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1、5.3 样条插值,一、样条函数,二、三次样条插值问题,三、B样条,四、以B样条为基底的三次样条插值函数,（自学）,（自学）,复习：分段多项式插值,1、分段线性插值,2、分段二次插值,分段多项式插值,（1）分段线性插值的定义,1、分段线性插值,（2）分段线性插值的误差估计,2、分段二次插值,（1）定义,（2）分段二次插值的误差估计,分段多项式插值,设y=f（x）为定义在a,b上的实值函数，已知f（x）在该 区间中n+1个互不相同的点,1、分段线性插值,（1）分段线性插值的定义,.,.,.,.,.,.,.,x,y,o,分段多项式插值,1、分段线性插值,分段多项式插值,设y=f（x）为定义在a,b上
2、的实值函数，已知f（x）在该 区间中n+1个互不相同的点,在子区间,作线性插值,1、分段线性插值,（1）分段线性插值的定义,（2）分段线性插值的误差估计,定理:,是a,b上以,为节点的分段线性,插值函数,则对任意,有,(1),(2),(1),(2),分段多项式插值,（1）分段线性插值的定义,1、分段线性插值,（2）分段线性插值的误差估计,2、分段二次插值,（1）定义,（2）分段二次插值的误差估计,2、分段二次插值,（1）定义,在子区间,作二次插值,n为偶数,（2）分段二次插值的误差估计,分段多项式插值,（1）分段线性插值的定义,1、分段线性插值,（2）分段线性插值的误差估计,2、分段二次插值,
3、（1）定义,（2）分段二次插值的误差估计,分段插值算法简单，且能保证收敛性，但其光滑性差。 不适用于光滑性要求高的外形设计。 为了提高其光滑性，人们提出了三次样条插值。,5.3 样条插值,一、样条函数,二、三次样条插值问题,三、B样条,四、以B样条为基底的三次样条插值函数,（自学）,（自学）,spline function 一类分段（片）光滑、并且在 各段交接处也有一定光滑性的函数。简称样条。,一、样条函数（ spline function ）,样条一词来源于工程绘图人员为了将一些指定点 连接成一条光顺曲线所使用的工具，即富有弹性 的细木条或薄钢条。,由这样的样条形成的曲线在连接点处具有连续的
4、 坡度与曲率。,5.3 样条插值,样条理论已成为函数逼近的有力工具。,它的应用范围也 在不断扩大，不仅在数据处理、 数值微分、数值积分、微分方程和积分方程数 值解等数学领域有广泛的应用，而且与最优控 制、变分问题、统计学、计算几何与泛函分析 等学科均有密切的联系。,样条函数的研究始于20世纪中叶，到了60年代 它与计算机辅助设计相结合，在外形设计方面 得到成功的应用 。,一、样条函数（ spline function ）,5.3 样条插值,在数值分析中，样条是一种特殊的函数，由多 项式分段定义。样条的英语单词spline来源于 可变形的样条工具，那是一种在造船和工程 制图时用来画出光滑形状的工
5、具。在中国大 陆，早期曾经被称做“齿函数”。后来因为工 程学术语中“放样”一词而得名。,一、样条函数（ spline function ）,在插值问题中，样条插值通常比多项式 插值好用。用低阶的样条插值能产生和 高阶的多项式插值类似的效果，并且可 以避免被称为龙格现象的数值不稳定的 出现。并且低阶的样条插值还具有 “保凸”的重要性质。,在计算机科学的计算机辅助设计和计算机图 形学中，样条通常是指分段定义的多项式参 数曲线。由于样条构造简单，使用方便，拟 合准确，并能近似曲线拟合和交互式曲线设 计中复杂的形状，样条是这些领域中曲线的 常用表示方法。,一、样条函数（ spline function
6、 ）,一、样条函数,1、k次半截单项式,2、k次样条函数,3、线性无关函数系,5、k次样条函数与k次多项式的区别,4、K次样条函数的表示:,5.3 样条插值,一、样条函数,1、k次半截单项式,定义：,称 为k次半截单项式 ，,并规定,半截单项式 的性质,一、样条函数,1、k次半截单项式,定义：,称 为k次半截单项式 ，,并规定,2、k次样条函数,定义中的a,b可以看作是,(分段多项式的光滑连接),2、k次样条函数,(分段多项式的光滑连接),思考：,2、k次半截单项式,是否为样条函数？,1、k次多项式 是否为样条函数？,是否为样条函数？,3、,思考：,2、k次半截单项式,是否为样条函数？,1、k
7、次多项式 是否为样条函数？,约束条件有哪些?,的自由度为多少?,是否为 中的基?,待定参数:n(k+1)个,确定一个k次样条函数有几个待定参数?,待定参数:n(k+1)个,约束条件:,的自由度:,是否为 中的基?,3、线性无关函数系,3、线性无关函数系,的一组基:,5、k次样条函数与k次多项式的区别,4、K次样条函数的表示:,课堂练习：写出4个节点的3次样条函数。,二、三次样条插值问题,3、 三次样条插值问题的解存在且唯一,1、 定义,2、三种边界条件,4、误差估计,5、如何构造三次样条插值函数,二、三次样条插值问题,(5.30),二、三次样条插值问题,当k=1时为分段线性插值.,确定一个三次
8、样条插值函数s(x)需要几个条件?,n+3个,现在有几个条件?还需几个条件?,n+1个,2个,(5.30),被插函数f(x)是以 为周期的周期函数.,S(x)称为周期样条函数.,第一种和第二种还可以互相搭配产生新的边界条件.,压紧样条,自然样条,由已知 确定,周期端点样条,任玉杰436页,例1,已知f(x)的三个点处的值为,在区间-1,1上,求f(x)在自然边界条件下的三次样条插值 多项式.,利用待定系数法求解,令,解方程求系数,3、 三次样条插值问题的解存在且唯一(定理5.4)。,设f(x)在区间a，b上连续,记,称,为函数f(x)的 -范数.,定义：f(x)的 -范数.,5、如何构造三次样
9、条插值函数,(1)待定系数法:解方程组求,(2)三弯矩法:,(3)B样条法:,(任意分划),(等间距分划),解法一：,设,令,解方程求系数,待定系数法,解法二：三弯矩法,令,（1）以 为结点作线性插值：,（5.45）,其中,（2）连续积分两次：,（5.46）,解法二：三弯矩法,令,（5.45）,（5.46）,(3)利用插值条件,确定,（5.47）,（5.47）,(4)利用 在内结点连续的条件求 .,(4)利用 在内结点连续的条件求 .,(4)利用 在内结点连续的条件求 .,令,得,(4)利用 在内结点连续的条件求 .,(4)利用 在内结点连续的条件求 .,(5.49),解法二：三弯矩法,（5.
10、45）,（5.46）,(3)利用插值条件,确定,（5.47）,（1）,（2）,(4)利用 在内结点连续的条件求 .,(5.49),(5)由边界条件再找两个方程：,第一种边界条件,第一种边界条件：,(5)由边界条件再找两个方程：,（5.52）,系数矩阵是主对角线严格占优阵,故有唯一解.,第二种边界条件:,第二种边界条件:,第二种边界条件:,方程组仍为(5.52)式的形式,第三种边界条件：,-,-,第三种边界条件：,（5.54）,7、三弯矩法的计算步骤：P176,例5 用三弯矩法解例4 。P177,三、B样条（基本样条函数）,（1）定义,（2）B样条的性质,（3）步长为h，结点等距的B样条,在节点
11、等间距的情况下，根据B样条函数构造另一种 基函数，用待定系数法求插值函数S（x）,本段目的：,三、B样条（基本样条函数）,(1)定义,由式,表示的函数 称为步长为1，内结点等距的B样条。,内结点：,也称为k+1阶标准B样条函数,三、B样条,例 当k=0,1,2,3时的B样条,三、B样条,0,1/2,1,1/2,0,三、B样条,例 当k=0,1,2,3时的B样条,.,.,。,。,k,x,的数值表,k,x,的数值表,k,x,的数值表,（2）B样条的性质,递推关系,b.奇偶性:,c、正性与局部支撑性,d、求导与求积公式,e、归一性,（2）B样条的性质,a、递推关系,b、奇偶性:,c、正性与局部支撑性
12、,(3)步长为h，结点等距的B样条,设a,b的分划为,四、以B样条为基底的三次样条插值函数,（均匀分划的三次样条插值函数）,1、第一种边界条件的三次样条插值问题,2、第二种边界条件的三次样条插值问题,3、第三种边界条件的三次样条插值问题,四、以B样条为基底的三次样条插值函数,（均匀分划的三次样条插值函数）,设a,b的分划 为,则对应分划 的三次样条插值函数可表示为:,1、第一种边界条件的三次样条插值问题,1、第一种边界条件的三次样条插值问题,1、第一种边界条件的三次样条插值问题,1、第一种边界条件的三次样条插值问题,1、第一种边界条件的三次样条插值问题,1、第一种边界条件的三次样条插值问题,(
13、5.35),1、第一种边界条件的三次样条插值问题,(5.35),P164,(5.35),(5.36),(5.36),写出方程组的系数矩阵,不是三对角阵，使其 系数矩阵变为三对角阵,(5.36),矩阵形式:,矩阵形式:,2、第二种边界条件的三次样条插值问题,（5.41）,3、第三种边界条件的三次样条插值问题,(5.43),(5.42),P171,=0.920570,=14.7836,=0.920570,=14.7836,例.给定函数,将区间N等分,针对第二种边界条件,试用三次样条函数 作插值.N=10,20,40,解:,插值条件:,小 结,5.3 样条插值,一、样条函数,二、三次样条插值问题,三
14、、B样条,四、以B样条为基底的三次样条插值函数,理解样条函数的概念，了解样条函数的优点； 重点掌握三弯矩法、等距节点的B样条法的思想及其运用 ；,课本作业:P219,17,18,19,20,思考：,设a,b的分划 为,找二次插值函数,使：,边界条件：,证明问题的解存在唯一,三、B样条,.,.,。,。,复习:,1、k次半截单项式,2、k次样条函数,(分段k次多项式的光滑连接),第三节 样条插值,并且线性无关，因此构成了 的一组基。,3、样条函数的表示,4、样条插值问题,固支条件,5、如何构造三次样条插值函数,(1)待定系数法:解方程组求,(2)三弯矩法。,(3)B样条法.,(任意分划),(等间距分划),解法一：,设,令,解方程求系数,待定系数法,解法二：三弯矩法,令,（1）以 为结点作线性插值：,（5.45）,其中,（2）连续积分两次：,（5.46）,解法二：三弯矩法,令,（5.45）,（5.46）,(3)利用插值条件,确定,（5.47）,（1）,（2）,(4)利用 在内结点连续的条件求 .,(4)利用 在内结点连续的条件求 .,
