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1、第五章 插值法,5.0 插值问题 5.1 拉格朗日插值 5.2 牛顿插值 5.3 等距节点插值 5.4 埃尔米特插值 5.5 三次样条插值,1 函数表达式过于复杂不便于计算, 而又需要计算许多点处的函数值 2 仅有几个采样点处的函数值, 而又需要知道非采样点处的函数值 上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的一个便于计算的近似表达式. 解决方法插值法,5.0 插值问题,一、问题提出,二、插值问题定义,求插值函数(x)的问题称为插值问题。,三、几何意义、内插法、外插法,内插,外插,四、多项式插值问题,对于不同的函数族的选择，得到不同的插值问题 当为一些三角函数的多项式集合时:三角插值;
2、 当为一些有理分式集合时：有理插值； 当为一些多项式集合时：多项式插值（代数插值）,五、插值多项式的存在唯一性,分析 对于多项式插值问题，插值条件（1）等价于确定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组,定理1(存在唯一性) 满足插值条件(1)的不超过n次的插值多项式是存在唯一的。,定理证明：,多项式插值问题满足的线性方程组是关于多项式的系数a0，a1，a2，an的n1阶线性方程组，其系数矩阵的行列式Vn(x0,x1,xn)称为范德蒙(Vandermonde)行列式。利用行列式的性质可以求得,由于假设ij时，xixj，故所有因子xi-xj0，于是Vn(x0,x1,xn)0。由克莱姆(Gramme
3、r)法则，方程组的解存在且唯一，从而插值多项式是存在唯一的。,证毕,六、插值余项,引理 已知函数f(x)在a,b上具有m-1阶连续导函数，且在（a,b）上存在m阶导数。 若它在该区间上有m+1个零点，则它的m阶导函数在(a,b)内至少存在一个零点。,分析：,七、插值方法,由于插值多项式的存在唯一性，无论是用何种方法构造出的插值多项式，它们均恒等，进而截断误差也都相同。,本章我们要讨论的插值方法有： Lagrange插值法 Newton插值法 等距节点插值公式 带导数的插值问题,5.1 拉格朗日插值,一、插值基函数,1.定义：若n次多项式lk(x)(k=0,1,n)在n+1个插值节点x0 x1
4、xn上满足插值条件：,则称这n1个n次多项式l0(x),l1(x),ln(x)为插值节点x0,x1,xn上的n次插值基函数。,Remark：容易验证，n次插值基函数的线性组合在插值节点x0,x1,xn上满足插值条件，从而可以利用插值基函数来构造插值多项式。,2.插值基函数的构造,由于ik时，lk(xi)=0，故x0,x1,xk-1, xk+1,xn为lk(x)的零点，从而可以设,由lk(xk)1可得,故,若记 ，则有 ，从而,3.插值基函数的性质,性质1：,性质2：插值基函数lk(x)(k=0,1,n)为由插值节点x0,x1,xn唯一确定的n次函数。,性质3：基函数组所含的基函数个数与插值节点
5、个数相同。,二、Lagrange型插值公式,上式是不超过n次的多项式，且满足所有的插值条件，因而就是我们所需构造的插值多项式，称之为Lagrange插值多项式。,当n1时，有,当n2时，有,L1(x)和L2(x)分别称为线性插值多项式和二次插值多项式，其几何意义分别表示通过点(x0,y0),(x1,y1)的一条直线和通过点(x0,y0),(x1,y1)， (x2,y2)的一条抛物线。,类似地可以写出当n为其它值时地插值多项式，如n3时，有,三、Lagrange插值多项式的余项,设f(x)为定义在a,b上的被插值函数，Ln(x)为f(x)的n次Lagrange插值多项式，其插值余项为：Rn(x)
6、=f(x)-Ln(x),定理：如果f (n)(x)在区间a,b上连续，f (n1)(x)在(a,b)内存在，Ln(x)为在节点ax0x1xnb上满足插值条件的n次Lagrange插值多项式，则对任一x(a,b),其插值余项为：,其中(a,b)且依赖于x。上式给出的余项通常称为Lagrange型余项。,定理证明,证毕,Remark,一般情况下，余项表达式中的(a,b)的具体数值无法知道。但是，如果能够求出 ，则可以得出插值多项式的截断误差限为：,由此可以看出，误差大小除了与Mn+1有关外，还与插值节点有密切关系。当给定m个点处的函数值，但仅选用其中n1（n1m）个作为插值条件而求某个点 处函数值
7、时， n1个节点的选取应尽可能接近 ，以使使得所计算的函数值的误差限尽可能小。,例题,#,四、反插值法,分析,问题求解,#,Lagrange 插值公式的特点： 形式对称 通常用于理论分析 当增加插值节点时，在计算实践中不方便,5.2 牛顿插值,问题：想要构造一个更加方便灵活的插值格式，当增加插值节点时，只需在原有格式的基础上再增加一些即可。 解决方法：Newton插值,一、差商的定义及性质,一般地，K阶差商为：,定义：给定函数f(x)在互异节点x0x1xn处的函数值f(x0), f(x1), f(xn)，称,为函数f(x)在节点xi，xj处的一阶差商。,称,为函数f(x)在节点xi，xj，xk
8、处的二阶差商。,即f(x)的k-1阶差商的差商称为k阶差商（均差）。,差商的性质,由于,性质1：,故差商是微商的离散形式。,性质2：k阶差商fx0 ,x1,xk可以表示为函数值f(x0), f(x1), f(xk)的线性组合，即,k=1,2,n,性质3：差商与插值节点的排列次序无关。,1.Lagrange插值多项式间的关系,二、Newton插值多项式,注：A是Lk(x)的首项系数。,2.Newton型插值公式,k=1,2,n,Remark:递推关系,3. 差商的计算,根据插值多项式的存在唯一性知，如果f(x)充分光滑，则有估计,不足： 对函数的光滑性要求高；,需估计导函数的最值；,偏保守。,导
9、数型误差估计,三、Newton插值余项,差商型误差估计,导数和差商的关系,差商型误差估计特点：对被插值函数光滑性要求不高；但不适用于实际计算。,四、例题,解 1）建立差商表,0.312 -0.1764,-0.4884,2）插值,Newton插值多项式适用于节点任意分布的情形。但当节点等距分布时，可以简化Newton插值公式。,5.3 等距节点插值,设a=x0x1 xn=b，yi=f(xi)为等距节点xi=x0+h(i=0,1,n)上的函数值，其中h=(b-a)/n称为步长。,在此基础上我们先定义差分，用差分表示Newton插值多项式，从而得到等距节点的插值公式。,一、差分的定义与性质,定义：称
10、 yi=yi+1-yi (i=0,1,n-1) 为f(x)在xi处以h为步长的一阶向前差分。,2yiyi1-yi =yi+2-2yi+1+yi (i=0,1,n-2) 称为f(x)在xi处以h为步长的二阶向前差分。,一般地，myim-1yi1-m-1yi (i=0,1,n-m) 称为f(x)在xi处以h为步长的m阶向前差分。,差分的性质,性质1：各阶差分可用函数值线性表示，其计算公式为：,其中,性质2：差分与差商满足下述关系：,证明：利用数学归纳法,当k1时，有,即结论成立。,设km-1时结论成立，即,则当km时，有,由数学归纳法知，结论成立。,证毕,Remark：类似地可以定义向后差分与中心
11、差分：,性质3：差分与导数满足关系：,证明：利用差商与导数、差分的关系，有：,证毕,二、Newton向前插值公式,令x=x0+th，由xi=x0+ih(i=0,1,n)得： x-xi=(t-i)h，则有:,将差商与差分的关系式 带入Newton插值多项式，得:,从而可得Newton向前插值多项式及其余项为：,三、差分表,Newton向前插值公式，又称表初公式，它利用差分表的最上面一个斜行的数值进行计算。,四、例题,解,#,五、Newton向后插值公式,类似于向前差分，也可以得到差商与向后差分的关系：,将插值节点从大到小排列，即,类似于向前插值公式，可得到Newton向后插值公式，又称表末公式，
12、它利用差分表的最下面一个斜行的数值进行计算。,同样，还可以利用中心差分，构造插值公式，称为贝塞尔（Bessel）插值公式。,这一类插值问题为埃尔米特(Hermite)插值问题。其几何意义是在插值点上插值曲线与被插值曲线有公共切线。由这2n+2个条件可以唯一确定一个2n+1次的插值多项式。具体我们采用基函数的方法来确定。,5.4 埃尔米特插值,一、问题,1.辅助问题及Hermit插值,二、一般情形,2.辅助问题的求解,3.Hermite插值问题解的存在唯一性,存在性：,唯一性：,0,4.插值余项,分析：,定理证明,函数,零点（从小到大）,至少2n+1个零点,至少1个零点,证毕,三、特殊情形带不完
13、全导数的插值问题举例,分析（方法1）：,误差：,#,方法2：（用带有重节点的差商表）,#,#,1.高次插值的评述,在实际应用中, 很少采用高次插值。 .在两相邻插值节点间, 插值函数未必能够很好地近似被插值函数。,一、分段插值法,.对于等距节点的牛顿插值公式, 函数值的微小扰动可能引起高阶差分有很大的变化.,5.5 三次样条插值,函数 在区间-5,5上用等距节点的插值问题是上世纪初Runge研究过的一个有名实例. 在区间上分别采用10次、15次、20次的等距节点插值多项式。随着插值次数的提高, 在 范围内的近似程度并没有变好, 反而变坏. 高次插值并不一定带来更好的近似效果。,(a),(b),
14、(c),函数 的等距节点插值公式在区间0, 5上的近似程度示意图,2.分段插值,设 已知节点 上的函数值 若 满足,则称 为分段插值函数。,是整体插值区间上的连续函数, 随着子区间长度 变小, 不提高子区间上的插值幂次便可以满足给定的任意精度要求.但一般说来, 在子区间的端点处导数是不存在的.,为了避免高次插值的缺点，常采用分段插值，即将插值区间分成若干小区间，在每个小区间上利用前面介绍的插值方法构建低次插值多项式。,二、三次样条插值,分段插值法具有一致的收敛性, 但它只保证插值函数整体的连续性, 但在连接处不一定光滑，不能够满足精密机械设计（如船体、飞机、汽车等的外形曲线设计）对函数光滑性的
15、要求。早期的工程技术人员在绘制给定点的曲线时，使用一种具有弹性的细长木条（或金属条），称之为样条（Spline），强迫它弯曲通过已知点。弹性力学理论指出样条的挠度曲线具有二阶连续的导函数，并且在相邻给定点之间为三次多项式，即为数学上的三次样条插值曲线。,1.三次样条插值函数的定义,定义 给定区间 的一个分划,.在小区间 上是3次多项式.,.在节点 处具有2阶连续的导数; 则称S(x)是关于分划 的3次样条函数.,若实值函数S(x)满足,若还满足,. , 则称S(x)是f(x)关于分划 的 3次样条插值函数 。,三次样条插值函数 在每一个小区间上是3次的多项式, 在整个插值区间上有4n个系数. 且有4n-2个约束:,内节点,边界节点,要确定4n个系数，还需附加2个约束条件. 常用的约束条件有以下三类：,此时一般有 成立.,.周期性边界条件 ,
