器的示值-测量仪器所给出的量的值。
4、也称测量值、测得值。,尽量不要用具体数量来说准确度。例如：准确度10 mV 只能用某一等级或范围来描述，例如：某电流表为1级表（准确度X 故常用X方便,测量值相对误差x与满度相对误差S%的关系：,测量值x靠近满量程值xm相对误差小,电工仪表将满度相对误差分为七个等级：,例：检定量程为1000A的0.2级电流表，在500A刻度上标 准表读数为499A，问此电流表是否合格？,解： x0=499A x=500A xm=1000A,（0.2级表）,用分贝（dB）表示相对误差,相对误差也可用对数形式（分贝数）表示，主要用于功率、 电压的增益（衰减）的测量中。,功率等电参数用dB表示的相对误差为,电压、电
5、流等参数用dB表示的相对误差为,随机误差-不可预定方式变化的误差（同随机变量）,系统误差-按一定规律变化的误差,粗大误差-显著偏离实际值的误差,下面分别介绍比较严格的定义,在国家计量技术规范通用计量术语及定义（JF1001-1998）中，系统误差定义为：“在重复性条件下，对同一被测量无限多次测量所得的结果的平均值与被测量的真值之差。”用表示系统误差，即,1. 系统误差,即 为无限多次测量结果的平均值（概率论中的数学期望），这里简称为总体均值。,（2.11）,（2.12）,在国家计量技术规范通用计量术语及定义（JG10011998）中，随机误差定义为：“测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行
6、无限多次测量所得结果的平均值之差。”用表示随机误差，即,2. 随机误差,随机误差定义表示：在重复性条件下（指在测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器相同的条件下），每次测量误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化的误差，简称随差。,（2.13）,3. 粗大误差,在一定条件下，测量值显著偏离其真值（或约定真值）所对应的误差，称为粗大误差。,粗大误差产生原因：主要是读数错误测量方法不对瞬间干扰仪器工作不正常等。,对粗大误差的处理通常是按一定的法则进行剔除,4. 三种误差的关系,系统误差 小，准确度高,系统误差和随机误差都较小，称精确度高,x= + + (粗大误差),首先剔除去,定性的概念：,由（2.
7、1）式误差的定义：,式（2.14）表示误差等于随机误差和系统误差相加的关系。图2.2给出了这些误差之间关系的示意图。,（2.14）,定量的概念：,定量的概念：,2 随机误差,2.1 定义与性质,随机误差定义： ：“测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。”,随机误差概念-不可预定方式变化的误差（同随机变量）,举例：对一电阻进行n=100次重复性测量,表 2.2 按大小排列的重复性测量结果,随机误差性质：服从正态分布，具有以下4个特性：,对称性绝对值相等的正误差与负 误差出现的次数相等；,单峰性绝对值小的误差比绝对值 大的误差出现次数多；,有界性绝对值很大的误
8、差出现的 机会极少，不会超出一定的界限；,抵偿性当测量次数趋于无穷大， 随机误差的平均值将趋于零。,2.2 随机误差的统计处理,随机误差与随机变量的类同关系,1.数学期望,设x1，x2，xi，为离散型随机变量X的可能取值，相应 概率为p1，p2，pi，其级数和为,若,绝对收敛，则称其和数为数学期望，记为E(X),在统计学中，,期望与均值是同一概念,算术平均值与被测量的真值最为接近，由概率论的大数定律 可知，若测量次数无限增加，则算术平均值,必然趋于实际值。,2.方差、标准差,方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值。,随机变量X的方差为X与其期望E（X）之差的平方的期望， 记为D（X）
9、，即,例：两批电池的测量数据,误差离散性小,误差离散性大,测量中的随机误差也用方差,来定量表征：,式中,是某项测值与均值之差，称为剩余误差或残差，,记作,。将剩余误差平方后求和平均，扩大了,离散性，故用方差来表征随机误差的离散程度。,标准差,方差的量纲是随机误差量纲的平方，使用不方便。为了与随机 误差的量纲统一，常将其开平方，用标准差或均方差表示，记 作,应当指出，剩余误差i应包含系统误差和随机误差i，因这里 只讨论随机误差，故认为系统误差已消除，即,正态分布,在概率论和误差理论的研究中，已充分论证了绝大多数随机误差 的分布规律都可以用正态分布来描述，正态分布的概率密度函数 为正态分布,当知道
10、正态分布的两个基本参数：算术平均值,和标准差，该,正态分布的曲线形状则基本确定。,给出了,时，三条不同标准差的正态分布曲线：,。标准差小，曲线尖锐，说明测量误差小的数据,占优势大，即测量精度高。,本书附录A给出了正态分布在对称区间的积分表。其中,式中k为置信因子，a为所设的区间宽度的一半。,K=1时，,K=2时，,K=3时，,图2.7 正态分布下不同区间出现的概率,2.3 有限次测值的算术平均值和标准差,上述正态分布是（n）下求得的，但在实际测量中只能进行 有限次测量,1.有限次测量的算术平均值,对同一量值作一系列等精度独立测量，其测量列中的全部测量 值的算术平均值与被测量的真值最为接近。,设
11、被测量的真值为，其等精度测量值为x1，x2，xn，则 其算术平均值为,由于,的数学期望为，故算术平均值就是真值的无偏估计值。,实际测量中，通常以算术平均值代替真值。,2.有限次测量数据的标准差贝塞尔公式,上述的标准差是在n的条件下导出的，而实际测量只能做到 有限次。当n为有限次时，可以导出这时标准差为,这就是贝塞尔公式。由于推导中不够严密，故,被称为标,准差的估值，也称实验标准差。,3.平均值的标准差,在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对同一量值分m组 进行测量，每组重复n次测量，则每组数列都会有一个平均值， 由于随机误差的存在，这些平均值并不相同，围绕真值有一定 分散性。这说明有限次测量
12、的算术平均值还存在着误差。当需 要更精密时，应该用算术平均值的标准差,来评价。,已知算术平均值,为,在概率论中有“几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个 随机变量方差之和”的定理，可进行下面推导,因,故有,所以,当n为有限次时，用标准差的估值即可，则,（2.21）,结论：（2.21）式说明，算术平均值的标准差是任意一组n次 测量样本标准差的,分之一。即算术平均值的标准差估值,比样本标准差的估值,比样本标准差的估值,小,倍，,表明了各组平均值再平均以后数值更集中了。这是由于随机误 差的抵偿性，测量次数越多，抵消程度越大，平均值离散程度 越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论依据。所 以，用算术平均值作为测量结果，减少了随机误差。,
