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1、,第四节 对面积的曲面积分,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,求质,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,据此定义, 曲面形构件的质量为,曲面面积为,f (x, y, z) 是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部
2、区域任意取点,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积,函数, 叫做积分曲面.,则对面积的曲面积分存在., 对积分域的可加性.,则有, 线性性质.,在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似., 积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明: 由定义知,而,(光滑),化曲面积分为二重积分 设曲面的方程为zz(x y) 在xOy面上的投影区域为Dxy 函数zz(x y)在Dxy上具有连续偏导数 被积函数f(x y z)在上连续
3、则,讨论 如果积分曲面由方程yy(z x)给出或由xx(y z)给出 那么 f(x y z)在上对面积的曲线面积分如何计算?,提示 对于 yy(z x) 有,化曲面积分为二重积分,要点：一代、二换、三投影,代：将曲面的方程代入被积函数,换：换面积元,投影：将曲面投影到坐标面得投影区域,注：,（1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则 可利用可加性，分块计算，结果相加,（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程 即方程的表达形式,（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是 把被积函数化为二元函数,例1. 计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,例2. 计算,其中 是由平面
4、,坐标面所围成的四面体的表面.,解: 设,上的部分, 则,与,原式 =,分别表示 在平面,例3 计算,与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面,解,在 xoy 内的投影区域,例3 计算,与平面 z = 1 所围成的区域的整个边界曲面,解,例3.,设,计算,解: 锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的,投影域为,则,思考与练习,P219 题1；3；4(1) ;,解答提示:,P219 题1.,P219 题3.,设,则,P219 题4(1)., 在 xoy 面上的投影域为,这是 的面积 !,作业：p-219习题11-44(3); 5(2); 6(1), (3), (4);,
