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1、1,第九章 线性系统的状态空间综合法,9.1 线性系统的能控性与能观测性,9.2 线性系统的结构分解（略）,9.3 线性系统的状态反馈与输出反馈,9.4 线性系统的状态观测器（仅介绍全维观测器）,9.5 线性系统的解耦（略）,9.6 线性系统的实现（略）,2,9-1 线性系统的可控性与可观性,9-1-1 问题的提出可控性系统内部所有变量的运动能由u来控制，即ux的关系。可观性系统内部所有变量的运动能由y来反映，即y x的关系。,例9-1,显然，b1，b2，c1，c20，x1,x2 既可控又可观测。,b1=0，x1不可控 b2=0，x2不可控 c1=0，x1不可观 c2=0，x2不可观,3,显然
2、，b1,b2,c1,c20，x1,x2既可控又可观测。 b2=0x2不可控 b1=0只要b20， x1可控,即：当b20时，无论b1为何值， x1,x2均可控,c1=0x1不可观测 c2=0只要c10， x2可观测,即：当c10时，无论c2为何值， x1，x2均可观测,例9-2 已知系统状态空间表达式，,4,9-1-2 可控性问题基本概念,考虑线性时变系统：,1）状态可控非零初始状态,称状态x0 在时刻 t0 可控。 2）系统可控若任意x0在t0时刻可控，称为系统在t0时刻可控。若系统在所有时刻可控，称为系统是一致可控的。 3）系统不完全可控状态空间中存在一个或一些非零状态在t0时刻是不可控的
3、。,存在无约束的容许控制u(t) 在有限时间间隔内(t0,tf),5,要求（t0，t1）是有限时间间隔；对转移的形式和路线没有要求，即可控性表征系统运动的一个定性的特性； 关于u(t)：对u(t)的幅值没有限制，但要求必须是容许控制，即：,亦即u(t)的每一个分量ui(t)在Tt上平方可积； 对线性定常系统，在t0，t1上考虑与在0，t1-t0上考虑是等价的，即可控性与t0无关。,若存在不可控状态（一个或多个）则系统不完全可控； 终端状态x(t1)=0，即取状态空间的原点。,几点说明:,6,4）状态可达与系统可达对系统：,若存在容许控制u(t)，使得：,则称状态xf在t0时刻是可达的。若状态x
4、f对所有时刻都是可达的，则称xf为完全可达或一致可达。若每个状态在t0时刻均可达，则称系统在t0时刻可达。 比较：,状态可达：,系统可控：状态完全可控，体现x0的任意性系统可达：状态完全可达，体现xf的任意性 应指出：线性定常系统：可控性与可达是等价的；但对离散系统和时变系统，严格地讲，二者并不等价。,状态可控：,7,9-1-3 可观测性的基本概念,考虑线性时变系统,u(t)=0：,设：初始时刻t0；初始状态x(t0)；时间定义区间：Tt=(t0，t)在有限时间(t0t1)内，能由输出y(t) (tTt)唯一确定初态值x(t0), 则称系统在t0，t1内是完全可观测的。简称可观测。若对所有 t
5、f t0，系统均可观测，则称系统在t0 ,)内完全可观测， 简称系统完全可观测。若不能由y(t)(tTt)唯一确定所有状态x(t0),则称系统不完全可观测， 简称不可观测。,8,9-1-4 线性定常系统可控性判据,考虑线性定常系统：,x(t)n维向量； u(t)p维向量；系统简记为：(A,B) 1)格拉姆矩阵判据,其中：,格拉姆矩阵,显然，用此判据需要求eAt，再求积分。通常只用于理论分析、证明。,2）秩判据,即当 rank(S)=n （满秩），则系统完全可控 。,其中：,9,例9-3 判断已知系统的可控性。,解：可控性判别阵为:,可见，rankS=23，系统不可控。,10,解：该桥式电路的微
6、分方程为：,选取状态变量x1=iL ，x2=uc ，消去中间变量，得：,例9-4 桥式网络如图，试用可控性判据判断可控性。,11,其可控性矩阵为：,当电桥处于平衡状态，由于R1R4=R2R3，使得：,rankS=1n=2，系统不可控。 由状态方程易知，此时 x2是不可控变量。,12,电桥平衡时，uc0，即电容上的电压uc不受输入电压ui控制 。,13,解：该电路的微分方程为：,其中：,消去中间变量，得状态方程：,例9-5 网络如图，试用可控性判据判断其可控性。,14,其可控性矩阵为：,rankS=2=n，系统可控,rankS=1i所对应的约当块的块数时，系统可能可控；输入的维数p i 所对应的
7、约当块的块数时，系统可能可观；输出的维数q i 所对应的约当块的块数时，系统一定不可观。,34,例9-15 判断已知系统的可观测性。,所以，该系统状态 完全可观。,35,（1）,以上两个矩阵元素不全为零，系统可观。,解：,第一个J块对应的第一列元素为零，系统不可观。,（2）,解：,课堂练习试判断下列系统的可观测性。,36,则,一定可观,6）能观标准型,37,9-1-7 可控可观性与传递矩阵的关系,1) SISO系统,c(sI-A)-1 不存在零极点对消 可观,由c(sI-A)-1b导出的传递函数不存在零极点对消 可控可观,(sI-A)-1b不存在零极点对消 可控,思考题：研究下列系统可控性、可
8、观性与传递函数的关系。,（1）,可控不可观,（2）,可观不可控,（3）,不可控不可观,38,多输入系统可控 (sI-A)-1B的n行线性无关,多输出系统可观 C(sI-A)-1的n列线性无关,例9-16 确定已知系统的可控可观性。,解：,三个行向量线性无关， 故系统可控。,2) MIMO系统,39,三列线性无关，故系统可观。,注意：多输入系统的可控性与(sI-A)-1B中有无零极点对消无关；多输出系统的可观性与C(sI-A)-1中有无零极点对消无关。,c(sI-A)-1 存在零极点对消 不完全可观。,40,1 非奇异线性变换的不变性,变换前后，系统特征值、传递矩阵、可控性、可观测性均不变。 证
9、明：非奇异变换的不变性,(P特征向量构成),9-1-8 非奇异线性变换的不变性,1）特征值不变性,41,2） 传递矩阵不变,3）可控性不变,4）可观测性不变,同理可证：,42,令 整理：,2 化可控系统为可控标准型 Ac,43,即:,即 为可控性矩阵的逆矩阵的最后一行,44,的计算方法：,（2）计算可控性矩阵逆阵 ，,（3） 取 的最后一行构成行向量,（4） 构造P阵,（5）求 即将非标准型可控系统可控标准型的变换矩阵。,（1）计算可控性矩阵,45,例9-17 将状态方程化为可控标准型。,解：,系统可控。,46,若有：,1 定义 考虑系统：S1,9-1-9 对偶原理,S2,则称系统S1和系统S
10、2互为对偶系统 。 其结构图如下：,或：,47,将其化为可观测标准型的问题,即对偶系统一定可控：,将其对偶系统化为可控标准型，便可获得可观测标准型。,对偶系统化为可控标准型的问题。,(2) 互为对偶系统的特征值相同 3 对偶原理应用化可观测系统为可观标准型设SISO系统可观测，动态方程为:,2 对偶系统的性质,48,基本思路：,可观，但非可观标准型,系统S1,系统S2,可控，但非可控标准型,系统S3,其中：,系统S4,其中：,即对S1做PT变换,49,计算步骤：,1）列出对偶系统的可控性矩阵S1 （原系统的可观性矩阵V2）,2）求,3）取出 的第n行 vn 构造P阵,4）求,5）利用对偶原理获得原系统可观测标准型,即 引入变换 将对偶系统化为可控标准型,50,9-1-10 线性离散系统的可控性和可观测性（略）,51,9-2 线性定常系统结构分解（略）,52,9-3 反馈结构与极点配置,9-3-1 常见的反馈结构,（1）状态反馈即将状态变量引到输入端：,
