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1、1,第三章 导数与微分,3.1 导数的概念,3.3 导数公式 导数运算法则,3.2 函数的可导性与连续性,3.4 导数的实际应用,3.5 高阶导数,3.6 微分的概念,3.7 微分公式和法则,3.8 微分的应用,2,问题1,直线运动的瞬时速度问题,一质点作直线运动,已知路程 s 与时间 t 的,试确定t0时刻的瞬时速度v(t0).,解,若运动是匀速的,瞬时速度就等于平均速度。,关系,质点走过的路程,3.1 导数的概念,差商,3,它越近似表,定义为,并称之为t0时的瞬时速度v(t0).,若运动是非匀速的,平均速度,就是这段,时间内运动快慢的平均值,越小,明 t0 时刻运动的快慢.,因此, 人们把
2、 t0时的速度,4,例. 已知自由落体运动的运动公式是,在任意时刻,的瞬时速度是：,5,问题2,割线的极限位置,对于一般曲线如何定义其切线呢?,曲线的切线斜率问题,若已知平面曲线,如何作过,的切线呢？,切线位置.,曲线上点,法国,数学家费马1629年提出了如下的定义和求法,从而圆满地解决了这个问题.,6,处切线的斜率.,已知曲线的方程,确定点,MN为割线，当点N沿曲线趋于点M时,现在来解决以下问题：,则MT为点M处的,如图,MN旋转而趋向极限位置MT,切线.,7,割线MN的斜率为,切线MT的斜率为,差商的极限,8,曲线在点,的切线是,解：,令,，得到切线斜率,所求切线是：,9,就其实际意义来说
3、各不相同,关系上有如下的共性:,但在数量,1. 在问题提法上,都是已知一个函数,求y关于x在x0处的变化率.,2. 计算方法上,上述两例,分别属于运动学、几何学中的问题,均需要做以下极限运算：,10,定义,二、导数的定义,存在,则称函数在点,如果函数在 处的差商,的极限,可导，,并称这个极限为函数,或,记为,处不可导或导数不存在.,当极限(1)式不存在时,就说函数 f (x)在x0,11,写成多种形式:,导数定义可以,或令,则,(2),(3),(1),12,关于导数的说明,点导数是函数在点x0处的变化率,它反映了函数,随自变量的变化而变化的快慢程度，,即函数的变化率.,无论何种形式，其本质在于
4、 (1)函数增量与自变量增量之比； (2)变化过程为自变量增量趋近于零.,13,(1)变速直线运动的物体在,的瞬时速度,是路程函数,在点,处的导数，即,(2)曲线,在,的切线斜率k,是函数,处的导数，,即,有了导数的概念，则,14,特别地:,即,三、导数的几何意义,由切线问题，,切线的斜率就是极限值,15,16,例 求函数,在,处的导数.,解：,按照导数定义的另一种形式：,17,例,用导数表示下列极限,解,练习,解,18,如果函数y = f (x)在开区间 I 内的每点处都可,导,就称函数 f (x)在开区间 I 内可导.,四、导函数,定义3.2,记作,对于任一,都对应着 f (x)的一个确定
5、的,导数值.,这个函数称为f (x)的,导函数.,导函数简称为导数.,从而确定了一个以x为自变量，以导数值为,因变量的新的函数，,19,或,函数在某点的导数就是导函数在这点的函数值,根据导数的定义，,20,例,解,五、求导举例(几个基本初等函数的导数),步 骤,即,21,例,解,更一般地,如,即,22,例,解,即,同理可得,课下练习,23,例,解,即,24,例,解,即,25,3.1 导数的概念小结,1.导数定义,(2),26,2.导数意义,27,3.2 函数的可导性与连续性,一定不可导.,处连续.,没有切线，,却在,28,定理3.1,证明：,即,从而,3.2 函数的可导性与连续性,该定理的逆定
6、理不一定成立.,注,29,解,在x=0处的连续性是显然的.,但在x=0处，由于,所以是不可导的.,问：,函数在此点处，是不是不存在切线？,事实上，在此点处，函数存在铅直的切线！,30,例,解,31,如,该定理的逆定理不一定成立.,注,连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件.,32,7分段函数求导,函数导数的公式,是一个极限式，,和右极限的概念.,也有左极限,左极限,的左导数，,称为函数在点,记作,右极限,的右导数，,称为函数在点,记作,33,如果左、右导数不存在或存在但不相等，都称函数,在点,的导数不存在.,直观上，曲线在这一点没有切线，导数就不存在.,34,例 求西瓜的价格函数,的导数.,
7、解：,在,就是西瓜的单价.,导数,在分段点 ，,右导数,左导数,不存在.,结论:,的导数不存在.,事实上函数在,不连续，,因此一定不可导.,注：,在,函数在点,35,连续 可导,3.2 函数的可导性与连续性小结,连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件.,36,3.3 导数公式 导数运算法则,1. 常数和基本初等函数的导数公式（第48页）,37,38,2. 函数的线性组合、积、商的求导法则,39,法则(2)的证明：,（其中,40,例,解,例,解：,求 的导数,41,例,解,42,例,解,课下练习,即,43,例,解,课下练习,即,44,练习,解,法一,法二,45,3. 反函数的求导法则,且,事实
8、上，在点,的切线与x轴和y轴的夹角,的和是,，所以,46,例,解,同理可得,单调、可导,直接函数,反函数,47,3.3 导数公式 导数运算小结,1. 常数和基本初等函数的导数公式（第48页）,48,3. 反函数的求导法则,复合函数的求导法则,2. 函数的线性组合、积、商的求导法则,5、隐函数的求导法则,将方程两边同时对x求导.,6、对数求导法,等式两边取对数,7、分段函数求导,左、右导数定义,49,链导法则,复合函数的求导法则,可导,且其导数为,或,因变量对自变量求导,等于因变量对中间,变量求导,乘以中间变量对自变量求导.,50,复合函数求导法则的证明,当,时，因为,可导因而连续，所以有,51
9、,推广,例,解,52,例,解,练习,53,例,解,例,解,54,例 证明幂函数的导数公式：,证明：,55,对于方程,当x取某一个值时，,如果总有满足方程的唯一的 y 值存在，,就说,方程 确定了一个隐函数.,函数,称为显函数.,5、隐函数的求导法则,回顾:,隐函数的显化有时很困难，甚至不可能！,但在实际的计算中，,有时需要计算隐函数的导数.,所以，,必须找到一种不经过显化而求隐函数的导,数的方法.,56,例(1)求由圆的方程,（2）求,处曲线切线的斜率.,（1）,确定的隐函数的导数,将方程两边同时对x求导,因为y是x的函数,是x的复合函数.,所以,得,整理得到,解：,57,处，对于圆的上半支曲
10、线,切线斜率是,对圆的下半支曲线,切线斜率是,（2）求,处曲线切线的斜率.,58,求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数,从中解出即可.,的方程.,y是x的函数,于是y的函数 便是x的复合函数,59,练习,解,将方程两边同时对x求导.,因为y是x的函数,是x的复合函数,所以,左边对x求导得,方程右边对x求导得0.,所以,即,60,作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍,对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单.,对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导法,求出导数.,6、对数求导法,61,解,例,当0x 1时，等式两边取对
11、数得,隐函数,62,例,解,等式两边取对数得,63,两边对x求导得,等式两边取对数得,64,复合函数,改写成,例,则,幂指函数也可以利用对数性质化为,再求导,65,7、分段函数求导,函数导数的公式,是一个极限式，,和右极限的概念.,也有左极限,左极限,的左导数，,称为函数在点,记作,右极限,的右导数，,称为函数在点,记作,66,如果左、右导数不存在或存在但不相等，都称函数,在点,的导数不存在.,直观上，曲线在这一点没有切线，导数就不存在.,67,例 求西瓜的价格函数,的导数.,解：,在,就是西瓜的单价.,导数,在分段点 ，,右导数,左导数,不存在.,结论:,的导数不存在.,事实上函数在,不连续
12、，,因此一定不可导.,注：,在,函数在点,68,3.4 导数的实际应用,1.变化率,表示自变量在以,函数,的平均变化量，,平均变化率.,在,反映了函数,的变化率.,慢程度.,差商,每变动一个单位时，,因此差商就是,称为函数,的变化而变化的快,69,速度,的变化率：,意义是,例如：,加速度,意义是,1,2,在热力学中，热容量,3,的变化率：,意义是：,70,在生物学中，动物体重的增长速率是体重,对时间,的变化率：,在环境评价学中，,垂直递减率：,4,5,变化的气温,71,例25.,吨矿石需要的费用是,元，,它的实用含义是什么？,解：,的单位是元吨，,元吨，,可以表示矿石在开采 1000吨后，,所
13、需的费用大约为100元.,设开采,再开采1吨,72,表格给出的函数如何估计变化率,某种植物每10天测量的植株的高度,通过表格给出：,利用差商来估计函数在每点的变化率.,设函数是,则在时间,差商是,的值就代表各点的变化率值.,其中,用这个式子计算,73,例如第20天的变化率：,（cm/天）,它表示在第20天时，植株每天大约增长0.57cm.,74,3.4 导数的实际应用小结,导数称为变化率,表示函数 对自变量x的变化率。,75,问题:变速直线运动的加速度.,定义,这就是二阶导数的物理意义,3.5 高阶导数,二阶导数.,记作,76,三阶导数的导数称为,二阶和二阶以上的导数统称为,二阶导数的导数称为
14、,高阶导数.,三阶导数,四阶导数,n阶导数,记作,一般地,77,例,解,由高阶导数的定义,欲求函数的高阶导数,只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去,而不需要新的方法.,78,例,解,几个基本初等函数的n阶导数,则,79,例,解,分析,此函数是6次多项式,故不需将函数因式全乘出来.,因为,其中,为x的5次多项式, 故,又是求6阶导数,80,例,解,同理可得,即,81,例,解,例,解,82,几个常用高阶导数公式,83,例,解,84,求n阶导数需要运用技巧,使问题简化.,尽可能化为求某些熟知函数的n阶导数公式,通过四则运算,变量代换,恒等变形，,85,例,解,若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规
15、律,所以将式子恒等变形.,86,3.5 高阶导数小结,二阶导数.,87,相关变化率,P66 18题 细胞体积增长球形细胞以常速每天增加体积400。当它的半径是10时，它的半径增长速度是多少？,分析,两边分别对t求导,88,导数,微分,导数与微分,表示函数在一点处由自变量所引起,的函数变化的快慢程度.,是函数在一点处由于自变量微小变化,所引起的改变量的近似值.,有着密切的联系.,3.6 微分的概念,89,正方形金属薄片受热后面积的改变量.,1.问题的引出,实例,的线性(一次)函数,很小时可忽略.,的高阶无穷小,90,再如,91,定义,2. 微分的定义,如果增量,则称函数,可微.,记作,微分,并称,为函数,92,称为函数,的微分,记作,（2）由于,93,设,(3),解,称为自变量的微分.,94,从而,定理,证明：,95,例32. 设,求函数的增量与微分.,解：,代入,得到,例33.,求函数的增量与微分.,解：,96,例30. 药物反应,将敏感度定义为反映程度对剂量的变化率,解：,假设注射某种药物的反应程度,表示剂量每增加一个单位，,反映程度的增加值近似为227500单位；,97,例30. 药物反应,
