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1、2018/8/31,模式识别 Pattern Recognition,许建华 南京师范大学计算机学院 2009年秋季,2018/8/31,第3章 概率密度函数的估计,3.1 引言 3.2 参数估计的基本概念 3.3 最大似然估计与正态分布的参数估计 3.4 Bayes估计与正态分布参数的估计 3.5 总体分布的非参数估计 3.6 分类器错误率的估计问题,2018/8/31,3.1 引言,在贝叶斯决策理论中，基本的已知条件是： 类先验概率 P(i) 类条件概率密度 p(x |i ) 疑问： 它们从何而来？,2018/8/31,面临的实际情况是： 对于一个具体问题，我们只有有限数目的样本（所属类
2、别有可能还是未知的）,2018/8/31,有限的样本数据,Bayes决策需要P(i) 、 p(x |i ),估计出 P(i) 、 p(x |i ),2018/8/31,分类器的设计分成两步来完成：,1 利用样本集估计出P(i) 、 p(x |i )（本章要解决的基本问题） 2 利用Bayes决策理论设计分类器（前一章已经解决的问题）,2018/8/31,本章要解决的三个问题,如何用样本集估计出P(i) 、 p(x |i )的估计量 评估与分析估计量的性质 利用样本集估计分类器错误率的方法,2018/8/31,从样本集推断总体概率分布的方法,估计方法,参数估计,非参数估计,监督参数估计,非监督参
3、数估计,2018/8/31,说明：,监督：样本的类别是已知的 非监督：样本的类别是未知的 参数估计：概率密度形式已知，只需推断出其中的未知参数 非参数估计：直接推断出概率密度本身,2018/8/31,监督参数估计,条件：已知样本所属的类别及类条件总体概率密度函数的形式，未知概率密度函数的某些参数 监督参数估计：从已知类别的样本集，推断（估计）出总体分布（每一类概率密度函数）的某些参数的方法 例如：从样本求正态分布的均值向量与协方差矩阵,2018/8/31,非监督参数估计,条件：未知样本所属类别，已知总体概率密度函数形式，但未知其中的某些参数 非监督参数估计：推断（估计）出总体概率密度函数中的某
4、些参数的方法,2018/8/31,非参数估计,条件：已知样本所属类别，但未知总体概率密度函数的形式 非参数估计：从已知类别的样本数据中，直接推断出概率密度函数本身,2018/8/31,2018/8/31,估计方法的数学原理：,参数估计的数学原理：最大似然估计方法与Bayes估计方法 非参数估计的数学原理：Parzen窗法与 kN 近邻法,2018/8/31,本章讲解的重点内容：,1 监督参数估计（估计类条件概率密度的参数） 2 非参数估计（估计类条件概率密度本身） 3 分类器错误率的实验估计方法,2018/8/31,1 统计量 2 参数空间 3 点估计、估计量（估计子）、估计值 4 区间估计,
5、3.2 参数估计的基本概念,2018/8/31,1 统计量,目的：样本中包含着总体的信息，希望有一种数学手段将样本集中的有关信息抽取出来 统计量：针对不同要求构造出的关于样本的某种函数，这种函数在统计学中称为统计量,2018/8/31,2 参数空间,在参数估计中，已知总体概率密度函数的形式，未知分布中的若干参数（记为 ） 在统计学中，将总体分布未知参数 的全部可容许值组成的集合称为参数空间，记为 （例如，n 维实数空间）,2018/8/31,3 点估计,点估计问题是利用样本数据估计出总体分布参数的值 估计量（估计子）：构造一个统计量d(x1,xN) 作为参数 的估计 ，在统计学中称 为 的估计
6、量（估计子）,2018/8/31,估计值：对于属于类别 i 的样本观察值，代入统计量 d(x1,xN) 得到第 i 类的的具体数值，这个数值在统计学中称为 的估计值,2018/8/31,估计量的性能评估,估计量是随机变量，不同的样本有不同的估计值 无偏估计量：估计量的期望等于真实参数,2018/8/31,渐近无偏估计量：当样本数目趋于无穷时，估计量的期望等于真实参数值,2018/8/31,3.3 最大似然估计与正态分布的参数估计,3.3.1 最大似然估计的基本理论 3.3.2 正态分布参数的最大似然估计值 3.3.3 用身高、体重区分男女生的例子,2018/8/31,假设条件： 待估计参数 是
7、确定性的未知量 按类别将样本划分 c 类，第 i 样本都是从类概率密度 p(x |i ) 的总体中独立地抽取出来的,3.3.1 最大似然估计的基本理论,2018/8/31,类条件概率密度 p(x |i ) 的函数形式是确定的，但是其中的某些参数是未知的 第 i 类的样本不包含有关 j (ij)的信息。不同类别的参数在函数上相互独立，每一类样本可以独立进行处理,2018/8/31,在满足四个假设条件下，可以将 c 类概率密度估计问题转化为 c 个独立的密度估计问题，分别单独进行处理,记号：,待求的参数向量,待求的概率密度，并表示 有关,2018/8/31,在统计学中似然函数的定义,N 个随机变量
8、 x1,xN 的似然函数是 N 个随机变量的联合密度,这是 的函数,2018/8/31,设某一类样本集有 N 个样本,它们是独立地按照概率密度 p(x | ) 抽取出来的（独立同分布样本）,2018/8/31,似然函数为,含义：从总体中抽取 x1,xN 这样 N 个样本的概率（可能性）,2018/8/31,最大似然估计的主要思想：如果在一次观察中一个事件出现了，则我们可以认为这一事件出现的可能性很大。现在，事件（x1,xN ）在一次观察（从概率总体中抽取一组样本）中居然出现了，则我们认为似然函数 l() 应该达到最大值,2018/8/31,最大似然估计量：设 l() 是样本集 X x1, ,
9、xN 的似然函数，如果,是参数空间 中使似然函数 l() 极大化的 值，则称 是 的最大似然估计量（估计子）,2018/8/31,便于分析，可以取似然函数的对数，即,对数函数是单调增函数，H() 与 l() 的最大点相同,2018/8/31,求最大似然估计量的方法,如果H() 满足一定数学性质（连续可微），可以直接应用高等数学的知识来求最大点，即求梯度（偏导数），令其等于零，解线性或者非线性方程组得到估计量,2018/8/31,设,梯度算子,2018/8/31,从中求解出 的最大似然估计量,2018/8/31,说明：,1 有可能存在多个解,最大似然估计示意图,2018/8/31,2 有可能求不
10、出正确的解（比如均匀分布）,均匀分布,N = 100 没有极大值点,对数似然函数,2018/8/31,两者至少有一个为无穷大，显然不合理,2018/8/31,最小的可能值,最大,2018/8/31,3.3.2 正态分布参数的最大似然估计值,单变量正态分布的概率密度函数,要求的未知参数（均值与方差）,2018/8/31,我们已知 N 个一维样本集,问题：利用最大似然估计法，针对上述样本集，求出均值与方差的估计值,2018/8/31,2018/8/31,2018/8/31,最大似然估计量满足的方程,2018/8/31,均值,方差,2018/8/31,对于多元正态分布的概率密度函数,均值向量,协方差
11、矩阵,2018/8/31,解释： 正态总体均值的最大似然估计量是学习样本的算术平均 正态总体方差的最大似然估计量是 N 个矩阵的算术平均,2018/8/31,性质：均值的估计是无偏的协方差矩阵的估计是渐近无偏的,无偏估计,2018/8/31,3.3.3 用身高、体重区分男女生的例子,到现在为止，我们知道： Bayes决策理论 概率密度参数的最大似然估计 下面讲一个简单的应用,2018/8/31,我们的任务可能是： 大学生男女同学在身高、体重方面的差别？ 大学生男女同学在身高、体重方面是否存在明显的界限？ 用同学们的身高、体重来区分男女同学？,解决的方案：已讲的分类方法来处理,2018/8/31
12、,模式识别系统的基本构造,只考虑特征形成,2018/8/31,数据获取： 给每一个同学发一张小纸条，要求同学将自己的身高(cm)、体重(kg)、性别(男、女）资料写在上面，最后收集小纸条,2018/8/31,数据预处理： 检查身高数据与单位、体重数据与单位是否有问题，如身高以 m 为单位，体重以斤为单位，如有则统一改成 cm 和 kg 是否有野值数据，如，身高 200 cm 体重100 kg,2018/8/31,特征形成： 每一个同学有三个数据： 性别（类别标识） 身高（第一个特征） 体重（第二个特征）,+1 170 65 +1 175 70 -1 160 50 -1 155 45 .,201
13、8/8/31,收集整理的样本构成两个样本集，各包含50个男女同学的数据： 样本集1（50个男生、50个女生）：作为训练样本集 样本集2（50个男生、50个女生）：作为测试样本集,2018/8/31,样本集1,样本集2,男,女,2018/8/31,Byes分类器设计,假设男女生样本分别满足各自的正态分布，针对样本集1，利用最大似然估计方法分别求出男女生的均值向量和协方差矩阵,2018/8/31,男生：均值向量和协方差矩阵,2018/8/31,概率密度函数（男生）,2018/8/31,女生：均值向量和协方差矩阵,2018/8/31,概率密度函数（女生）,2018/8/31,（最小错误率）Bayes决策规则：,这里，我们假设两类先验概率相等,男生,女生,2018/8/31,决策面方程：,2018/8/31,决策面,2018/8/31,分类决策过程： 我们将样本集 2 作为待分类的新样本，判断每一学生的性别,2018/8/31,
