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1、固 体 物 理 Solid State Physics,物理学与信息技术学院,第1讲 晶体结构 1 Crystals Structure,晶体结构 Crystal Structure 晶列、晶面 Crystals Array and Plane 对称性 Symmetry 倒易空间 Reciprocal Space,School of Physics and Information Technology, SNNU,群的定义,假设G是由一些元素组成的集合，即G= ，g，。 在G中定义了一种二元合成规则(操作、运算，群的乘法)。 如果G对这种合成规则满足以下四个条件：,a)封闭性： G中任意两个元
2、素的乘积仍然属于G。,b)结合律：,c)单位元素。 集合G中存在一个单位元素e，对任意元素，,d)可逆性。 对任意元素 ，存在逆元素 ，使则称集合G为一个群。,School of Physics and Information Technology, SNNU,晶体对称性,对称性：若一个物体（或晶体图形）当对其施行某种规律的动作以后，它仍然能够恢复原状（即其中点、线、面都与原始的点、线、面完全重合）时，就把该物体（图形）所具有的这种特性称之为“对称性”。 对称变换（对称操作）：借助某种几何要素，能使物体（或对称图形）恢复原状所施行的某种规律的动作，就称为“对称变换”。 对称要素（对称元素）：对
3、物体（或图形）进行对称变换时所借以参考的几何要素，称为“对称要素”。,School of Physics and Information Technology, SNNU,晶体对称操作,1. 旋转对称性(Rotational Symmetry) 和对称操作：晶格围绕一固定轴(二维：通过格点而且垂直平面；三维：晶向(Direction)转动角度或以后，晶格保持不变。,3.反映( symmetry plane) 和对称操作：晶格对一晶面(Lattice Plane)反射(二维：对通过格点的线进行反射)，晶格不变。,2. 有限的平移对称性(Translational symmetry)：有限制的平移
4、对称操作是指平移任意的分立的矢量(discretized vectors ) Rl=l1al+l2a2+l3a3。,4. 反演（center of symmetry）和对称操作：为一假想的几何点，相应的对称变换是对于这个点的倒反。,第I类对称操作：保持手性不变，包括旋转和平移及其组合，这里操作可在实践上付诸实施。 第II类对称操作：手性变化，包含奇数次反映或反演，在分子重组的化学过程中可能完成，在实践上不一定付诸实施。,School of Physics and Information Technology, SNNU, ：基转角； ：对称轴的轴次,1.对称轴,晶体对称定律（law of cr
5、ystal symmetry）：在晶体中，只可能出现轴次为1、2、3、4和6次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。 国际符号：1，2，3，4，6,School of Physics and Information Technology, SNNU,对称轴所构成的对称配置投影符号：,对称轴图示,8二次轴 单斜,9三次轴,10四次轴,11六次轴,School of Physics and Information Technology, SNNU,对称面(II类),反映（symmetry plane）：一假想的平面，称为反映面或镜面。反映操作是从空间某一点向反映面引垂线，并延长该垂线到反映
6、面的另一侧，在延长线上取一点，使得到反映面等距 国际符号：m,School of Physics and Information Technology, SNNU,对称中心(II类),7对称中心,反演（center of symmetry, 符号C）：为一假想的几何点，相应的对称变换是对于这个点的倒反。 (r -r)，国际符号：,School of Physics and Information Technology, SNNU,旋转-反演,旋转-反演（Axis of inversion）：其对称操作是先进行旋转操作(n)后立刻再进行反演操作，这样的复合操作称为记为I类点操作和II点操作组合的
7、复合操作，每一个操作本身不一定是对称操作。简称为倒反,School of Physics and Information Technology, SNNU,旋转-反映,旋转反映 n/m，包括绕对称轴的逆时针旋转360/n，接着作垂直反射。旋转-反映等效于旋转-反演，不能提供新的操作所以新的晶体学国际表中只用旋转-反演,School of Physics and Information Technology, SNNU,32种点群分布,国际符号/Hermann-Mauguin 符号,http:/metafysica.nl/derivation_32.html 以特征方向的对称性来表示,Schoo
8、l of Physics and Information Technology, SNNU,晶系(The seven crystal systems),晶系：按照晶胞的特征对称元素可以分成7个不同类型，称为晶系。 其晶格参数也具有不同的特征,School of Physics and Information Technology, SNNU,1) 简单三斜 (Triclinic)所属点群(P),14种Bravais空间点阵,空间点阵按点群对称性和带心的模式一共可以产生14种型式，称为14种Bravais点阵或Bravais格子，Bravais点阵表示出所属空间群的平移子群。 每种晶系最多可构成
9、5种空间点阵， 1简单点阵（P） 2底心点阵（,C）(0.5,0.5,0),(0,0.5, 0.5)或(0.5,0,0.5) 3面心点阵（F）(0.5,0,0),(0,0.5, 0)和(0,0,0.5) 4体心点阵（I） (0.5,0.5,0.5) 5. 菱形点（R） ( 2/3,1/3,1/3),(1/3,2/3,2/3),School of Physics and Information Technology, SNNU,单斜（Monoclinic）,2) 简单单斜（P） 3) 底心单斜（C）,School of Physics and Information Technology, SN
10、NU,正交（Orthorhombic）,4) 简单正交（P） 5) 底心正交（C） 6) 体心正交（I） 7) 面心正交（F）,School of Physics and Information Technology, SNNU,三角（Trigonal）,8) 三角 （R,P）,School of Physics and Information Technology, SNNU,四方（Tetragonal）,9) 简单四方（P） 10) 体心四方 （I）,School of Physics and Information Technology, SNNU,六角（Hexagonal）,11) 六
11、角 （P）,School of Physics and Information Technology, SNNU,立方（Cubic）,12) 简单立方（P） 13) 体心立方（I） 14) 面心立方 （F）,School of Physics and Information Technology, SNNU,14种Bravais格子,1.简单三斜（P） 2.简单单斜（P） 3.底心单斜（C） 4.简单正交（P） 5.底心正交（C） 6.体心正交（I） 7.面心正交（F） 8.六角 （P） 9.三角 （R） 10.简单四角（P） 11.体心四角（I） 12.简立方 （P） 13.体心立方（b）
12、14.面心立方（F）,School of Physics and Information Technology, SNNU,230 种空间群 space groups,230 空间群符号 = Bravais点阵类型符号 + 点群对称元素,空间群：由点群对称操作和平移对称操作组合而成；由 32 晶体学点群与 14个Bravais 点阵组合而成； 空间群是一个单胞（包含单胞带心）的平移对称操作；反射、旋转和旋转反演等点群对称性操作、以及螺旋轴和滑移面对称性操作的组合。 晶体学中的空间群是三维周期性物体(晶体)变换成它自身的对称操作(平移，点操作以及这两者的组合)的集合。一共有230种空间群。每种空
13、间群唯一的对应一种晶体结构。自然界的晶体结构只能有230种。,School of Physics and Information Technology, SNNU,对称操作 一个物体在某一个正交变换下保持不变 物体的对称操作越多，其对称性越高,1 立方体的对称操作 （Pm3m） 1) 绕三个立方轴转动 9个对称操作,立方体的对称操作,School of Physics and Information Technology, SNNU,2) 绕6条面对角线轴转动 p 共有6个对称操作,3) 绕4个立方体对角线轴转动 8个对称操作 4) 恒等变换 1个对称操作,立方体的对称操作,5) 以上24个对
14、称操作加中心反演仍是对称操作 立方体的对称操作共有48个,12立方1,13立方2,School of Physics and Information Technology, SNNU,正四面体的对称操作, 金刚石晶格（Fd3m） 四个原子位于正四面体的四个顶角上，正四面体的对称操作包含在立方体操作之中 1) 绕三个立方轴转动 p 共有3个对称操作,Diamond,School of Physics and Information Technology, SNNU,2) 绕4个立方体对角线轴转动 8个对称操作 3) 恒等变换 1个对称操作,正四面体的对称操作,4) 绕三个立方轴转动 p/2，3p
15、/2 加中心反演 6个对称操作5) 绕6条面对角线轴转动 p 加中心反演 6个对称操作 正四面体对称操作共有24个,School of Physics and Information Technology, SNNU,几种常见晶体结构,空间群：Pm3m Bravais格子：简单立方 原子及位置：Cs（0，0，0）Cl（0.5，0.5，0.5） 或互换,立方钙钛矿（cubic pervoskite） 空间群：Pm3m Bravais格子：简单立方 原子及位置：Ba（0，0，0）Ti（0.5，0.5，0.5） O（0，0.5，0.5）（0.5，0，0.5）（0.5，0.5，0）,School of
16、 Physics and Information Technology, SNNU,几种常见晶体结构,空间群：Fm3m Bravais格子：面心立方 原子及位置：Na（0，0，0）Cl（0.5，0.5，0.5） 或互换 其他原子的位置？,空间群：Fd3m Bravais格子：面心立方 原子及位置：C（0，0，0）C（0.25，0.25，0.25） 其他原子的位置？,School of Physics and Information Technology, SNNU,晶体结构,晶体结构结构单元空间点阵,体现了对称性与周期性,School of Physics and Information Technology, SNNU,晶体的周期性,晶格具有周期性，一些物理量具有周期性 考虑体系足够大（大于微米量级），表面效应不重要，势能函数其中Rl为Bravaise格子的格矢,
