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1、1,量子力学习题课 早期量子论,2,基本概念,1. 单色辐出度：,2. 辐出度：,3. 德布罗意波：,单位时间内从热力学温度为T的物体单位表面积发出的波长在附近单位波长范围内的电磁波的能量，用M(T)表示。,单位时间内从热力学温度为T的物体单位表面辐射的各波长电磁波的能量总和。,与实物粒子相联系的波，又称为物质波或概率波,4. 黑体：,任何温度下对任何波长的光的吸收比恒等于1的物体,3,1. 斯特藩-玻尔兹曼定律： (黑体）,2. 维恩位移定律：,辐出度峰值对应波长,3. 普朗克公式及普朗克能量子假说：,基本规律,一. 黑体辐射基本规律,4,二. 光电效应 光子的波粒二象性,金属中电子的逸出功
2、,红限频率（截止频率）,光电效应的爱因斯坦方程,光子,截止电势差,截止电压,5,三. 康普顿效应,1.波长改变量与散射物质无关,物理本质：入射光子与自由电子的完全弹性碰撞,能量守恒：,动量守恒：,式中康普顿波长： c = h /m0 c = 0.0024 nm.,2.原子量较小的物质康普顿效应明显,推导过程要清晰！,6,四. 玻尔的氢原子理论,3）轨道角动量量子化假设,2）跃迁条件,1.玻尔的量子理论,1）定态假设,2.玻尔的氢原子理论结果,玻尔半径,基态能量,7,4.记住几个重要的结论,证明汞原子吸收电子的能量是不连续的实验是弗兰克-赫兹实验,玻尔氢原子理论的成功之处提出定态假设和能级跃迁决
3、定辐射频率，是现代量子力学的重要概念,3.氢原子谱线,8,五. 德布罗意物质波假设,2. 德布罗意关系式：,1. 德布罗意假设：,实物粒子具有波粒二象性,3. 德布罗意波的统计解释：,在某处德布罗意波的强度与粒子在该处附近出现的概率成正比,9,六. 不确定性关系,粒子位置和动量之间的不确定关系：,物理意义: (1) 微观粒子位置和动量不可能同时精确测定(2) 微观粒子不可能静止零点能的存在(3) 给出了宏观物理与微观物理的分界线 h,粒子能量和时间之间的不确定关系：,10,量子力学习题课,量子力学,11,一.量子力学基本原理之一波函数,微观粒子的运动状态可以用波函数 完全描述。,表示 t 时刻
4、, 微观粒子在空间 点出现的相对概率密度。,2) 要求,单值,3) 波函数的连续性,4) 粒子在空间各点的概率的总和为 1,- 波函数归一化条件,1) 空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值,12,二.量子力学基本原理之二薛定谔方程,（2）其解波函数 是一个复函数。只有其模方才有直接的物理意义,（1）它的解满足态的叠加原理,若 和 是薛定谔方程的解，,则 也是薛定谔方程的解。,（3）它是非相对论形式的方程。,定态薛定谔方程,13,本征函数：,本征值：,1. 一维无限深方势阱,14,3. 线性谐振子,零点能(基态能量)为:,能量本征值和零点能,2. 方势垒的穿透 隧道效应,隧道效应是微观粒子
5、波动性的体现已完全被实验证实, 并制成扫描隧道显微镜 （STM ),15,三.量子力学基本原理之三力学量算符,1.量子力学中力学量为什么要用算符代替？,由于很多力学量中既有“坐标”，又有“动量”，必须统一在同一表象中计算其平均值。,2.给定力学量，能够写出其对应的算符,常用算符,(能量算符),动量算符,动能算符,哈密顿算符,16,角动量算符,位置算符,17,其平均值,的本征方程,和本征值n,可求得本征函数,在量子力学中，力学量用一个算符 表示，通过,1.当体系处在n态时，,力学量有确定值，即本征值n,2.当体系处在叠加态 时，,力学量一般没有确定值，,表示粒子处在 的概率,18,基本对易关系,
6、不对易，不能同时具有确定值,因而 分别和 同时有确定值。,算符 和 的对易式,19,四. 量子力学中的氢原子问题,1、能量量子化和主量子数,式中 n 称为主量子数. n=1, 2, 3, ,2、角动量量子化和角量子数,式中 l 称为角量子数或副量子数.,3、角动量空间量子化和磁量子数,式中 ml 称为磁量子数.,角动量在空间的取向只有 (2l+1) 种可能。,20,施特恩盖拉赫实验,乌伦贝克和高斯密特假设 - 电子自旋假设,自旋磁量子数,4、电子自旋,电子自旋角动量在外磁场方向上的分量,自旋角动量大小,自旋量子数s=1/2,5、原子的电子壳层结构,主量子数：n=1, 2, 3, 4, K, L
7、, M, N 最大电子数：2n2,角量子数：l=0, 1, 2, 3, s, p, d, f 最大电子数：2(2l+1),21,四个量子数(1) 主量子数 n 大体上确定原子中电子的能量(2) 角量子数 l 确定电子的轨道角动量(3) 磁量子数 ml 确定轨道角动量在外磁场方向上的分量(4) 自旋磁量子数 ms 确定自旋角动量在外磁场方向上的分量,电子以四个量子数为标志的可能状态数分布如下：, n , l , ml 相同 ，但 ms 不同的可能状态有两个。, n , 相同 ，但 l , ml ，ms 不同的状态有,个，组成一个壳层。, n , l , 相同 ，但 ml ，ms 不同的可能状态有
8、 2( 2l +1)个，组成一个次壳层。,22,1）全同粒子系,四. 量子力学基本原理之四全同粒子体系,全同粒子所组成的体系中，任意二全同粒子相互交换位置，不引起体系物理状态的改变。 全同性原理,全同粒子系的特征：,全同粒子系波函数具有的交换对称性。,全同粒子：,23,在一个原子系统内，不可能有两个或两个以上的电子具有 相同的状态，亦即不可能具有完全相同的四个量子数。,a.泡利不相容原理,原子系统处于正常状态时，每个电子趋向占有最低的能级,b.能量最小原理,2）原子中的电子分布,可用（ n+0.7 l ) 的值确定能级的高低。,能级能量高低次序如下：,24,基本问题1,25,(1) 定态薛定谔
9、方程对一维问题的简单应用,基本问题2,一维无限深势阱薛定谔方程解的物理意义 谐振子的能量 隧道效应及扫描隧道显微镜 一维定态问题解所得结果的量子图象与经典图像区别,(2) 四个量子数及其物理意义,(4) 电子自旋及施特恩-格拉赫实验,(5) 原子的电子壳层结构，泡利不相容原理，能量最低原理,(3) 量子力学中的算符,26,例1: 实验发现基态氢原子可吸收能量为12.75ev的光子.(1)试问氢原子吸收该光子后将被激发到哪个能级? (2)受激发的氢原子向低能级跃迁时,可能发出哪几条谱线? 定性画出能级图以及跃迁图.(3)在该能级上电子轨道半径，电离能是多少？(4)与该能态对应的极限波长是多少？,
10、27,例2. H2分子中原子的振动相当于一个谐振子，其劲度系数为 k=1.13103N/m，质量是m=1.6710-27kg。此分子的能量本征值（以eV为单位）多大？当此谐振子由某一激发态跃迁到相邻的下一激发态时，所放出的光子的能量和波长各是多少？,28,例3. 戴维孙-革末实验装置如图，自热阴极K发出的电子束经U = 500伏的电势差加速后投射到某晶体上，在掠射角 = 20时，测得电流强度出现第二次极大值，试计算电子射线的德布罗意波长及晶体的晶格常数(电子质量9.11 10-31kg)。,29,30,例5：证明：一个质量m的粒子在边长为a的正立方盒子内运动时，它的最小可能能量（零点能）为,31,例6. （1）试证明：一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长 之比为,式中 Eo 和 E 分别为粒子的静能和运动粒子的总量。,（2）试问：当电子的动能为何值时，它的德布罗意波长等于它的康普顿波长？,
